鄒家強 張巍 劉愛華

摘要：為研究混凝土結(jié)構(gòu)的宏觀力學(xué)響應(yīng)及損傷行為，應(yīng)用物質(zhì)點法這一新型數(shù)值方法對橢圓骨料混凝土進行數(shù)值模擬研究。基于蒙特卡羅模擬方法，考慮混凝土的細觀結(jié)構(gòu)，提出了一種構(gòu)建隨機橢圓骨料混凝土細觀幾何模型的方法。在該幾何模型的基礎(chǔ)上，進一步提出一種快速建立混凝土細觀物質(zhì)點模型的方法。分別以彈塑性損傷本構(gòu)模型和彈性本構(gòu)模型模擬砂漿和骨料的力學(xué)行為，采用開發(fā)的物質(zhì)點法程序?qū)炷翑?shù)值模型進行了單軸拉伸及單軸壓縮數(shù)值試驗。結(jié)果表明，物質(zhì)點法模擬所得的結(jié)果與設(shè)計規(guī)范及有限元結(jié)果相近?？梢姡镔|(zhì)點法為混凝土結(jié)構(gòu)損傷行為的數(shù)值模擬提供了一條可行的途徑。

關(guān) 鍵 詞：混凝土; 損傷行為; 物質(zhì)點法; 蒙特卡羅模擬方法; 橢圓骨料

混凝土的多尺度實驗與數(shù)值模擬已成為研究者們更準(zhǔn)確了解混凝土材料與結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng)及其內(nèi)部損傷行為的重要手段[1]。一般而言，在細觀尺度下，混凝土被認為是由骨料及砂漿兩者組成。而在大多數(shù)混凝土結(jié)構(gòu)中，粗骨料的體積占比高達40%～50% [2-3]，因此骨料的級配及分布對混凝土的宏觀力學(xué)響應(yīng)有著顯著而直接的影響。為了開展骨料級配及分布對混凝土的力學(xué)行為的研究，研究者們通常采用物理試驗和數(shù)值試驗兩種主要手段。由于混凝土試塊的制備及后期養(yǎng)護需要消耗大量的人力、物力及時間，導(dǎo)致研究效率的降低，因此，數(shù)值試驗在研究混凝土結(jié)構(gòu)問題上得到越來越多學(xué)者們的重視。

目前混凝土細觀數(shù)值模擬采用的數(shù)值方法主要為有限元法[4-8]。和傳統(tǒng)有限元法相比，物質(zhì)點法（MPM）作為一種新型無網(wǎng)格數(shù)值方法，采用質(zhì)點來離散材料區(qū)域，因而可以方便地利用混凝土細觀數(shù)字圖像的像素點信息進行建模，同時可以在數(shù)值計算時避免傳統(tǒng)有限元法在大變形情況下的網(wǎng)格畸變[9]。然而，目前物質(zhì)點法的應(yīng)用領(lǐng)域主要集中在爆炸、沖擊、流固耦合、滑坡等極端變形問題上[10-13]，在混凝土結(jié)構(gòu)內(nèi)部損傷演化問題上的應(yīng)用研究仍相對缺乏。

為此，本文首先提出一種快速建立隨機橢圓骨料混凝土結(jié)構(gòu)物質(zhì)點模型的方法。隨后結(jié)合特定的彈塑性損傷本構(gòu)模型，編制相應(yīng)的物質(zhì)點法程序，從細觀角度模擬其結(jié)構(gòu)的損傷演化，進而探討物質(zhì)點法在該問題上的適用性，以期能為混凝土結(jié)構(gòu)損傷行為的數(shù)值模擬提供一種新的數(shù)值方法。

1 物質(zhì)點法基本理論

物質(zhì)點法采用拉格朗日質(zhì)點離散材料區(qū)域，并用歐拉背景網(wǎng)格計算空間導(dǎo)數(shù)和求解動量方程。由于兼具拉格朗日算法和歐拉算法的優(yōu)勢，物質(zhì)點法較好地避免了網(wǎng)格畸變和對流項處理?；谇蠼饪刂品匠痰姆椒ǎ镔|(zhì)點方法也被細分為顯示或隱式物質(zhì)點法。本次研究采用的是顯式物質(zhì)點法，其基本理論及控制方程表述如下。

在計算過程中，物質(zhì)點法是利用中心差分法對背景網(wǎng)格結(jié)點的運動方程進行求解，得到當(dāng)前時間步的每個背景網(wǎng)格節(jié)點的位移增量，再通過求解建立在網(wǎng)格節(jié)點上的有限元插值形函數(shù) NI（xi） 映射得到每個物質(zhì)點的位移增量及其他物理量。由于物質(zhì)點法在求解動量方程時，采用更新拉格朗日格式，每個時間步內(nèi)，物質(zhì)點是與背景網(wǎng)格固定一起運動的。在上一時間步結(jié)束后，拋棄變形后的計算網(wǎng)格，但在下一時間步，仍使用初始時刻的物質(zhì)點網(wǎng)格（即歐拉網(wǎng)格）作為運動方程的集成，單個時間步的運動如圖1所示。由于形函數(shù)插值初始時刻的歐拉網(wǎng)格布置方便，集成簡單，由此，即可快速實現(xiàn)物質(zhì)點與背景網(wǎng)格節(jié)點之間信息的映射。

由于結(jié)合了歐拉算法與拉格朗日算法的優(yōu)勢，一方面，物質(zhì)點法在每一時間步開始，利用歐拉網(wǎng)格集成動量方程，可有效避免網(wǎng)格畸變問題;另一方面，在每一計算步中，它采用更新拉格朗日形式，如此又可避免因?qū)α黜椩斐蓴?shù)值耗散而導(dǎo)致計算效率降低的問題。綜上所述，物質(zhì)點法是一種采用物質(zhì)點離散、每個時間步都重置計算網(wǎng)格的數(shù)值算法，被認為是一種特殊的有限元法。

2 數(shù)值計算模型

由上述基本理論可知，物質(zhì)點法的背景計算網(wǎng)格和質(zhì)點網(wǎng)格兩者既是相互獨立，又是相互統(tǒng)一的，結(jié)合運用馬懷發(fā)等學(xué)者提出的隨機橢圓骨料模型[3-4]，幾何框架下的混凝土計算模型通過物質(zhì)點法便能快速高效地生成。在生成的隨機橢圓骨料模型基礎(chǔ)上，通過將不同的信息分別映射到質(zhì)點網(wǎng)格中，即可生成分別帶有砂漿、骨料信息的物質(zhì)點，隨后將兩種物質(zhì)點拼接，即可生成相應(yīng)的計算模型，其生成步驟見圖2。

以建立隨機橢圓骨料占比為45%的50×50大小的混凝土結(jié)構(gòu)模型為例，從開始到完成建模平均耗時為10 min，而在相同條件下，有限元法的建模時間平均耗時在30 min左右[5]。

從圖2可直觀看出，物質(zhì)點法是基于像素進行計算模型構(gòu)建的方法。由于大多數(shù)幾何圖形通常是以數(shù)字圖像進行處理，如電腦斷層掃描，或細觀甚至微觀下的混凝土觀測圖像等，在這樣的情況下，物質(zhì)點法就比有限元法可以更快速直接對這些圖像進行數(shù)值空間離散化，即把每一個圖片中的像素點轉(zhuǎn)換成帶有特定信息的物質(zhì)點。近幾年來， CT技術(shù)已逐漸開發(fā)應(yīng)用于探測混凝土內(nèi)部的裂縫發(fā)展[14-15]，由于其圖片也是像素顯示方式，因此也能夠與物質(zhì)點法建立一定的匹配關(guān)系[16]。反之，物質(zhì)點法也可根據(jù)既定圖像構(gòu)建與之對應(yīng)的數(shù)值模型，隨后通過計算也可進行分析對比。

3 本構(gòu)模型

4 模擬分析及討論

4.1 建模與結(jié)果分析

目前，混凝土多為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，根據(jù)GB50010-2010《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》中的設(shè)計要求[20]，混凝土強度等級不低于C20，而設(shè)計預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)時，強度等級不低于C40。因此，采用C20，C25，C30，C35及C40五種強度等級混凝土的參數(shù)進行數(shù)值模擬，5種強度等級混凝土分別設(shè)定為算例1～5。對于在二維狀態(tài)下生成的隨機橢圓骨料混凝土模型，投放的模型長度設(shè)置為150 mm×150 mm，并擬定粗骨料的體積比為45%。其中雙級配參考文獻[3]提出的兩種尺寸，即分別是小石粒徑5～20 mm和中石粒徑20～40 mm，且小石與中石的體積比為55∶45，并用50×50×9個物質(zhì)點進行模擬分析。骨料的力學(xué)參數(shù)包括：彈性模型E取40 GPa，泊松比取0.2;砂漿的部分力學(xué)及強度參數(shù)見表1。

隨后，根據(jù)設(shè)計規(guī)范取其軸心抗拉設(shè)計值作為混凝土單軸試驗的代表值，依據(jù)規(guī)范公式計算得出每個算例對應(yīng)的單軸拉伸及單軸壓縮經(jīng)驗值，再分別取各強度下砂漿的相關(guān)力學(xué)及強度參數(shù)代入物質(zhì)點法模型中，詳細參數(shù)見下表1，不同算例下對應(yīng)的模型結(jié)果見下表2。

由表2可知，物質(zhì)點法可較好地擬合算例1～5中的抗拉強度峰值，其中算例2的中抗拉強度計算結(jié)果最好，誤差僅為0.06%;算例5中抗壓強度計算結(jié)果誤差稍大，但僅為1.14%。總體而言，所有計算工況的誤差值均較小?？梢?，物質(zhì)點法能較好地反映不同標(biāo)號混凝土的峰值強度。

由圖3可知，盡管物質(zhì)點法的結(jié)果還不能完美擬合設(shè)計規(guī)范上的應(yīng)力應(yīng)變曲線，但通過表2的誤差分析可知，物質(zhì)點法的結(jié)果與設(shè)計規(guī)范算例結(jié)果擬合良好，表明運用物質(zhì)點法研究混凝土結(jié)構(gòu)的損傷行為具有一定的適用性。

4.2 對比分析

為了更好地驗證物質(zhì)點法解決混凝土結(jié)構(gòu)損傷演化的適用性問題，本文采用有限元單法（FFM）和設(shè)計規(guī)范（CD）繼續(xù)對物質(zhì)點法的可靠性進行驗證并對比分析。因此通過參照文獻[5]、[7]及[8]，并分別設(shè)定其為算例6～8，根據(jù)算例的已知參數(shù)，運用設(shè)計規(guī)范及物質(zhì)點法，進行了同樣條件下的單軸抗拉或單軸抗壓試驗，所得數(shù)據(jù)結(jié)果分析見表3。不同方法的模擬結(jié)果對比分析，經(jīng)過歸一化處理后如圖4所示。

由表3算例6和7可知，在單軸受拉試驗中，物質(zhì)點法與有限元法在擬合設(shè)計規(guī)范經(jīng)驗值時，誤差相近;而在算例6和8的單軸受壓試驗中，物質(zhì)點法與規(guī)范值擬合誤差稍大，但最大誤差僅為4.82%。基于4.1節(jié)物質(zhì)點法與不同算例的擬合結(jié)果，結(jié)合本節(jié)與有限元法及設(shè)計規(guī)范結(jié)果的對比分析可知，物質(zhì)點法的計算結(jié)果與試驗和有限元結(jié)果吻合較好。雖然精度上物質(zhì)點法不如有限元法，但由于其建模效率高于有限元法，總的分析時間得以縮短。由此可知，物質(zhì)點法在研究混凝土細觀結(jié)構(gòu)損傷行為方面，仍具有良好的適用性。

5 結(jié) 論

本文將物質(zhì)點法應(yīng)用于混凝土結(jié)構(gòu)損傷行為的數(shù)值模擬之中，提出了一種快速建立隨機橢圓骨料混凝土結(jié)構(gòu)物質(zhì)點模型的方法，并結(jié)合特定的彈塑性損傷本構(gòu)模型編制了相應(yīng)的物質(zhì)點法程序，主要研究結(jié)論如下。

（1） 基于物質(zhì)點法的特點，建立了隨機橢圓骨料混凝土結(jié)構(gòu)物質(zhì)點模型，該模型可較好地表征混凝土細觀結(jié)構(gòu)的各相信息。

（2） 通過與不同方法下橢圓骨料混凝土單軸拉伸及壓縮試驗結(jié)果的對比分析，驗證了編寫的物質(zhì)點法計算程序的準(zhǔn)確性，表明物質(zhì)點法能有效模擬混凝土結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng)及損傷演化，具有良好的適用性和應(yīng)用前景。

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（編輯：鄭 毅）