岔曹春 段愛(ài)華 門秀萍 張子振

摘要：目的：本文以反病毒軟件清理病毒需要的時(shí)間周期為分岔參數(shù)，研究了一類時(shí)滯SVIR計(jì)算機(jī)病毒傳播模型的穩(wěn)定性與Hopf分岔。方法：首先通過(guò)討論特征根分布，得到模型局部漸近穩(wěn)定性和產(chǎn)生Hopf分岔的充分條件，進(jìn)而利用中心流形定理和規(guī)范型理論確定了Hopf分岔的方向和分岔周期解的穩(wěn)定性。結(jié)論：理論研究和matlab仿真表明，當(dāng)時(shí)滯τ∈[0，τ0）時(shí)，模型處于局部漸近穩(wěn)定狀態(tài)，當(dāng)時(shí)滯τ>τ0時(shí)，模型失去穩(wěn)定性，產(chǎn)生Hopf分岔。

關(guān)鍵詞：計(jì)算機(jī)病毒;SVIR模型;Hopf分岔;中心流形定理;規(guī)范型理論

中圖分類號(hào)：O175 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1008-4657（2019）05-0014-07

0 引言

根據(jù)第44次《中國(guó)互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)發(fā)展?fàn)顩r統(tǒng)計(jì)報(bào)告》，截止2019年6月，我國(guó)網(wǎng)民規(guī)模達(dá)8.54億，較2018年底增長(zhǎng)2 598萬(wàn)，互聯(lián)網(wǎng)普及率達(dá)61.2%，較2018年提升1.6個(gè)百分點(diǎn)[1]?；ヂ?lián)網(wǎng)在給社會(huì)生產(chǎn)生活方式帶來(lái)巨大變革、推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的同時(shí)，也使得網(wǎng)絡(luò)安全成為國(guó)家和個(gè)人重點(diǎn)關(guān)注的問(wèn)題。而計(jì)算機(jī)病毒是網(wǎng)絡(luò)安全的最大威脅[2-3]。根據(jù)國(guó)家計(jì)算機(jī)病毒應(yīng)急處理中心發(fā)布的 《計(jì)算機(jī)病毒疫情分析報(bào)告》，2019年6月，共發(fā)現(xiàn)新增病毒2 929萬(wàn)個(gè)，比5月上升48.9%，感染計(jì)算機(jī)21 704萬(wàn)臺(tái)次，比5月上升4.7%[4]。計(jì)算機(jī)病毒的可復(fù)制性和破壞性使得其一旦爆發(fā)，便會(huì)給社會(huì)和個(gè)人帶來(lái)難以估計(jì)的損失[5]。為了降低計(jì)算機(jī)病毒的危害，人們采取了各種各樣的措施，最典型的就是安裝殺毒軟件。然而，沒(méi)有什么軟件可以清除所有病毒，而且，往往是病毒先出現(xiàn)，反病毒軟件等措施后查殺病毒。

因此，為了更好地抑制網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播，很多學(xué)者根據(jù)計(jì)算機(jī)病毒與生物病毒傳播的相似性，利用研究生物病毒的數(shù)學(xué)模型來(lái)分析計(jì)算機(jī)病毒的傳播規(guī)律[6-11]。尹禮壽等[9]考慮到免疫策略對(duì)病毒潛伏期計(jì)算機(jī)的影響，研究了一類離散時(shí)間的易感染-潛伏-已感染-恢復(fù)（Susceptible-Exposed -Infected-Recovered ，SEIR）計(jì)算機(jī)病毒模型。王剛等[10]根據(jù)網(wǎng)絡(luò)中計(jì)算機(jī)節(jié)點(diǎn)動(dòng)態(tài)增減的情況，研究了易感染-已感染-恢復(fù)（Susceptible-Infected-Recovered ，SIR）模型中各節(jié)點(diǎn)間轉(zhuǎn)換率對(duì)病毒傳播的影響。R.K.Upadhyay等[11]研究了一類非線性感染率的易感染-免疫-潛伏-已感染（Susceptible- Vaccinated -Exposed –Infected ，SVEI）計(jì)算機(jī)病毒傳播模型的穩(wěn)定性情況，得到了模型穩(wěn)定性受基本再生數(shù)影響的結(jié)論。

Yerra Shankar Rao 等[12]研究了一類具有免疫策略的易感染-免疫-已感染-恢復(fù)（Susceptible-Vaccinated-Infected-Recovered ，SVIR）計(jì)算機(jī)病毒模型，該模型假定新接入網(wǎng)絡(luò)中的計(jì)算機(jī)中有一定比例已經(jīng)感染病毒，同時(shí)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的免疫措施能夠?qū)τ?jì)算機(jī)病毒起到一定清除作用。本文在Yerra Shankar Rao 等[12]的研究基礎(chǔ)之上，考慮殺毒軟件等免疫措施在清理病毒的過(guò)程中存在時(shí)間延遲的實(shí)際情況，研究了一類具有時(shí)滯的SVIR計(jì)算機(jī)病毒模型的傳播規(guī)律。本文建立的時(shí)滯SVIR模型如下所示：

4 結(jié)論

由于計(jì)算機(jī)病毒的可復(fù)制性、潛伏性和高破壞性等性質(zhì)，對(duì)網(wǎng)絡(luò)安全存在嚴(yán)重威脅，而現(xiàn)有反病毒措施因清理計(jì)算機(jī)病毒需要一定時(shí)間周期而存在時(shí)間延遲的情況使得查殺病毒的效率難以進(jìn)一步提升。因此，本文基于Yerra Shankar Rao 等[12]的研究工作，考慮到殺毒軟件等反病毒措施清理病毒需要一定的時(shí)間周期，進(jìn)一步研究了具有時(shí)滯的SVIR計(jì)算機(jī)病毒傳播模型的穩(wěn)定性和Hopf分岔的存在性及性質(zhì)，以期望了解計(jì)算機(jī)病毒傳播規(guī)律，為反病毒措施的改進(jìn)提供理論指導(dǎo)，從而幫助實(shí)現(xiàn)更快地查殺病毒，降低計(jì)算機(jī)病毒可能造成的損失。本文通過(guò)討論特征根的分布，分析了該時(shí)滯SVIR模型在不同情況下的病毒傳播情況，并根據(jù)中心流形定理和規(guī)范型理論確定了病毒傳播失去穩(wěn)定時(shí)產(chǎn)生的Hopf分岔的方向和分岔周期解的穩(wěn)定性。通過(guò)研究和仿真可以知道，當(dāng)τ∈[0，τ0）時(shí)，模型處于局部漸近穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)便于控制網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播，降低網(wǎng)絡(luò)病毒危害。當(dāng)τ>τ0時(shí)，模型失去穩(wěn)定性，產(chǎn)生了Hopf分岔，此時(shí)計(jì)算機(jī)病毒的傳播過(guò)程難以控制。因此，應(yīng)當(dāng)采取適當(dāng)措施盡量延緩Hopf分岔的產(chǎn)生，使計(jì)算機(jī)病毒傳播在可控范圍之內(nèi)。

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