鄒家強 張巍 劉愛華

摘要：為研究混凝土結構的宏觀力學響應及損傷行為，應用物質點法這一新型數(shù)值方法對橢圓骨料混凝土進行數(shù)值模擬研究?；诿商乜_模擬方法，考慮混凝土的細觀結構，提出了一種構建隨機橢圓骨料混凝土細觀幾何模型的方法。在該幾何模型的基礎上，進一步提出一種快速建立混凝土細觀物質點模型的方法。分別以彈塑性損傷本構模型和彈性本構模型模擬砂漿和骨料的力學行為，采用開發(fā)的物質點法程序對混凝土數(shù)值模型進行了單軸拉伸及單軸壓縮數(shù)值試驗。結果表明，物質點法模擬所得的結果與設計規(guī)范及有限元結果相近?？梢?，物質點法為混凝土結構損傷行為的數(shù)值模擬提供了一條可行的途徑。

關 鍵 詞：混凝土; 損傷行為; 物質點法; 蒙特卡羅模擬方法; 橢圓骨料

混凝土的多尺度實驗與數(shù)值模擬已成為研究者們更準確了解混凝土材料與結構的力學響應及其內(nèi)部損傷行為的重要手段[1]。一般而言，在細觀尺度下，混凝土被認為是由骨料及砂漿兩者組成。而在大多數(shù)混凝土結構中，粗骨料的體積占比高達40%～50% [2-3]，因此骨料的級配及分布對混凝土的宏觀力學響應有著顯著而直接的影響。為了開展骨料級配及分布對混凝土的力學行為的研究，研究者們通常采用物理試驗和數(shù)值試驗兩種主要手段。由于混凝土試塊的制備及后期養(yǎng)護需要消耗大量的人力、物力及時間，導致研究效率的降低，因此，數(shù)值試驗在研究混凝土結構問題上得到越來越多學者們的重視。

目前混凝土細觀數(shù)值模擬采用的數(shù)值方法主要為有限元法[4-8]。和傳統(tǒng)有限元法相比，物質點法（MPM）作為一種新型無網(wǎng)格數(shù)值方法，采用質點來離散材料區(qū)域，因而可以方便地利用混凝土細觀數(shù)字圖像的像素點信息進行建模，同時可以在數(shù)值計算時避免傳統(tǒng)有限元法在大變形情況下的網(wǎng)格畸變[9]。然而，目前物質點法的應用領域主要集中在爆炸、沖擊、流固耦合、滑坡等極端變形問題上[10-13]，在混凝土結構內(nèi)部損傷演化問題上的應用研究仍相對缺乏。

為此，本文首先提出一種快速建立隨機橢圓骨料混凝土結構物質點模型的方法。隨后結合特定的彈塑性損傷本構模型，編制相應的物質點法程序，從細觀角度模擬其結構的損傷演化，進而探討物質點法在該問題上的適用性，以期能為混凝土結構損傷行為的數(shù)值模擬提供一種新的數(shù)值方法。

1 物質點法基本理論

物質點法采用拉格朗日質點離散材料區(qū)域，并用歐拉背景網(wǎng)格計算空間導數(shù)和求解動量方程。由于兼具拉格朗日算法和歐拉算法的優(yōu)勢，物質點法較好地避免了網(wǎng)格畸變和對流項處理?；谇蠼饪刂品匠痰姆椒ǎ镔|點方法也被細分為顯示或隱式物質點法。本次研究采用的是顯式物質點法，其基本理論及控制方程表述如下。

在計算過程中，物質點法是利用中心差分法對背景網(wǎng)格結點的運動方程進行求解，得到當前時間步的每個背景網(wǎng)格節(jié)點的位移增量，再通過求解建立在網(wǎng)格節(jié)點上的有限元插值形函數(shù) NI（xi） 映射得到每個物質點的位移增量及其他物理量。由于物質點法在求解動量方程時，采用更新拉格朗日格式，每個時間步內(nèi)，物質點是與背景網(wǎng)格固定一起運動的。在上一時間步結束后，拋棄變形后的計算網(wǎng)格，但在下一時間步，仍使用初始時刻的物質點網(wǎng)格（即歐拉網(wǎng)格）作為運動方程的集成，單個時間步的運動如圖1所示。由于形函數(shù)插值初始時刻的歐拉網(wǎng)格布置方便，集成簡單，由此，即可快速實現(xiàn)物質點與背景網(wǎng)格節(jié)點之間信息的映射。

由于結合了歐拉算法與拉格朗日算法的優(yōu)勢，一方面，物質點法在每一時間步開始，利用歐拉網(wǎng)格集成動量方程，可有效避免網(wǎng)格畸變問題;另一方面，在每一計算步中，它采用更新拉格朗日形式，如此又可避免因對流項造成數(shù)值耗散而導致計算效率降低的問題。綜上所述，物質點法是一種采用物質點離散、每個時間步都重置計算網(wǎng)格的數(shù)值算法，被認為是一種特殊的有限元法。

2 數(shù)值計算模型

由上述基本理論可知，物質點法的背景計算網(wǎng)格和質點網(wǎng)格兩者既是相互獨立，又是相互統(tǒng)一的，結合運用馬懷發(fā)等學者提出的隨機橢圓骨料模型[3-4]，幾何框架下的混凝土計算模型通過物質點法便能快速高效地生成。在生成的隨機橢圓骨料模型基礎上，通過將不同的信息分別映射到質點網(wǎng)格中，即可生成分別帶有砂漿、骨料信息的物質點，隨后將兩種物質點拼接，即可生成相應的計算模型，其生成步驟見圖2。

以建立隨機橢圓骨料占比為45%的50×50大小的混凝土結構模型為例，從開始到完成建模平均耗時為10 min，而在相同條件下，有限元法的建模時間平均耗時在30 min左右[5]。

從圖2可直觀看出，物質點法是基于像素進行計算模型構建的方法。由于大多數(shù)幾何圖形通常是以數(shù)字圖像進行處理，如電腦斷層掃描，或細觀甚至微觀下的混凝土觀測圖像等，在這樣的情況下，物質點法就比有限元法可以更快速直接對這些圖像進行數(shù)值空間離散化，即把每一個圖片中的像素點轉換成帶有特定信息的物質點。近幾年來， CT技術已逐漸開發(fā)應用于探測混凝土內(nèi)部的裂縫發(fā)展[14-15]，由于其圖片也是像素顯示方式，因此也能夠與物質點法建立一定的匹配關系[16]。反之，物質點法也可根據(jù)既定圖像構建與之對應的數(shù)值模型，隨后通過計算也可進行分析對比。

3 本構模型

4 模擬分析及討論

4.1 建模與結果分析

目前，混凝土多為鋼筋混凝土結構，根據(jù)GB50010-2010《混凝土結構設計規(guī)范》中的設計要求[20]，混凝土強度等級不低于C20，而設計預應力混凝土結構時，強度等級不低于C40。因此，采用C20，C25，C30，C35及C40五種強度等級混凝土的參數(shù)進行數(shù)值模擬，5種強度等級混凝土分別設定為算例1～5。對于在二維狀態(tài)下生成的隨機橢圓骨料混凝土模型，投放的模型長度設置為150 mm×150 mm，并擬定粗骨料的體積比為45%。其中雙級配參考文獻[3]提出的兩種尺寸，即分別是小石粒徑5～20 mm和中石粒徑20～40 mm，且小石與中石的體積比為55∶45，并用50×50×9個物質點進行模擬分析。骨料的力學參數(shù)包括：彈性模型E取40 GPa，泊松比取0.2;砂漿的部分力學及強度參數(shù)見表1。

隨后，根據(jù)設計規(guī)范取其軸心抗拉設計值作為混凝土單軸試驗的代表值，依據(jù)規(guī)范公式計算得出每個算例對應的單軸拉伸及單軸壓縮經(jīng)驗值，再分別取各強度下砂漿的相關力學及強度參數(shù)代入物質點法模型中，詳細參數(shù)見下表1，不同算例下對應的模型結果見下表2。

由表2可知，物質點法可較好地擬合算例1～5中的抗拉強度峰值，其中算例2的中抗拉強度計算結果最好，誤差僅為0.06%;算例5中抗壓強度計算結果誤差稍大，但僅為1.14%?？傮w而言，所有計算工況的誤差值均較小?？梢?，物質點法能較好地反映不同標號混凝土的峰值強度。

由圖3可知，盡管物質點法的結果還不能完美擬合設計規(guī)范上的應力應變曲線，但通過表2的誤差分析可知，物質點法的結果與設計規(guī)范算例結果擬合良好，表明運用物質點法研究混凝土結構的損傷行為具有一定的適用性。

4.2 對比分析

為了更好地驗證物質點法解決混凝土結構損傷演化的適用性問題，本文采用有限元單法（FFM）和設計規(guī)范（CD）繼續(xù)對物質點法的可靠性進行驗證并對比分析。因此通過參照文獻[5]、[7]及[8]，并分別設定其為算例6～8，根據(jù)算例的已知參數(shù)，運用設計規(guī)范及物質點法，進行了同樣條件下的單軸抗拉或單軸抗壓試驗，所得數(shù)據(jù)結果分析見表3。不同方法的模擬結果對比分析，經(jīng)過歸一化處理后如圖4所示。

由表3算例6和7可知，在單軸受拉試驗中，物質點法與有限元法在擬合設計規(guī)范經(jīng)驗值時，誤差相近;而在算例6和8的單軸受壓試驗中，物質點法與規(guī)范值擬合誤差稍大，但最大誤差僅為4.82%。基于4.1節(jié)物質點法與不同算例的擬合結果，結合本節(jié)與有限元法及設計規(guī)范結果的對比分析可知，物質點法的計算結果與試驗和有限元結果吻合較好。雖然精度上物質點法不如有限元法，但由于其建模效率高于有限元法，總的分析時間得以縮短。由此可知，物質點法在研究混凝土細觀結構損傷行為方面，仍具有良好的適用性。

5 結 論

本文將物質點法應用于混凝土結構損傷行為的數(shù)值模擬之中，提出了一種快速建立隨機橢圓骨料混凝土結構物質點模型的方法，并結合特定的彈塑性損傷本構模型編制了相應的物質點法程序，主要研究結論如下。

（1） 基于物質點法的特點，建立了隨機橢圓骨料混凝土結構物質點模型，該模型可較好地表征混凝土細觀結構的各相信息。

（2） 通過與不同方法下橢圓骨料混凝土單軸拉伸及壓縮試驗結果的對比分析，驗證了編寫的物質點法計算程序的準確性，表明物質點法能有效模擬混凝土結構的力學響應及損傷演化，具有良好的適用性和應用前景。

參考文獻：

[1] Wang X F，Yang Z J，Yates J R.Monte Carlo simulations of mesoscale fracture modelling of concrete with random aggregates and pores[J].Construction and Building Materials，2015，75：35-45.

[2] Wang Z M，Kwan A K H，ChanH H C.Mesoscopic study of concrete I：Generation of random aggregate structure and finite element mesh[J].Computers and Structures，1999，70（5）：533-544.

[3] Ma H F，Xu W X，Li Y C.Random aggregate model for mesoscopic structures and mechanical analysis of fully-graded concrete[J].Computers and Structures，2016，177：103-113.

[4] 楊華，李宗利，惠弘毅.基于隨機骨料模型的混凝土彈性模量預測研究[J].長江科學院院報，2016，33（2）：100-105.

[5] Xu Y，Chen S H.A method for modeling the damage behavior of concrete with a three-phase mesostructure[J].Construction and Building Materials，2016，102：26-38.

[6] Omidi O，Lotfi V.Finite Element Analysis of Concrete Structures Using Plastic-Damage Model in 3-D Implementation[J]. International Journal of Civil Engineering，2010，8（3）：187-203.

[7] 許葉帥.考慮骨料形狀的混凝土細觀模型研究[D].南京：東南大學，2017.

[8] 周尚志.混凝土動靜力破壞過程的數(shù)值模擬及細觀力學分析[D].西安：西安理工大學，2007.

[9] Nguyen V P.Material point method basics and applications[D].Wales：Cardiff University，2014.

[10] 吳金國，林慶華，彎港，等.基于物質點法的軌道炮刨削機理三維數(shù)值研究[J].爆炸與沖擊，2017，37（2）：307-314.

[11] 張雄，劉巖，張帆，等.極端變形問題的物質點法研究進展[J].計算力學學報，2017，34（1）：1-16.

[12] 王斌，馮夏庭，潘鵬志，等.物質點法在邊坡穩(wěn)定性評價中的應用研究[J].巖石力學與工程學報，2017，36（9）：2416-2155.

[13] 張巍，史卜濤，施斌，等.土質滑坡運動全過程物質點法模擬及其應用[J].工程地質學報，2017，26（3）：815-823.

[14] Ren W Y，Yang Z J，Rajneesh S，et al.Two-dimensional X-ray CT image based meso-scale fracture modelling of concrete[J].Engineering Fracture Mechanics，2015，133：24-39.

[15] Henry M，Darma I S，Sugiyama T.Analysis of the effect of heating and recuring on the microstructure of high-strength concrete using X-ray CT[J].Construction and Building Materials，2014，67：37-46.

[16] Homel M A，Herbold E B.Field-gradient partitioning for fracture and frictional contact in the material point method[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering，2017，109（7）：1013-1044.

[17] 常曉林，馬剛，劉杏紅.基于復合屈服準則的混凝土塑性損傷模型[J].四川大學學報（工程科學版），2011，43（1）： 1-7.

[18] 張巍，肖明，范國邦.大型地下洞室群圍巖應力-損傷-滲流耦合分析[J].巖土力學，2008，29（7）：1813-1818.

[19] Franttziskonis G， Desai C S. Constitutive model with strain softening[J].International Journal of Solids Structures，1987，23（6）：733-750.

[20] 混土結構設計規(guī)范：GB50010-2010 [S].北京：中國建筑工業(yè)出版社，2011.

（編輯：鄭 毅）