韓松 吳麗娟 李博

摘 要：本文主要介紹了幾種過渡曲面生成算法的特點(diǎn)、應(yīng)用范圍、優(yōu)缺點(diǎn)，包括滾球法、偏微分方程法、能量構(gòu)造法、蒙皮構(gòu)造法和基于裁剪線的過渡曲面構(gòu)造法，以期為相關(guān)學(xué)者的研究提供借鑒。

關(guān)鍵詞：過渡曲面;滾球法;偏微分方程法

中圖分類號：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-5168（2019）02-0044-03

Research on Surface Smooth Mosaic Method

Absrtact： This paper mainly introduced the characteristics， application scope， advantages and disadvantages of several transition surface generation algorithms， including ball rolling method， partial differential equation method， energy construction method， skin construction method and transition surface construction method based on clipping line， in order to provide reference for relevant scholars.

Keywords：transition surface;rolling ball method;partial differential equation method

典型的過渡曲面生成算法主要有滾球法、偏微分方程法、能量構(gòu)造法、蒙皮構(gòu)造法和基于裁剪線的過渡曲面構(gòu)造法。由此，本文主要對過渡曲面生成算法的特點(diǎn)、應(yīng)用范圍、優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行分析[1]。

1 滾球法

1984年，Rossignac和Requicha提出滾球法。滾球過渡是兩片參數(shù)曲面間構(gòu)造過渡曲面的經(jīng)典方法，這樣所生成的過渡曲面和原曲面間是Gl連續(xù)的[2]。該方法可以看作是用一個(gè)球，沿著兩個(gè)過渡基曲面滾過，球滾過所形成的包絡(luò)線就是過渡曲面，滾球中心所走過的曲線被稱為脊線，而滾球與原基曲面相切的地方在滾動過程中所走過的曲線就是過渡切觸線，滾球法后來發(fā)展出了常半徑滾球過渡法和變半徑滾球過渡法[3]。

常半徑滾球過渡法的特點(diǎn)是球在滾動時(shí)，球的半徑不發(fā)生改變，形成的過渡曲面截線都具有相同的曲率。用這種方法來構(gòu)造過渡曲面，首先要計(jì)算兩基曲面與過渡面的偏移半徑，設(shè)偏移半徑等于球的半徑，然后計(jì)算待拼接面與偏移面間的切線。切線就是滾球的中心線，也是過渡曲面的脊線。令滾球與兩基曲面相交的點(diǎn)為[C0和C1]?；鎇S0（u0，v0）]在[C0]處的切平面為[Q0]，基曲面[S1（u1，v1）]在[C1]處的切平面為[Q1]，球心為O，則過[O，C0，C1]點(diǎn)有平面[Q2]，那么[Q0，Q1，Q2]相交于[C2]點(diǎn)，再以[C0，C1，C2]為控制定點(diǎn)來構(gòu)造如下的二次截線[4]：

[Kα=ω0（1-α）2C0+2ω11-ααC2+ω2（α）2C1ω0（1-α）2+2ω11-αα+ω2（α）2] ? ? ? ? ? （1）

變半徑滾球過渡法的特點(diǎn)是滾球在滾動過程中，滾球的大小是變化的，但用變半徑滾球過渡法構(gòu)造過渡曲面時(shí)，其脊線[P（u）]和半徑函數(shù)[F（u）]都是已知的，存在：

[Gu/Lu≤I] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

構(gòu)造過渡曲面時(shí)，首先根據(jù)已給定的初始脊線[LO（u）]和半徑[G（u）]，接下來調(diào)整初始脊線的位置使其與兩基曲面間等距，調(diào)整后的初始脊線稱為等距線[L（u）]，最后通過等距線來確定過渡曲面。

2 偏微分方程法

偏微分方程法（PDE）在幾何造型中的最初應(yīng)用就是構(gòu)造過渡面[5]。該方法具有以下優(yōu)點(diǎn)：曲面由其參數(shù)的超越函數(shù)表示而并不是簡單的多項(xiàng)式，因此生成的曲面自然光順;構(gòu)造過渡曲面簡單易行，只需要給定邊界曲線和跨界導(dǎo)矢就可以生成光順的過渡曲面;除邊界曲線和跨界導(dǎo)矢外，也可調(diào)整方程中的一個(gè)物理參數(shù)來調(diào)整曲面的形狀。偏微分方程法受到了很多人的關(guān)注，又相繼發(fā)展出許多新的PDE求解過渡曲面方法，如Lihua.You先后提出的四階偏微分方程法和特征函數(shù)法。

3 能量構(gòu)造法

能量構(gòu)造法是在偏微分方程法基礎(chǔ)上發(fā)展出來的一種方法。1987年，加拿大學(xué)者Terzopoulos等將基于物理能量模型的可變形曲線曲面造型技術(shù)引入計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，使用物理能量模型來創(chuàng)建一個(gè)微分方程，引入約束處理和外載荷。此外，增加幾個(gè)補(bǔ)充條件，對這個(gè)方程進(jìn)行一些變化，最后使用數(shù)值積分的方法來對這種物理能量模型所構(gòu)造出的微分方程進(jìn)行求解。之后，Celniker.G和Gossard.D又進(jìn)一步優(yōu)化了這一方法，他們把能量模型設(shè)為目標(biāo)函數(shù)，將特征線作為約束加到補(bǔ)充函數(shù)里去，這樣在加上外載荷以后就可以對所構(gòu)造的曲面進(jìn)行較好的調(diào)整和控制。

簡言之，能量構(gòu)造法就是將曲面看成是彈性變形的薄殼，引入能量泛函，通過某些力學(xué)原理建立變形曲面的控制方程，然后引入一定的數(shù)值方法求解滿足一定約束條件的數(shù)值解[6]。把在待拼接面的過渡切觸線及其在待拼接面上的法矢和其他邊界線作為約束，采用基于物理的曲面造型技術(shù)來生成過渡曲面，再通過數(shù)值分析的方法來求解能量曲面的型值點(diǎn)，進(jìn)而得到過渡曲面。

曲面能量泛函公式為：

[Esur=α11w2u+2α11wuwv+α11w2v+β11wuu+2β12wuv+β22wvv-2wfu，vdudv]（3）

4 蒙皮構(gòu)造法

蒙皮構(gòu)造法是在高級制造業(yè)中應(yīng)用相對較為廣泛的拼接方法，其是通過一個(gè)拓?fù)潼c(diǎn)陣，或者離散的點(diǎn)云，或者截面曲線來構(gòu)造一個(gè)光滑的曲面，這種方法在數(shù)學(xué)上就是通過在這些點(diǎn)陣和截面曲線間插值來構(gòu)造過渡曲面，其可以簡單地想象成在一組曲面上蒙上一層光滑的曲面。這一方法最早是由Woodward提出的，他指出，蒙面就是在通過一組有序的截面曲線間插值來擬合一張曲面，這個(gè)過程就如在建造機(jī)翼時(shí)在骨架上加上一層蒙皮，這樣機(jī)翼蒙皮就稱為掃掠曲面[7-9]。

5 基于裁剪線的過渡曲面構(gòu)造法

這種基于裁剪線的過渡曲面的構(gòu)造法，生成的過渡曲面是不沿著基曲面的過渡切觸線與基曲面連接在一起，而是通過基曲面上剪裁線來進(jìn)行連接的。這種方法較為靈活，但算法卻相當(dāng)復(fù)雜。

在使用這種方法時(shí)，先在兩個(gè)基曲面確定兩條剪裁線，隨后依據(jù)這兩條剪裁線來構(gòu)造脊線，最后計(jì)算出過渡面的截面曲線，從而得到想要的過渡面。在使用時(shí)，也可以跳過計(jì)算脊線的步驟直接構(gòu)造過渡面。

基于剪裁線的過渡曲面構(gòu)造法主要有Koparkar.P提出的方法和Filip.D.J提出的方法。由Koparkar.P提出的方法中，脊線是輔助曲面的交線，而這個(gè)輔助曲面可以是由基曲面的法線是沿裁剪線活動的軌跡生成的，隨后依據(jù)脊線和剪裁線可以計(jì)算截面曲線，最后用這條截面曲線掃掠即可得到過渡曲面[10-12]。

而由Filip.D.J提出的方法中，所生成的過渡面的構(gòu)造函數(shù)為：

[Bs，t=H1sC1t+H2sC2t+H3sT1t+H4sT2t]（4）

式中，[Hjs，j=1，…，4]是三次埃爾米特插值多項(xiàng)式，[Cit，i=1，2]是裁剪線。方向矢量[Tit]為[C2t-C1t]在[Cit]基曲面的切平面上的投影。

6 曲面的光順

由于曲面拼接的廣泛應(yīng)用，拼接之后對曲面的光順處理也就被重視起來，如何對其形狀進(jìn)行調(diào)整就變得尤為重要。Hagen通過能量最小法對曲面進(jìn)行光順處理。曲面的形狀由控制點(diǎn)決定，隨意對曲面進(jìn)行光順處理時(shí)，只需要考慮控制頂點(diǎn)的位置[7]。由于測量方式和造型手段的局限性，所以，基于逆向工程重構(gòu)出來的曲面的光順程度可能會不滿足需求，需要通過曲面光順來提高逆向工程曲面的品質(zhì)。

Farin Sapidis提出的節(jié)點(diǎn)去除算法是一種實(shí)用性很強(qiáng)的光順?biāo)惴?，通過節(jié)點(diǎn)去除可以減少冗余的數(shù)據(jù)，并用于三次樣條曲線的局部光順，通過移動節(jié)點(diǎn)，提高曲線在節(jié)點(diǎn)處的連續(xù)率，從而達(dá)到光順。Pigounakis約束算法是全局算法中較有代表性的，給定某個(gè)約束條件，限定控制頂點(diǎn)的擾動量，結(jié)合此約束條件給出能量函數(shù)，通過能量函數(shù)最小化解得新的控制頂點(diǎn)。此算法能一次對整條曲線進(jìn)行光順，但其缺點(diǎn)是需要求解優(yōu)化方法。

在實(shí)際應(yīng)用中，存在只有個(gè)別控制點(diǎn)不光順的情況，如果使用全局光順，將會產(chǎn)生大量不必要的計(jì)算，而且會修改不需要被修改的控制點(diǎn)。由此，局部光順法應(yīng)用而生，在每次的光順處理中只修改少數(shù)控制頂點(diǎn)，采用最優(yōu)化方法對其進(jìn)行調(diào)整，而其他控制點(diǎn)不發(fā)生改變。

局部光順法有判別和修改兩部分。壞點(diǎn)的判別有兩種方式：①壞點(diǎn)由用戶決定，這稱為交互方式;②壞點(diǎn)由程序來決定，通過制定的光順標(biāo)準(zhǔn)，程序?qū)⒆詣記Q定壞點(diǎn)，這稱為自動方式。壞點(diǎn)的修改：當(dāng)前主要的修改方法是Kjellander法。曲線不光順性的主要原因是三階導(dǎo)數(shù)的不連續(xù)性，可將控制點(diǎn)修改至一個(gè)更好的位置，使其三階導(dǎo)數(shù)差為0，進(jìn)而達(dá)到光順。

7 結(jié)論

目前，曲面拼接在實(shí)際生產(chǎn)和生活中的應(yīng)用越來越廣泛，曲面拼接的研究也如火如荼地進(jìn)行著。因此，不同種類的拼接方式和拼接算法的需求不斷提高，選擇一個(gè)較為可行的曲面構(gòu)造模型尤為關(guān)鍵。本文主要分析過渡曲面生成算法的特點(diǎn)、應(yīng)用范圍、優(yōu)缺點(diǎn)，以期為學(xué)者選擇合適的曲面拼接方式提供借鑒。

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