施 旋，謝中友，徐 培

（銅陵學(xué)院建筑工程學(xué)院，安徽銅陵 244000）

人類(lèi)對(duì)自由曲面的研究和探索有著很久的歷史，從古羅馬發(fā)明單拱、十字拱和球拱，給世界帶來(lái)了優(yōu)美自由曲面的概念后，藝術(shù)與結(jié)構(gòu)的結(jié)合沖擊著整個(gè)歐洲。十九世紀(jì)中葉，鋼筋混凝土的大量使用使得曲面建筑得以興起。到了20世紀(jì)的時(shí)候，多種組合形式的雙曲率混凝土[1]由西班牙著名建筑師Candela F設(shè)計(jì)成功，突破了傳統(tǒng)的曲面形式，對(duì)建筑自由曲面的造型有了極大豐富。在著名建筑師Isler H對(duì)于薄殼形態(tài)[2]發(fā)展道路的堅(jiān)持努力下，研究得出了40多種新的曲面形態(tài)，這些曲面廣泛應(yīng)用于各類(lèi)建筑當(dāng)中，豐富了建筑類(lèi)型，取得了豐碩成果。隨著人們對(duì)建筑美觀的注重，自由曲面因?yàn)樽陨淼膬?yōu)美而獲得極大的重視。特別是以“不均勻有理B樣條曲線造型系統(tǒng)”（NURBS）為代表的三維建模技術(shù)在計(jì)算機(jī)上的應(yīng)用[3]，打破了傳統(tǒng)的局限，使得自由曲面結(jié)構(gòu)的形態(tài)能夠被建筑師自由控制。

曲面擬合方法和基于曲線變換技術(shù)的曲面生成方法[4]是自由曲面幾何造型的兩種主要方法，其中曲面擬合方法操作更簡(jiǎn)便，適用范圍更廣。我國(guó)著名的學(xué)者崔昌禹教授提出高度調(diào)整法，將有限元法作為基礎(chǔ)，通過(guò)對(duì)自由曲面高度的微分計(jì)算，對(duì)自由曲面的高度進(jìn)行調(diào)整，從而得出最合理的自由曲面結(jié)構(gòu)[5]。高度差對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)應(yīng)變能的計(jì)算是利用高度變化參數(shù)來(lái)進(jìn)行，該方法只能計(jì)算相對(duì)比較簡(jiǎn)單的彎曲效應(yīng)小、受力效應(yīng)高的曲面結(jié)構(gòu)。Winslow教授開(kāi)創(chuàng)了基于遺傳算法[6]的計(jì)算模型，該模型主要調(diào)整設(shè)計(jì)變量為兩個(gè)方向，通過(guò)對(duì)網(wǎng)格桿方差的計(jì)算得出受力均勻的曲面。遺傳算法能很好地求解結(jié)構(gòu)的最優(yōu)解，但對(duì)于計(jì)算量較大時(shí)存在短板。梯度法[7]是通過(guò)對(duì)函數(shù)自變量x求導(dǎo)，找出自變量x順著函數(shù)負(fù)梯度的方向變化，從而求出目標(biāo)函數(shù)f(x)的最小值。以找到目標(biāo)函數(shù)單調(diào)遞減的方向?yàn)榛A(chǔ)，通過(guò)它建立自由曲面形狀結(jié)構(gòu)與其控制變量間的關(guān)系，從而可以根據(jù)要求對(duì)自由曲面進(jìn)行調(diào)整。相較于前兩種方法，梯度法更容易得出控制點(diǎn)和全因子的合理取值，通過(guò)幾何或數(shù)值方法可以方便地創(chuàng)建自由曲面形狀，且只涉及一階求導(dǎo)，更容易進(jìn)行操作。本文以NURBS為基礎(chǔ)，采用曲面擬合技術(shù)建立自由曲面數(shù)學(xué)模型，對(duì)梯度算法進(jìn)行優(yōu)化，分析構(gòu)件模型的力學(xué)穩(wěn)定性。

1 自由曲面結(jié)構(gòu)形態(tài)模型的構(gòu)建

自由曲面模型以計(jì)算機(jī)NURBS軟件建模技術(shù)為基礎(chǔ)，在長(zhǎng)度為50m和寬度為50m的范圍內(nèi)建立自由曲面模型，自由變化的方向定位高度，曲面模型采用混凝土材料，彈性模量設(shè)定為E=2.5×104MPa，設(shè)定泊松比v=0.2，厚度t=20 cm。模型如圖1所示。

NURBS自由曲面以B樣條曲面為基礎(chǔ)而形成。假設(shè)三維空間它的參數(shù)定義：u、v定義為兩個(gè)方向的參數(shù)，是u、v平面上參數(shù)u、v的坐標(biāo)，di,j是曲面控制點(diǎn)在u、v方向的基函數(shù)。

其中Wi，j是控制點(diǎn)的權(quán)重因子。

圖1 自由曲面模型圖

圖2 自由曲面和控制點(diǎn)之間的關(guān)系

2 自由曲面的空間形成

通過(guò)（3）式形成的自由曲面結(jié)構(gòu)并不能滿(mǎn)足實(shí)際需求，因此需要優(yōu)化相應(yīng)的參數(shù)，對(duì)自由曲面結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的優(yōu)化，通過(guò)優(yōu)化后建立的自由曲面結(jié)構(gòu)，才能使得研究具有實(shí)際應(yīng)用意義。優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)的基本思想是通過(guò)改變控制點(diǎn)的坐標(biāo)和權(quán)重[5]，使應(yīng)變能最小時(shí)獲得較為合理的自由曲面。優(yōu)化思想理念是對(duì)自由曲面的單一參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，需采用梯度法進(jìn)行處理，這樣經(jīng)過(guò)多次逐步優(yōu)化就形成合理的且應(yīng)變能較小的自由曲面網(wǎng)格結(jié)構(gòu)[3]。自由曲面結(jié)構(gòu)應(yīng)變能為

3 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性能分析

3.1 理想模型下的自由曲面力學(xué)性能分析

前文介紹經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)參數(shù)建立的模型，并不能適應(yīng)實(shí)際的需求，需要對(duì)其進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，形成優(yōu)美形態(tài)的自由曲面網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，圖3～圖5是該曲面的具體分析模型圖。圖3是模型1的曲面以受薄膜壓力為主；圖4中模型2的區(qū)域比例以拉、彎應(yīng)力為多，受壓部分的區(qū)域面積所占較小；圖5中模型3曲面拉、壓、彎曲區(qū)域比例相當(dāng)。通過(guò)對(duì)圖3～圖5優(yōu)化前后的形態(tài)模型分析，得到圖6及圖7的結(jié)構(gòu)優(yōu)化荷載位移圖，可知結(jié)構(gòu)受到拉壓力為主的時(shí)候，結(jié)構(gòu)極易發(fā)生破壞，且發(fā)生破壞之后，荷載-位移曲線的加速度迅速減小。彎曲壓力占比重大時(shí)，單元節(jié)點(diǎn)的位移處于較大數(shù)值，結(jié)構(gòu)處于不穩(wěn)定的狀態(tài)。拉應(yīng)力及彎曲應(yīng)力的有利作用，能夠消除自由曲面薄膜拉力與彎矩比重較大對(duì)結(jié)構(gòu)帶來(lái)的不穩(wěn)定性問(wèn)題。

圖3 模型1優(yōu)化前后的自由曲面網(wǎng)格結(jié)構(gòu)形態(tài)

圖4 模型2優(yōu)化前后的自由曲面網(wǎng)格結(jié)構(gòu)形態(tài)

圖5 模型3優(yōu)化前后的自由曲面網(wǎng)格結(jié)構(gòu)形態(tài)

3.2 存在缺陷條件下的自由曲面力學(xué)性能分析

對(duì)自由曲面進(jìn)行分析時(shí)，影響結(jié)構(gòu)承載力和穩(wěn)定性重要的因素之一就是缺陷。缺陷越大，自由曲面的承載力和穩(wěn)定性越差[8]。現(xiàn)施加一個(gè)缺陷在優(yōu)化后的自由曲面上，缺陷為L(zhǎng)/1 000～L/200，其中L表示跨度，圖8是不同模型下施加的缺陷對(duì)應(yīng)的屈曲荷載變化，模型1，2，3與前文一致。兩者臨界荷載比值是指考慮缺陷和不考慮荷載缺陷下的比值。

通過(guò)圖8可以看出：當(dāng)薄膜壓力作為主要受力作用于曲面結(jié)構(gòu)時(shí)，（模型1）缺陷和屈曲荷載的關(guān)系呈負(fù)相關(guān)性；當(dāng)薄膜拉力與彎矩比重在曲面結(jié)構(gòu)中的值較大（模型2）時(shí)，缺陷和屈曲荷載的關(guān)系呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，實(shí)際案例中此情況發(fā)生的概率很低。當(dāng)受壓、受拉與受彎在曲面結(jié)構(gòu)中比例接近時(shí)，屈曲荷載對(duì)缺陷的反映靈敏度低。

圖6 優(yōu)化前后曲面內(nèi)力拉力和彎曲壓力應(yīng)力云圖

圖7 優(yōu)化過(guò)程荷載-位移

圖8 不同模型下施加的缺陷對(duì)應(yīng)的屈曲荷載變化

4 結(jié)論

綜上所述，通過(guò)采用曲面擬合技術(shù)并以NURBS為基礎(chǔ)建立自由曲面的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用優(yōu)化的梯度算法，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后結(jié)合三種施加荷載的模型對(duì)理想狀態(tài)和存在缺陷兩種狀態(tài)的自由曲面結(jié)構(gòu)進(jìn)行相應(yīng)的受力分析。分析結(jié)果顯示：對(duì)于理想狀態(tài)的自由曲面結(jié)構(gòu)，其中理想狀態(tài)下以受薄膜壓力為主的結(jié)構(gòu)發(fā)生極值點(diǎn)失穩(wěn)，缺陷增加導(dǎo)致屈曲荷載降低；當(dāng)薄膜拉力與彎矩比重較大，結(jié)構(gòu)具有屈曲后強(qiáng)度，缺陷增加易導(dǎo)致屈曲荷載增加；當(dāng)結(jié)構(gòu)受拉、受壓以及受彎區(qū)域面積比例相當(dāng)時(shí)，曲面對(duì)缺陷不敏感。研究結(jié)論對(duì)自由曲面的穩(wěn)定性研究及實(shí)際工程設(shè)計(jì)具有參考意義。