楊曉麗 許 雷

（1 內(nèi)江師范學(xué)院生命科學(xué)學(xué)院；2 內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 四川內(nèi)江 641199）

分?jǐn)?shù)階微積分是常微分和積分到任意階的推廣。與整數(shù)階相比，分?jǐn)?shù)階微分方程在物理現(xiàn)象的模擬上有許多優(yōu)勢[1]。近幾十年來，分?jǐn)?shù)偏微分方程被廣泛用于描述工程過程和動力學(xué)系統(tǒng)。越來越多的研究人員致力于研究求解分?jǐn)?shù)微分方程以及解的存在性和唯一性。由于分?jǐn)?shù)階微分算子具有全局性以及對偶算子不是其負(fù)算子的性質(zhì)，很難對分?jǐn)?shù)階微分方程進(jìn)行求解，因此很多學(xué)者對分?jǐn)?shù)階問題的數(shù)值方法進(jìn)行了研究。針對不同類型的方程提出了不同數(shù)值方法。常用的方法包括有限差分方法[2]，有限元方法[3]，譜Galerkin方法[4]以及正交多項(xiàng)式的方法。常用的多項(xiàng)式方法有Legendre多項(xiàng)式[5]、Chebyshev多項(xiàng)式[6]、Bernstein多項(xiàng)式[7]，以及Bernoulli多項(xiàng)式[8]。目前用Bernoulli多項(xiàng)式求解分?jǐn)?shù)階微分方程的文獻(xiàn)很少，且運(yùn)算較為復(fù)雜，因此基于分?jǐn)?shù)階微分算子矩陣的方法，引入Chebyshev多項(xiàng)式，結(jié)合tau法和配方法將分?jǐn)?shù)階微分方程轉(zhuǎn)化為線性或者非線性方程組，以降低問題的復(fù)雜性。

一、預(yù)備知識

（一）Caputo意義下的分?jǐn)?shù)階微分[9]

定義1：Caputo類型的分?jǐn)?shù)階微分定義

其中，α＞0，n是比α大的最小的整數(shù)，對于Caputo微分有DαC=0，C為常數(shù)

其中，γ和δ為常數(shù)。

（二）Chebyshev多項(xiàng)式的性質(zhì)[10]

定義2：定義在[-1,1]上的Chebyshev 多項(xiàng)式為可由如下遞推公式得到：

移位Chebyshev多項(xiàng)式的解析解表示為：

滿足如下正交性：

（三）Chebyshev 多項(xiàng)式函數(shù)逼近。設(shè)H=L2([0,1])Chebyshev多項(xiàng)式集合，γ=則對于H空間中的任意函數(shù)存在唯一的最佳近似g(t)∈γ：

式（7）等價(jià)于

其中，系數(shù)可以由如下公式得到，

在實(shí)踐中，只用前N+1項(xiàng)，即

二、分?jǐn)?shù)階微分的Chebyshev算子矩陣

利用公式（12）得到，

引理1：設(shè)Chebyshev多項(xiàng)式，則

引理1 利用Caputo 微分的定義和公式（5）很容易證明，在此略。

定理1：設(shè)為移位Chebyshev向量，v＞0，

其中，D(v)為維的在caputo 意義上的分?jǐn)?shù)階微分的運(yùn)算矩陣，定義如下：

證明：

利用N+1項(xiàng)Chebyshev多項(xiàng)式逼近tk-v，得到

整理公式（18）（19）就可以得到證明的結(jié)果

三、數(shù)值計(jì)算方法

（一）線性分?jǐn)?shù)階微分方程的求解?？紤]Caputo意義下的分?jǐn)?shù)階微分方程具有如下的形式：

初始條件滿足：

利用Chebyshev多項(xiàng)式可以將y(t)和ɡ(t)近似為：

其中，向量G可以由公式（10）求得，為未知向量，根據(jù)定理1，分?jǐn)?shù)階微分可以做如下近似：

因此，公式（14）的殘差R(t)可以表示為：

利用經(jīng)典的Tau方法，我們可以利用如下公式產(chǎn)生維的N-m+1線性方程組：

利用初始條件可以得到，

（二）非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的求解。對于如下的非線性分?jǐn)?shù)階微分方程：

初始條件如（21）式,0＜q1＜…＜qk＜μ，則y(t),Dμy(t)，以及Dq jy(t)的近似處理和線性方程一樣，因此可以得到，

在配置點(diǎn)上，上述公式是完全相等的，因此選擇為N-m+1移位勒讓德多項(xiàng)式的根為配置點(diǎn)聯(lián)合初始條件得到N+1維的非線性方程組，利用典型的迭代方法，如牛頓迭代方法就能得到的近似解。

四、實(shí)例計(jì)算

例1：考慮如下非線性初值問題[11],

精確解為y(t)=t2

假設(shè)N=2，則方程的解可近似為：

因此可以得到線性方程組：

解得CT=[0.375 0.5 0.125]

例2：考慮如下邊界Bagely-Torvik問題[12],

上述方程有精確解y(t)=t2

假設(shè)N=2，則方程的解可近似為：

對邊界條件進(jìn)行處理得：

因此，利用3.1節(jié)的方法，同樣可以得到

五、結(jié)論

文本提出了解決一類分?jǐn)?shù)階微分方程的Chebyshev矩陣方法?；贚2空間下，任意函數(shù)可由Chebyshev 多項(xiàng)式張開，將分?jǐn)?shù)階的微分方法轉(zhuǎn)化為線性或者非線性方程組進(jìn)行求解，降低了方程的計(jì)算復(fù)雜性，并通過實(shí)例分析證明了算法的有效性。