1?呈現(xiàn)原題

題1：對(duì)于滿足0

a+b-ca

的取值范圍是（）

A.1，74

B.（1，2]

C.[1，+∞）

D.（2，+∞）

題2：設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的導(dǎo)函數(shù)為?f′（x）?.若對(duì)任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，則

b2a2+2c2的最大值為.

2?遭遇困惑

上述題1、題2是《一道?？碱}的解題困惑》（以下簡(jiǎn)稱文[1]）中所研究的兩道試題，其中，題1為選擇題，題2為填空題.拜讀該文，感同身受.其實(shí)，文中遭遇的困惑也是我們一線師生經(jīng)常遇到的困境，可以說(shuō)這是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一類(lèi)疑難雜癥，在此感謝時(shí)老師及時(shí)提出這一帶有普遍性、針對(duì)性的問(wèn)題.以下將文中的解答簡(jiǎn)要摘錄并適當(dāng)添加了序號(hào)，方便后續(xù)更好地說(shuō)明問(wèn)題.

3?原始解答

3.1?題1解答

解法一：函數(shù)f（x）=ax2+bx+c總有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則Δ=b2-4ac>0c

據(jù)此得到

a+b-ca>a+b-b24aa①

a+b-ca>1+ba-14ba2.

令t=ba，注意到0wECDGNtxws413JqJxL4nwLRMGTjWr9Oo6GACccOwcTY=

y=1+t-14t2∈（1，2].

a+b-ca>2.②

故選D.

解法二：由題意可得

a+b-ca=1+ba-ca.

注意到

Δ=b2-4ac>0

ca<14ba2.③

令ba=x，ca=y，

a+b-ca=z，依據(jù)已知條件及③可得

0

借助線性規(guī)劃知識(shí)并結(jié)合圖形（限于篇幅，圖形省略）可得z>1.

3.2?題2解答

解：由f（x）≥f′（x）恒成立可得a>0，b2≤4ac-4a2，所以

b2a2+2c2≤4ac-4a2a2+2c2④

b2a2+2c2≤4·ca-41+2ca2.

令t=ca，則

y=4t-41+2t2∈-6-2，6-2.

⑤

故b2a2+2c2的最大值為6-2.

注：上述題1源自湖南省長(zhǎng)沙市2017屆高三年級(jí)統(tǒng)一模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)第12題，題1解法一是金考卷提供的，解法二是文[1]提供的;題2及解答都是?文[1]?提供的.其中，文[1]采取賦值（特值）法發(fā)現(xiàn)題1提供的四個(gè)選擇支均不正確，從而說(shuō)明題1是一道錯(cuò)題.

4?提出問(wèn)題

文[1]在文末提出以下三個(gè)問(wèn)題：

（1）題1解法一的問(wèn)題出在哪？

（2）題2的解法正不正確？

（3）這種多變?cè)膯?wèn)題能不能采用不等關(guān)系代入放縮，然后化歸成一元變量解題？如果可以，什么情況下可以使用？

5?膚淺思考

上述三個(gè)問(wèn)題正是文[1]的核心，同時(shí)也真真切切戳中一線師生的痛處！

5.1?題1解法一明顯錯(cuò)誤

必須明確指出上述題1解法一是錯(cuò)誤的.解法一之所以出現(xiàn)錯(cuò)誤，根源在于解法一實(shí)施了放縮（即上述①）.對(duì)于求取值范圍的問(wèn)題，慎用放縮法，尤其沒(méi)有取到等號(hào)的放縮更要特別慎重.因?yàn)槊恳淮芜@樣的放縮就相當(dāng)于實(shí)施了一次不等價(jià)的變形，容易導(dǎo)致范圍放大或縮小.如果連續(xù)進(jìn)行多次這樣的放縮，出現(xiàn)錯(cuò)誤的概率更大.

5.2?題1解法二完全正確

上述題1解法二通過(guò)換元，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為熟悉的線性規(guī)劃問(wèn)題，借助線性規(guī)劃知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合求出取值范圍，其過(guò)程清晰，解法嚴(yán)謹(jǐn)，這是目前高中最實(shí)惠、最有效、最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉?gòu)思與解答，因此解法2無(wú)疑是正確的.

5.3?題2解答基本正確

盡管上述題2解法過(guò)程中也實(shí)施了放縮，但其解法基本正確（詳見(jiàn)后面的論述）.

5.4?題1與題2形同質(zhì)異

從表面上看，題1與題2相似，正如文[1]指出：“題2的解法與題1解法一如出一轍”.其實(shí)，它們的本質(zhì)是不同的，原因如下：

其一，題2是一道涉及最值（最大值）的填空題.對(duì)于最值問(wèn)題，在解題教學(xué)過(guò)程中，我們可以甚至鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s.事實(shí)上，絕大多數(shù)最值問(wèn)題都需要適度放縮.正是借助恰當(dāng)、適度的放縮，達(dá)到化困難為容易、變繁雜為簡(jiǎn)單、露隱藏為顯性、轉(zhuǎn)陌生為熟悉的效果，從而為解決問(wèn)題奠定基礎(chǔ).只要能夠求出最值，并且保證滿足取到最值時(shí)等號(hào)成立的條件即可.比如，我們常常借助最為熟悉的基本不等式a+b2≥ab（a>0，b>0）處理最值問(wèn)題，其本質(zhì)就是放縮法，只是我們必須保證等號(hào)成立的條件“當(dāng)且僅當(dāng)a=b成立”，否則就取不到最值.之所以說(shuō)文[1]提供的題2解答基本正確，是因?yàn)閲?yán)格說(shuō)來(lái)，還需要進(jìn)一步說(shuō)明取得最大值時(shí)等號(hào)成立的條件，也就是最后還必須指出取得最大值時(shí)的實(shí)數(shù)a，b，c滿足的條件（準(zhǔn)確值，或關(guān)系式）.即要同時(shí)滿足上述④式與⑤式等號(hào)成立的條件，顯然，上述④式中等號(hào)成立的條件為

b2=4ac-4a2.⑥

以下再回頭審視并詳細(xì)展示上述⑤式由來(lái)：求導(dǎo)可得

y′=-8t-2-62t-2+62（1+2t2）2.

據(jù)此可知在

-∞，2-62，

2+62，+∞

上，函數(shù)單調(diào)遞減;在

2-62，2+62

上，函數(shù)單調(diào)遞增，且當(dāng)?t→?-∞時(shí)，y→0-;當(dāng)t→+∞時(shí)，y→0+，因此當(dāng)t=2+62時(shí)，y?max?=6-2.也就是說(shuō)上述⑤中取得最大值時(shí)的等號(hào)成立的條件為

t=2+62=ca.⑦

綜合上述⑥與⑦可得，上述題2取得最大值時(shí)等號(hào)成立的條件為

b2=4ac-4a2，

ca=2+62

a=2m，

b=2424m，（m>0）

c=（2+6）m.

⑧

當(dāng)然，對(duì)于上述⑤，除了導(dǎo)數(shù)法之外，還可以采取換元法，即設(shè)n=t-1，則有

y=4n2n2+4n+3.

然后分n>0，n=0，n<0三種情況并結(jié)合基本不等式求出其最大值并獲得等號(hào)成立的條件.

其二，題1是一道涉及取值范圍的選擇題.所謂求取值范圍就是基于一定條件下的可能取到的值的最大范圍，否則就不是最終的正確答案.這就要求每一步變形都必須是等價(jià)的，否則就可能出現(xiàn)范圍放大或縮小.而題1中的解法一是按照①式進(jìn)行放縮，此時(shí)的放縮沒(méi)有取到等號(hào)，顯然是不等價(jià)變形，僅僅表明左邊恒大于右邊，說(shuō)明①左邊與右邊的范圍發(fā)生了根本性改變，當(dāng)然左邊與右邊的范圍已經(jīng)不一樣（注：不排除個(gè)別試題，實(shí)施不等價(jià)變形，最后左邊與右邊范圍一樣，這純屬巧合罷了）.也就是說(shuō)，即使嚴(yán)格規(guī)范地求出了右邊的取值范圍，也不能代表左邊的范圍.而題2中的解法二，則是按照④式實(shí)施放縮，此時(shí)的放縮取到了等號(hào)，即確保等號(hào)成立，并且在后續(xù)推理中自始至終保證了等號(hào)成立時(shí)條件具有一致性，也就是上述⑧式，說(shuō)明此處的放縮并沒(méi)有影響最后的最大值，因此題2的解法所得的最后的結(jié)果是正確的.

其三，倘若是證明題，那么我們可以實(shí)施合乎邏輯的放縮，甚至多次放縮，只要保證能夠證明到最后的結(jié)論即可.如果我們將題1改為證明題（不妨稱為題3），即

題3：對(duì)于滿足01.

作為證明題，我們可以直接用上述解法二作為題3的證明過(guò)程，還可以得到以下更為簡(jiǎn)捷的證明過(guò)程：

證明：依據(jù)題意，函數(shù)f（x）=ax2+bx+c總有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即Δ=b2-4ac>0恒成立，即c0，b>0，則c≤0，于是

a+b-ca≥a+b-0a=a+ba>aa=1.

⑨

客觀地講，上述證明過(guò)程（多次放縮）并不嚴(yán)密，至少已知條件“0

5.5?慎用不等關(guān)系減元

含有多元變量問(wèn)題一直是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)、熱點(diǎn)，一般來(lái)說(shuō)，我們總是盡可能想辦法（比如，換元、壓縮、不等關(guān)系代入，等等）減元，甚至渴望轉(zhuǎn)化為一元變量（比如上述題2）.因?yàn)樽兞吭缴僭饺菀渍瓶?，但是在減元過(guò)程中必須保證等價(jià)性，否則極易出現(xiàn)意想不到的錯(cuò)誤，其中最為典型的錯(cuò)誤就是范圍放大或者縮小，這也正是題1解法一出現(xiàn)錯(cuò)誤的根本原因所在.其實(shí)，上述①式，從左往右看屬于放縮法中的縮小，于是導(dǎo)致范圍在不知不覺(jué)中被縮小.事實(shí)上，并非多元變量問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為一元變量，有些多元問(wèn)題，在保證等價(jià)變形的前提下很難轉(zhuǎn)化為一元變量，此時(shí)如果強(qiáng)行轉(zhuǎn)化（尤其用不等關(guān)系代入放縮）為一元變量就會(huì)出現(xiàn)瑕疵乃至錯(cuò)誤，上述題1解法一就是如此.

6?善待錯(cuò)誤

6.1?積極面對(duì)錯(cuò)誤

人們常說(shuō)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個(gè)與錯(cuò)誤相伴的過(guò)程.其實(shí)，我們教師自身何嘗不是如此呢？面對(duì)錯(cuò)誤，既沒(méi)有必要大驚小怪，也沒(méi)有必要遮遮掩掩.正如數(shù)學(xué)家華羅庚生感嘆“天下沒(méi)有數(shù)學(xué)家沒(méi)算錯(cuò)過(guò)題的.錯(cuò)誤是難免要發(fā)生的……但既然出現(xiàn)了錯(cuò)誤，就應(yīng)該引以為教訓(xùn).”“科學(xué)是來(lái)不得半點(diǎn)虛假的.”事實(shí)上，我們?cè)诟拍罱虒W(xué)之中、解題之中、命制試題之中不時(shí)出現(xiàn)瑕疵乃至錯(cuò)誤，甚至多次出現(xiàn)同一類(lèi)錯(cuò)誤在所難免，我們應(yīng)該將這些錯(cuò)誤歸類(lèi)、深思，從中吸取教訓(xùn)，尋找根源，避免重蹈覆轍，這正是拙文[2][3][4][5][6][7][8]的由來(lái).

6.2?多方化解困惑

筆者在教學(xué)過(guò)程中經(jīng)常遇到困惑，首先與學(xué)生一起商榷，引發(fā)學(xué)生思考，人多力量大，力爭(zhēng)將面臨的困惑在教室里、在課堂上化解;一旦問(wèn)題依然無(wú)法解決，趕緊求助身邊同事，在備課組、教研組中展開(kāi)激烈爭(zhēng)辯，力爭(zhēng)短時(shí)間內(nèi)解決;遇到棘手問(wèn)題，積極尋求專(zhuān)家解答，點(diǎn)對(duì)點(diǎn)直接咨詢，立竿見(jiàn)影.筆者就曾多次請(qǐng)教著名的數(shù)學(xué)特級(jí)教師任勇先生、福建師范大學(xué)柯躍海先生、東北師范大學(xué)郭民先生、教育部考試中心任子朝先生，等等.反復(fù)遇到同類(lèi)或相似疑難雜癥，整理成文投稿雜志，在更大的平臺(tái)上請(qǐng)教全國(guó)名家大師，這正是拙文[9][10][11][12][13]的由來(lái).

6.3?錯(cuò)誤是寶貴資源

羅增儒指出：“解題出現(xiàn)錯(cuò)誤是難免的，教師對(duì)待學(xué)生解題過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤應(yīng)持積極的態(tài)度，不要一味地把錯(cuò)誤看成達(dá)到正確目標(biāo)的攔路虎.其實(shí)，錯(cuò)誤是越過(guò)障礙、達(dá)到目標(biāo)的必經(jīng)階段，錯(cuò)誤是接受洗禮、走向成熟的必要磨煉.沒(méi)有誰(shuí)在真正的問(wèn)題面前不是摸索前進(jìn)、從不走彎路的.”黑格爾說(shuō)過(guò)：“錯(cuò)誤本身乃是達(dá)到真理的一個(gè)必然環(huán)節(jié).”波普爾認(rèn)為：“錯(cuò)誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素.”錯(cuò)誤是走向正確的先導(dǎo)，錯(cuò)誤是通向成功的階梯.我們把概念教學(xué)中（比如拙文[14][15]）、解題過(guò)程中（比如拙文[16][17]）、命題過(guò)程中（比如拙文[18][19]）出現(xiàn)的瑕疵乃至錯(cuò)誤看作一種鮮活的、難得的、寶貴的資源，深刻反省造成錯(cuò)誤的根本原因，透過(guò)現(xiàn)象，厘清本質(zhì)，夯實(shí)功底，提升素養(yǎng)，優(yōu)化思維，努力提高自身教育教學(xué)水平.

需要特別說(shuō)明的是，因筆者功力淺薄，深知本文未能完全解開(kāi)文[1]提出的問(wèn)題，甚至本文自身觀點(diǎn)也存在錯(cuò)誤，權(quán)當(dāng)拋磚引玉，期盼名家大師指點(diǎn)迷津，萬(wàn)分感謝！同時(shí)，筆者在探究過(guò)程中也遇到新的困惑，在此請(qǐng)教：

上述②對(duì)嗎？如果不對(duì)，是不是應(yīng)該改為以下⑩式？

a+b-ca>1.⑩

如果用⑩式替換題1解法一中的②式，那么題1的取值范圍就是（1，+∞），能否據(jù)此說(shuō)明上述題1解法一正確？

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