顧啟元,王俊祥

(重慶文理學(xué)院 軟件工程學(xué)院,重慶 402160) E-mail:cqwu_gqy@126.com

1 引 言

群體智能算法為實(shí)際工程中復(fù)雜的優(yōu)化問(wèn)題提供了一個(gè)有效的解決方案.近年來(lái),群體智能算法受到了更多研究者的關(guān)注,繼粒子群優(yōu)化算法、蟻群優(yōu)化算法、人工蜂群算法提出后,先后涌現(xiàn)出了更多的群體智能范式,如螢火蟲(chóng)優(yōu)化算法[1]、果蠅優(yōu)化算法[2]、灰狼搜索算法[3],水波優(yōu)化算法[4]等.

受淺水波理論的啟發(fā),國(guó)內(nèi)學(xué)者鄭宇軍于2015年首次提出水波優(yōu)化算法(Water Wave Optimization,WWO),該算法通過(guò)模擬傳播、折射、碎浪等水波運(yùn)動(dòng)方式在高維解空間中進(jìn)行高效搜索[4].WWO算法具有操作簡(jiǎn)易、計(jì)算開(kāi)銷(xiāo)小、控制參數(shù)較少、種群規(guī)模小等優(yōu)點(diǎn).文獻(xiàn)[4]指出在CEC2014基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)集上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明WWO整體優(yōu)化性能要優(yōu)越于種子算法[5]、生物地理學(xué)優(yōu)化算法[6]、蝙蝠優(yōu)化算法[7].在工程應(yīng)用方面,WWO 已在軟件形式化開(kāi)發(fā)關(guān)鍵部件選取[8]和車(chē)輛路徑[9]等優(yōu)化問(wèn)題中得到了應(yīng)用,并且取得了較好的效果.

WWO自提出以來(lái),受到到了研究者的關(guān)注.文獻(xiàn)[10]從理論上討論了WWO算法的收斂性條件,證明了WWO只執(zhí)行傳播操作或只執(zhí)行折射操作,個(gè)體均可以收斂.數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了論述的兩種收斂性條件.

針對(duì)WWO算法收斂速度慢缺點(diǎn),文獻(xiàn)[11]提出了基于種群規(guī)?？勺兊腤WO算法,在改進(jìn)的WWO算法中,對(duì)折射操作引入了學(xué)習(xí)機(jī)制以提高算法的性能.文獻(xiàn)[12]提出了一種模擬退火的自適應(yīng)WWO算法,算法中依據(jù)水波進(jìn)化狀態(tài)性能指標(biāo)來(lái)自適應(yīng)調(diào)整波長(zhǎng)的系數(shù),以提高搜索效率;同時(shí),在算法后期引入模擬退火的操作避免算法陷入局部最優(yōu).文獻(xiàn)[13]提出了基于混沌和單純形法的WWO算法,算法中通過(guò)引入混沌優(yōu)化策略來(lái)避免群體對(duì)初值敏感性,從而降低種群初始化隨機(jī)性對(duì)收斂速度和精度的影響,同時(shí)引入了單純形法來(lái)提高WWO算法局部搜索能力.文獻(xiàn)[14]提出基于自適應(yīng)控制參數(shù)的WWO算法,在算法討論了衰減系數(shù)α 的取值范圍,同時(shí)設(shè)計(jì)碎浪系數(shù)β隨著迭代次數(shù)變化的非線(xiàn)性函數(shù).時(shí)變的碎浪系數(shù)β可以使種群在進(jìn)化前段有較大值能更好地實(shí)現(xiàn)全局探索;而在在進(jìn)化后期,能更多地進(jìn)行局部開(kāi)發(fā),文獻(xiàn)[15]也提出了一種自適應(yīng)參數(shù)調(diào)整的WWO算法,通過(guò)設(shè)計(jì)合適的碎浪系數(shù)β和衰減系數(shù)來(lái)改善群體的探索與開(kāi)發(fā)之間的平衡.

上述的改進(jìn)算法從一定程度上提高WWO優(yōu)化性能,但是對(duì)于復(fù)雜多模優(yōu)化問(wèn)題,算法的收斂精度和速度仍需進(jìn)一步提高.為了提高WWO求解復(fù)雜多模優(yōu)化問(wèn)題的性能,本文提出一種自適應(yīng)協(xié)同學(xué)習(xí)WWO算法.算法中采用雙種群進(jìn)化結(jié)構(gòu),其中主種群負(fù)責(zé)全局搜索,子種群負(fù)責(zé)局部開(kāi)發(fā),雙群的協(xié)同學(xué)習(xí)以達(dá)到探索和開(kāi)發(fā)之間的平衡.主種群采用一種自適應(yīng)學(xué)習(xí)策略,在維持種群多樣性同時(shí)有效增強(qiáng)個(gè)體學(xué)習(xí)的效率.主群和子群的交互機(jī)制,可以使子群擺脫局部最優(yōu),提高算法的收斂精度.

2 標(biāo)準(zhǔn)水波優(yōu)化算法

標(biāo)準(zhǔn)WWO算法將待求問(wèn)題的解空間類(lèi)比為海床,每一個(gè)潛在解Xi類(lèi)比為一個(gè)水波,其中水波的波長(zhǎng)為λi且高度為hi.水波的適應(yīng)度f(wàn)(Xi)與其到海平面的垂直距離成反比:水波距離海平面越近,適應(yīng)度越高,對(duì)應(yīng)的解越優(yōu);適應(yīng)度越高的水波,其波長(zhǎng)越小,波高越大[4].算法采用3個(gè)操作算子進(jìn)行尋優(yōu)求解分別為傳播、碎浪和折射.

2.1傳播

水波能量的積聚是水波在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不間斷執(zhí)行傳播操作來(lái)完成的.對(duì)于第t代中第i個(gè)水波Xi(t)依據(jù)下列公式進(jìn)行更新

(1)

式中,r1是在[-1,1]范圍內(nèi)服從均勻分布的隨機(jī)數(shù);λi表示第i個(gè)水波長(zhǎng)度;Ld為搜索空間第d維長(zhǎng)度;d∈1,2,…,D(D為問(wèn)題解的維度);i∈1,2,…,N(N為種群規(guī)模).在初始化種群時(shí),水波的波高設(shè)定為hmax,波長(zhǎng)λi一般設(shè)為 0.5.

λi=λiα-(f(Xi)-fmin+ε)/(fmax-fmin+ε)

(2)

公式(2)中,fmax和fmin分別代表當(dāng)前種群中的最大適應(yīng)度和最小適應(yīng)度值;f(Xi)為當(dāng)前個(gè)體Xi的適應(yīng)度;α為波長(zhǎng)衰減系數(shù),通常設(shè)置為1.001～1.01[10];ε是一個(gè)極小的正數(shù)(避免分母為零).

2.2 碎浪

隨著能量的增加,波峰變得越來(lái)越陡峭,最終破碎成一連串獨(dú)立的水波.在WWO算法只對(duì)新找到的最優(yōu)解進(jìn)行碎浪操作,模擬水波碎浪現(xiàn)象,在潛在最優(yōu)解周?chē)鷧^(qū)域進(jìn)行精細(xì)搜索.碎浪具體操作是在[1,D]維范圍內(nèi)隨機(jī)選擇一個(gè)整數(shù)K.被選擇的每一維按下列公式進(jìn)行搜索得到一個(gè)孤立的波.

(3)

公式(3)中,d∈1,2,…,K(K為隨機(jī)選擇的正整數(shù));K通常選取為min(12,D/2)[10];Xbest(t)為當(dāng)前種群最優(yōu)個(gè)體;β是碎浪系數(shù),通常取值范圍在[0.001,0.01]之間;如果產(chǎn)生的獨(dú)立波X′(t+1)優(yōu)于Xbest(t),則用X′(t+1)代替Xbest(t);否則不更新Xbest(t).

2.3 折 射

水波在進(jìn)行傳播操作后,如果水波的沒(méi)有得到更新,該水波的高度減1.當(dāng)水波的高度減為0時(shí),說(shuō)明該水波已經(jīng)多次沒(méi)有得到更新,進(jìn)化停滯了.為了改善水波搜索停滯現(xiàn)象,水波算法會(huì)下式進(jìn)行折射操作:

(4)

公式(4)中N(u,v)表示均值為u、方差為v的高斯隨機(jī)數(shù).完成折射操作后的水波Xi(t)的高度h重置為hmax,同時(shí)其波長(zhǎng)按下式更新.

(5)

標(biāo)準(zhǔn)WWO算法的流程結(jié)構(gòu)如算法1所示.

算法1.標(biāo)準(zhǔn)WWO

輸入:待求解的優(yōu)化問(wèn)題特征(問(wèn)題維度D、搜索范圍、適應(yīng)度函數(shù)f、種群規(guī)模、迭代總次數(shù))

輸出:算法找到的最優(yōu)解Xbest

Step 1.初始化相關(guān)參數(shù),在搜索范圍內(nèi)隨機(jī)初始化一個(gè)種群規(guī)模為N水波種群,計(jì)算每個(gè)水波的的適應(yīng)度f(wàn)(X),找出種群當(dāng)前最優(yōu)解Xbest;

Step 2.對(duì)每個(gè)水波實(shí)施傳播操作;

Step 2.4.根據(jù)式(2)更新波長(zhǎng);

Step 3.當(dāng)終止條件不滿(mǎn)足時(shí),轉(zhuǎn)向Step 2;滿(mǎn)足終止條件則算法結(jié)束,返回算法找到的最優(yōu)解Xbest.

3 自適應(yīng)協(xié)同學(xué)習(xí)水波優(yōu)化算法

WWO搜索機(jī)制包括3個(gè)算子,即傳播、碎浪和折射.碎浪和折射算子只有在滿(mǎn)足一定的條件才執(zhí)行,因此搜索過(guò)程主要依賴(lài)水波的傳播算子.在水波的傳播算子中,水波位置的更新依賴(lài)搜索寬度Ld.當(dāng)問(wèn)題的解空間大時(shí),水波在前期進(jìn)化的過(guò)程中需要花費(fèi)大量的時(shí)間探索,致使水波更新的速度很慢,甚至更新停滯現(xiàn)象出現(xiàn).傳播算子雖然提供了強(qiáng)的探索能力,但是由于缺乏必要的群體個(gè)體間的學(xué)習(xí),從而導(dǎo)致了群體進(jìn)化的遲緩.在群體智能算法中,過(guò)多的探索影響收斂速度,而過(guò)多的進(jìn)行群體間學(xué)習(xí)也會(huì)導(dǎo)致早期收斂,如何平衡探索和利用是核心問(wèn)題.為了協(xié)調(diào)群體進(jìn)化過(guò)程中探索和利用,本文采用雙種的群進(jìn)化結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)主種群的探索和子種群的開(kāi)采.主種群采用一種自適應(yīng)學(xué)習(xí)策略,可以兼顧探索學(xué)習(xí)和群體間學(xué)習(xí),有效提高個(gè)體學(xué)習(xí)的效率.子種群采用改進(jìn)的折射算子,充分利用子群最優(yōu)個(gè)體引領(lǐng)群體進(jìn)化的策略,同時(shí)采用群體監(jiān)測(cè)機(jī)制,當(dāng)群體更新緩慢時(shí),及時(shí)與主種群進(jìn)行交互以幫助子群擺脫當(dāng)前的局部極值.

3.1 主種群學(xué)習(xí)策略

主種群中水波個(gè)體以δ概率采用傳播算子學(xué)習(xí),以1-δ概率向群體中其他個(gè)體學(xué)習(xí).δ為隨迭代次數(shù)增加遞減的參數(shù).隨著δ值的變化,水波個(gè)體由進(jìn)化初期加強(qiáng)全局勘探,逐漸轉(zhuǎn)化為增強(qiáng)個(gè)體間的相互學(xué)習(xí),從而有效平衡群體學(xué)習(xí)中的探索和利用.主種群的水波個(gè)體按下式進(jìn)行更新:

(6)

公式(6)中r2和r3是在[-1,1]范圍內(nèi)服從均勻分布的隨機(jī)數(shù);j∈1,2,…,N;i≠j.δ為學(xué)習(xí)率,按下式更新:

δ=1-δmin·t/Tmax

(7)

公式(7)中t為迭代步數(shù),Tmax為總的迭代步數(shù);δmin為最小學(xué)習(xí)率.

完成一步傳播操作后,判斷水波的寬度是否越界,如果越界按下式進(jìn)行修正:

Ld=Lbd+r4(Ubd-Lbd)

(8)

公式(8)中,Lbd和Ubd分別為搜索范圍第d維下界和上界.r4為服從[0,1]分布內(nèi)的隨機(jī)數(shù).

為了進(jìn)一步平衡群體在進(jìn)化過(guò)程中勘探和利用,主種群中的碎波系數(shù)采用了線(xiàn)性遞減策略.

β=βmax-βmin·t/Tmax

(9)

公式(9)中βmax和βmin分別為碎波系數(shù)的最大值和最小值.

3.2 子種群學(xué)習(xí)策略

子種群主要用于局部利用學(xué)習(xí),采用的學(xué)習(xí)策略為改進(jìn)的折射算子,更新方程如公式(10):

(10)

公式(10)中的a為縮放因子,取值范圍為0

改進(jìn)的折射算子以個(gè)體和最優(yōu)個(gè)體的中點(diǎn)為均值,以個(gè)體和最優(yōu)個(gè)體的距離為方差進(jìn)行高斯抽樣學(xué)習(xí).群體可以充分利用群體最優(yōu)值,可以使子種群快速收斂到群體最優(yōu)值,但同時(shí)也容易使群體陷入局部最優(yōu)值.

為了避免子種群早期收斂的現(xiàn)象,需要監(jiān)測(cè)子種群的進(jìn)化狀態(tài),并通過(guò)與主種群的交互機(jī)制使子種群脫離局部最優(yōu).首先通過(guò)監(jiān)測(cè)子種群最優(yōu)水波的高度h來(lái)判斷子種群的進(jìn)化狀態(tài).當(dāng)更新的水波適應(yīng)度f(wàn)(Xi(t+1))>f(Xbest(t)),將最優(yōu)水波高度h=hmax;否則h=h-1;當(dāng)h=0時(shí),將主種群的最優(yōu)水波賦給子種群的最優(yōu)水波,將幫助子種群脫離當(dāng)前搜索區(qū)域.該交互機(jī)制可以幫助子種群避免停滯現(xiàn)象,不影響主種群的全局勘探.

ACLWWO算法的流程結(jié)構(gòu)如算法2所示.

算法2.ACLWWO

輸入:待求解的優(yōu)化問(wèn)題特征(問(wèn)題維度D、搜索范圍、適應(yīng)度函數(shù)f、種群規(guī)模、迭代總次數(shù))

輸出:算法找到的最優(yōu)解Xbest

Step 1.初始化相關(guān)參數(shù),設(shè)置主種群規(guī)模為N1,子種群規(guī)模為N2;在搜索范圍內(nèi)隨機(jī)初始化兩個(gè)種群,計(jì)算每個(gè)水波的的適應(yīng)度f(wàn)(X),分別找出兩個(gè)種群當(dāng)前最優(yōu)解X1,best和X2,best;

Step 2.對(duì)主種群的每個(gè)水波實(shí)施傳播操作;

Step 3.判斷主種群是否更新完畢,如是則轉(zhuǎn)向Step 4,否則轉(zhuǎn)向Step 2;

Step 4.對(duì)子種群群的每個(gè)水波實(shí)施折射操作;

Step 4.3.判斷h的值,如果h=0,則執(zhí)行X2,best=X1,best;

否則轉(zhuǎn)向Step 5;

Step 5.判斷子種群是否更新完畢,是則轉(zhuǎn)向Step 6,否則轉(zhuǎn)向Step 4;

Step 6.當(dāng)終止條件不滿(mǎn)足時(shí),轉(zhuǎn)向Step 2;滿(mǎn)足終止條件則算法結(jié)束,返回算法找到的最優(yōu)解Xbest=min(X2,best,X1,best)(求最小化問(wèn)題)(如求最大問(wèn)題則為Xbest=max(X2,best,X1,best)).

4 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

4.1 測(cè)試函數(shù)

為了驗(yàn)證本文提出ACLWWO算法的優(yōu)化性能,將在12個(gè)測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行測(cè)試,并與標(biāo)準(zhǔn)WWO(SWWO)[4]、和兩種改進(jìn)的水波算法LOGWWO[14]和ApWWO[15]進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).測(cè)試函數(shù)包括單峰函數(shù)(f1～f2),多峰函數(shù)(f3～f7)和帶旋轉(zhuǎn)復(fù)雜多峰函數(shù)(f8～f12),測(cè)試函數(shù)的名稱(chēng)及特性見(jiàn)表1,函數(shù)的維度均為30,旋轉(zhuǎn)操作實(shí)施方式來(lái)自文獻(xiàn)[16].

4.2 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

為了使實(shí)驗(yàn)更加公平和客觀,設(shè)置算法的最大適應(yīng)度評(píng)估次數(shù)為4×105;每個(gè)算法在每個(gè)測(cè)試函數(shù)上獨(dú)立運(yùn)行30次.各算法的參數(shù)設(shè)置如下:

SWWO 的種群規(guī)模為30;波長(zhǎng)λ=0.5;波高設(shè)置為hmax=12;碎浪系數(shù)最大值設(shè)為β=0.25,最小值設(shè)為β=0.001;波長(zhǎng)衰減系α=1.0026.

LOGWWO 的種群規(guī)模為30;波高h(yuǎn)max=12;波長(zhǎng)設(shè)置為λ=0.5;衰減系數(shù)α=1.0026;碎浪系數(shù)β最大值設(shè)為βmax=0.25,βmin=0.001.

ApWWO的種群規(guī)模為30;波高h(yuǎn)max=6;波長(zhǎng)設(shè)置為λ=0.5;衰減系數(shù)α=1.003;碎浪系數(shù)βmax=0.25,βmin=0.001.

表1 標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)
Table 1 Standard test functions

函數(shù)名Search spaceOptimaSphere f1[-100,100]0Rosenbrock f2[-30,30]0Ackley f3[-32,32]0Griewank f4[-600,600]0Rastrigin f5[-5.12,5.12]0Rastrigin_noncont f6[-5.12,5.12]0Schewfel 2.26 f7[-500,500]0Rotated Rosenbrock f8[-30,30]0Rotated Ackley f9[-32,32]0Rotated Griewank f10[-600,600]0Rotated Rastrigin f11[-5.12,5.12]0Rotated Rastrigin_noncont f12[-5.12,5.12]0

ACLWWO 的主種群規(guī)模和子種群規(guī)模均為20;波長(zhǎng)設(shè)置為λ=0.5;衰減系數(shù)α=1.026;碎浪系數(shù)βmax=0.25,βmin=0.001;子種群最優(yōu)水波波高h(yuǎn)max=100.

4.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表2列出了SWWO、LOGWWO、 ApWWO 和ACLWWO四種算法在12個(gè)測(cè)試函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行30次所得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.表中的"Mean"和"Std"分別表示30次迭代后統(tǒng)計(jì)所得的平均值和標(biāo)準(zhǔn)方差;"Rank"為依據(jù)平均值Mean對(duì)4種算法排名情況.對(duì)于每個(gè)函數(shù)獲得最優(yōu)均值和標(biāo)準(zhǔn)差的實(shí)驗(yàn)結(jié)果用粗體顯示.

圖1為SWWO、LOGWWO、ApWWO和ACLWWO求解f1～f12獲得的函數(shù)值隨迭代次數(shù)變化的收斂曲線(xiàn).為了便于觀察,圖中Y軸展現(xiàn)的函數(shù)值為函數(shù)值的對(duì)數(shù).

4.4 結(jié)果分析

從表2的結(jié)果中可以看出,相比SWWO、LOGWWO和ApWWO,自適應(yīng)協(xié)同學(xué)習(xí)水波算法ACLWWO展現(xiàn)了較強(qiáng)的搜索能力,求解的最優(yōu)值更加接近函數(shù)理論值.特別對(duì)于多峰函數(shù)f6,ACLWWO已獲得函數(shù)理論最優(yōu)解.

對(duì)于函數(shù)單峰f1,相比LOGWWO和ApWWO,ACLWWO的最優(yōu)精度提高了41個(gè)和38個(gè)數(shù)量級(jí),與SWWO相比提高了44個(gè)數(shù)量級(jí),并且獲得了最小的標(biāo)準(zhǔn)差.這說(shuō)明對(duì)于單峰函數(shù),ACLWWO具有良好的局部搜索能力和穩(wěn)定性.

函數(shù)f2是具有狹長(zhǎng)平坦區(qū)域的單峰函數(shù)Rosenbrock,極難找到全局最優(yōu)點(diǎn).與其他3種算法相比,ACLWWO獲得了較優(yōu)值.ACLWWO算法在單峰函數(shù)上能獲得良好優(yōu)化性能,主要是由于子種群具備強(qiáng)開(kāi)發(fā)能力.函數(shù)f3～f7為多峰函數(shù),其中f5和f6為連續(xù)和非連續(xù)的Rastrigin函數(shù),該函數(shù)在最優(yōu)值附近有大量的局部極值點(diǎn).對(duì)于f6函數(shù),在4種算法中,ACLWWO是唯一可以搜索到f6的理論最優(yōu)值.對(duì)于函數(shù)f3～f5、f7,ACLWWO的最優(yōu)精度分別為E-14、E-3、E-8和E-12數(shù)量級(jí);與LOGWWO算法相比分別提高了14、2、9和14個(gè)數(shù)量級(jí);與ApWWO相比提高了12、4、9和10個(gè)數(shù)量級(jí).f7也是一個(gè)復(fù)雜的多峰函數(shù),在函數(shù)的最優(yōu)值附近有很深的局部極值,搜索到全局最優(yōu)解是非常困難的,ACLWWO在f7上的獲得了優(yōu)良的測(cè)試結(jié)果顯示了ACLWWO 在處理復(fù)雜多峰問(wèn)題上具有優(yōu)勢(shì).

表2 4種算法在f1～f12上的優(yōu)化結(jié)果
Table 2 Results of four algorithms onf1～f12

函數(shù)均值/方差SWWOLOGWWOApWWOACLWWOf1Mean5.28E+15.67E-25.36E-51.37E-43std3.16E-16.22E-33.81E-43.00E-44Rank4321f2Mean2.58E+12.32E+22.33E+12.14E+1std4.61E+01.13E+21.74E+12.07E+0Rank2431f3Mean8.24E+05.84E+08.97E-21.21E-14std3.02E+01.21E+06.54E-23.18E-15Rank4321f4Mean6.54E+18.94E-12.38E+14.92E-3std3.96E+01.20E-14.92E+03.64E-4Rank4231f5Mean7.23E+16.31E+15.06E+16.62E-8std4.75E+02.56E+15.44E+09.36E-9Rank4321f6Mean1.01E+28.79E+16.87E+10std2.86E+12.41E+14.77E+10Rank4321f7Mean6.21E+27.51E+26.10E-21.46E-12std7.95E+19.83E+18.11E-18.13E-13Rank4321f8Mean7.20E+11.29E+24.21E+12.49E+1std2.37E+15.22E+19.72E+01.08E+0Rank2431f9Mean6.28E+11.24E+11.46E+14.41E-3std2.24E+13.41E+01.48E+07.02E-4Rank4321f10Mean1.14E+11.01E-21.21E+19.81E-10std3.97E+04.82E-33.50E+01.21E-11Rank4231f11Mean3.11E+24.25E+12.84E+24.47E-2std1.13E+21.87E+19.85E+16.32E-1Rank4231f12Mean3.91E+22.78E+22.73E+26.56E+0std7.54E+11.39E+28.36E+12.12E+0Rank4321

函數(shù)f8～f12為帶有旋轉(zhuǎn)操作的函數(shù),其中f8為單峰函數(shù),f9～f12 為多峰函數(shù).旋轉(zhuǎn)操作增加了搜索解之間的關(guān)聯(lián)性,相比未旋轉(zhuǎn)操作的函數(shù),一般來(lái)說(shuō)求解帶有旋轉(zhuǎn)操作函數(shù)更為困難些.對(duì)于帶旋轉(zhuǎn)操作的函數(shù),與SWWO、LOGWWO和ApWWO相比,ACLWWO均獲得最優(yōu)值.特別是函數(shù)f10,與SWWO和ApWWO相比,數(shù)量級(jí)提高了11;與LOGWWO相比,數(shù)量級(jí)提高了8.從實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析,ACLWWO優(yōu)化性能在求解旋轉(zhuǎn)函數(shù)上并沒(méi)有下降.從而進(jìn)一步證明ACLWWO具有良好求解復(fù)雜問(wèn)題的能力.

由圖1可知,除了函數(shù)f7,對(duì)于函數(shù)f1-f12,ACLWWO 的收斂速度要明顯快于SWWO、LOGWWO和ApWWO算法,這是因?yàn)锳CLWWO子種群注重局部搜索的原因.對(duì)于多峰函數(shù)f7,如圖1(g),在進(jìn)化前期ApWWO的收斂速度要優(yōu)于ACLWWO的收斂速度,而在進(jìn)化后期ACLWWO優(yōu)于其他三種算法;而在進(jìn)化后期ApWWO陷入早期收斂,但ACLWWO仍具有勘探能力.

對(duì)于函數(shù)f1,如圖1(a),SWWO、LOGWWO、ApWWO和ACLWWO 4種算法都沒(méi)有收斂,說(shuō)明SWWO、LOGWWO和ApWWO仍具有進(jìn)化能了.ACLWWO具有高的收斂精度和快的收斂速度,都是由于子種群的局部搜索;對(duì)于函數(shù)f2 Rosenbrock和帶旋轉(zhuǎn)操作的Rosenbrock函數(shù)f11,與SWWO、LOGWWO、ApWWO比較,ACLWWO雖然具獲得了較快的收斂速度,但是也陷入早期收斂.

圖1 函數(shù)尋優(yōu)曲線(xiàn)Fig.1 Function optimization curve

對(duì)于多峰函數(shù)f3～f7和旋轉(zhuǎn)多峰函數(shù)f9 ～f12,如圖1(c)～圖1(g),ACLWWO展現(xiàn)了良好的尋優(yōu)能力;對(duì)于多個(gè)函數(shù),ACLWWO在進(jìn)化后期仍能具備強(qiáng)的勘探能力;主要是由于主種群采取的自適應(yīng)學(xué)習(xí)策略.針對(duì)多峰函數(shù),除了f6,f7和f9函數(shù),LOGWWO和ApWWO都沒(méi)有收斂,說(shuō)明在進(jìn)化過(guò)程中這兩種算法具有勘探能力,但是搜索過(guò)于緩慢,致使沒(méi)有獲得高的收斂精度.

由收斂曲線(xiàn)的對(duì)比結(jié)果可知,LOGWWO、ApWWO在多個(gè)函數(shù)進(jìn)化中沒(méi)有陷入局部最優(yōu),但是由于收斂速度過(guò)于緩慢,致使沒(méi)有獲得最優(yōu)值.對(duì)于單峰函數(shù)和復(fù)雜多模函數(shù),ACLWWO在搜索精度和收斂速度均有顯著提高,這說(shuō)明ACLWWO較好平衡了算法的收斂精度和收斂速度.

由于ACLWWO維持雙種群,所以種群的規(guī)模求要比單種群算法種群規(guī)模略大,這點(diǎn)也驗(yàn)證了“天下沒(méi)有免費(fèi)的午餐(NFL,no free lunch)”理論[17],即一種算法不可能在每一個(gè)方面或在每一個(gè)問(wèn)題上都能夠提供比其他所有算法更好的性能.

5 結(jié) 論

本文針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)WWO算法的收斂精度和速度有待提高的問(wèn)題,提出了一種自適應(yīng)協(xié)同學(xué)習(xí)水波優(yōu)化算法 ACLWWO.算法中采用雙種的群進(jìn)化結(jié)構(gòu),通過(guò)主種群的勘探和子種群的開(kāi)采的協(xié)同學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)進(jìn)化過(guò)程的搜索.ACLWWO保持了WWO算法易于實(shí)施的優(yōu)點(diǎn),同時(shí)實(shí)驗(yàn)表明ACLWWO較大得提高了WWO收斂速度和收斂精度.

進(jìn)一步的工作包括:

1) 進(jìn)一步研究WWO的傳播、折射和碎浪算子中學(xué)習(xí)參數(shù)的設(shè)置對(duì)算法收斂速度和精度的影響;

2) 將研究ACLWWO算法在約束函數(shù)和多目標(biāo)問(wèn)題上的應(yīng)用.