石偉英

（浙江省桐鄉(xiāng)市實驗小學教育集團春暉小學）

小學數學教學的核心是培養(yǎng)學生解決問題的能力，提升學生思維能力。人教版數學三年級上冊 “數學廣角”的內容是“重疊問題”。這一問題在日常生活中的應用比較廣泛，涉及一種最基本的數學思想方法：集合思想。集合思想是一種系統(tǒng)、抽象的數學知識，也是數學體系中最基本的思想。由于初次接觸，學生所儲備的這方面的知識比較少，對他們來說既是認知上的一次飛越，也是思維上的一次跨越。教師應把充足的時間和空間留給學生獨立思考。學生經歷發(fā)現、提出問題，分析問題，解決問題等一系列過程，從而建立數學模型，提升思維，培養(yǎng)能力?，F根據三年級上冊“重疊問題”的教學實踐，談談體會和思考。

一、提供時間和空間，讓學生在親歷問題的過程中創(chuàng)新數學思維

《全日制義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“提供足夠的空間和時間給學生獨立思考，發(fā)展學生的創(chuàng)新思維?！币虼耍瑧摻o學生充分的時間和空間來思考問題、經歷問題，使其在這一過程中培養(yǎng)數學思維。

（一）創(chuàng)設情境，在發(fā)現和提出問題中培養(yǎng)思維。

問題和情境是相輔相成、缺一不可的。三年級學生的思維需要靠已有的經驗來喚醒和積累，因此，情境的創(chuàng)設非常重要。教師通過情境的創(chuàng)設，給予學生發(fā)現問題、提出問題的時間，才能積累數學表象，發(fā)展形象思維。

教學片段：創(chuàng)設情境，引發(fā)“認知沖突”

1.同學們，你們參加過運動會嗎？你們都參加過哪些項目？

預設：我參加過跳繩比賽、我參加過跑步和踢毽子比賽……

小結：看來我們班的小朋友有些人參加過一項比賽，有些人還參加過兩項比賽，其實在我們的運動會中還有很多數學問題。

出示：301班參加跳繩比賽4人，參加踢毽子比賽5人

2.你能根據上面的兩個數學信息，提出什么數學問題？

預設：301班參加這兩項比賽的一共有多少人？

請學生解決問題，并板書算式：4+5=9（人）

3.一定是9人嗎？還有沒有其他的可能？

預設：有可能有人同時參加兩個項目

4.那會對參加這兩項比賽的總人數有什么影響？

預設：總人數會減少

5.如果總人數減少，那么總人數有可能是幾人？

預設：有可能是8人，7人……

通過運動會這一話題情境，成功吸引了學生的注意力和興趣，而且從談話中學生能感受到有人會同時參加兩項比賽。這一話題也為接下來的學習埋下了伏筆，學生結合自己參加比賽的生活經驗進行聯想、思考，激活了學生的已有經驗和認知，從而發(fā)現、提出問題，解決問題。這個問題的答案其實是不定的。三年級學生在回答時往往是沒有經過深層次的思考的，沒有全面、仔細地分析。這樣的問題富有挑戰(zhàn)又與生活相關，學生有了疑問，思維的發(fā)展也顯得自然而然。學生發(fā)現問題，問題與生活也息息相關，既提高了學生的問題意識，又發(fā)展了學生的數學思維，一舉多得。

（二）自主表達，在問題的發(fā)展變化中激發(fā)思維

“重疊問題”的教學主要是集合思想的體現，而集合思想中也體現了一一對應的思想。韋恩圖中把相同屬性的元素集中在一起，就是一個集合。兩個集合合起來又能產生一個新的集合——交集。“重疊問題”教學中，一一對應的思想始終貫穿。從一一對應走向一多對應，產生交集，又從一多對應再回到一一對應，把多的“替身”去掉，這是問題產生、變化、發(fā)展到解決的全過程的體現。在這個過程中，學生的感悟和理解層層深入。教學不是簡單的貼標簽，而是要讓學生理解并掌握本質的內涵。

教學片段：自主探究

有這么多的可能，那我們先慢慢來，參加兩項比賽的總人數一共有8人，會是怎么樣呢？你能不能把你的想法用一種既簡單又讓大家看得明白的方法表示在練習紙上？（請學生在練習本上畫圖表示自己的想法，教師巡視）

學生展示自己的作品，全班匯報交流：

一共有8人參加比賽

“有多少個學生就有多少個獨特的世界?！苯虒W并不是一味地說教、灌輸，每一個學生都有自己獨有的思想和不斷創(chuàng)造的潛力。教師只要引領一下，就能激發(fā)出他們無限的潛力。學生動手畫圖表達想法，學生的作品呈現出來時也證明是很有價值的，其實這些作品就是“韋恩圖”，而且它的價值也高于韋恩圖。學生自己動手畫圖的意義遠遠高于教師直接出示韋恩圖讓學生填寫。

（三）親歷過程，在質疑中提升思維能力

《全日制義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“學生學習應當是一個生動活潑的、主動和富有個性的過程。學生應當有足夠的時間和空間，經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程?！币虼耍诮虒W中教師應多放手，以學生為主體，把課堂和時間還給學生。學生親歷數學活動的過程，通過實踐、交流等活動，經歷問題解決的過程，從而，理解韋恩圖的本質內涵，建構集合思想的模型，突破教學重難點。如上一教學片段中，讓學生通過畫圖的方法表示出8人是怎樣的一種情況。通過讓學生圏一圈跳繩的4個人和踢毽子的5個人，慢慢得到韋恩圖的雛形。學生對自己的作品展示和交流，則是全班思維的碰撞。大家各抒己見，在學生與學生的辨析過程中，生生互動，自我提高認識，并接納他人的意見，逐步加深對重疊問題的理解，學生在辨析中從未知到已知，從模糊到清晰，最后達成共識，真正提升思維能力。

二、探究數學本質，讓學生在不斷的建模中提升數學思維

數學建模就是根據實際問題來建立數學模型，對數學模型進行求解，然后根據結果去解決實際問題。數學建模的思想是相對比較新型的教學方式，也是比較重要的，培養(yǎng)了學生的實踐能力和創(chuàng)新精神。

（一）積累表象經驗，提升形象思維

創(chuàng)新的首項是問題，問題是激發(fā)思維的關鍵。本課中一共有多少人的問題，從小學生的生活場景出發(fā)，符合這個年齡段學生的認知水平。用舊知喚起新知，循序漸進積累新事物和新思維的問題經驗，引起學生們對問題的探索欲望，將抽象的概念轉化為具體的問題呈現出來。學生有了充分的認識和體驗的過程，構建了重疊問題的模型。

（二）滲透建模思想，發(fā)展邏輯思維

小學生的邏輯思維能力還較為薄弱，考慮問題容易陷入膚淺的認知誤區(qū)。而在有效的建模過程中，學生既需要對現實問題進行細致入微的觀察和分析，又需要靈活巧妙地運用各種數學知識。這種運用相關知識從實際問題中抽象、提煉出數學模型的過程既鍛煉了學生，又提升了思維能力。

教學片段：揭示韋恩圖

1.英國數學家韋恩在解決像這樣有人同時參加兩項比賽的問題時，與我們的做法差不多。他是用這樣兩個圈圈來表示的。

2.你看得明白這兩個圈圈表示什么嗎？

請學生把剛剛展示的學生作品填到韋恩圖中，教師隨機提問韋恩圖每一部分的含義。

一個圈表示參加跳繩的4個人，一個圈表示參加踢毽子的5個人，中間重疊部分表示同時參加兩項比賽。

3.只參加跳繩的是哪一部分，只參加踢毽子的又是哪一部分？

4.根據韋恩圖，列算式表示參加比賽的總人數。

5.每一個算式的不同含義。

學生親歷韋恩圖產生的過程，充分體驗、感知，最后獲得韋恩圖的作用和意義，化抽象為具體，從具體到抽象。在這交流的過程中，學生的思維不斷地碰撞，生生互動，師生互動，教學也真正落到了實處，思維得到了發(fā)展。

教學中我發(fā)現學生對于韋恩圖的體驗和認識不深，為此，又設計了如下圖這樣的課件，引導學生質疑，小組討論：各區(qū)域各代表什么？由此，學生能夠清楚地理解各部分所表示的意思，學會用各種方法計算總人數。算式①：3+1+4=8人，算式②：4+5-1=8人，算式③：3+5=8人，算式④：4+4=8人，算式⑤……這里出現這么多的算式并非是要體現算法多樣化，而是對集合思想的再次滲透建模過程。學生通過說一說，圖上指一指，數形結合，理解每個算式中的每個數字所代表的是哪一部分，是誰和誰合起來的，甚至是“月牙形”+“橢圓形”這樣的表述（如下圖）。學生經歷整個觀察、比較、分析、推理的過程，并且結合模型抽象出算式。引導學生親歷了從圖形到算式，從具體到抽象的建模過程，也有效提升了學生的邏輯思維。

（三）直觀演示，創(chuàng)新抽象思維

學生在學習數學知識時,都會經歷從具體到抽象,從簡單到復雜的過程。在教學中，恰當地運用形象直觀的模型,可以使抽象的知識具體化、形象化,有助于學生的理解和掌握。根據認識水平,把形象直觀與發(fā)展學生思維能力結合起來,促使學生經歷感性認識到理性認識的階段。

教學片段：

1.請學生在練習本上用韋恩圖表示總人數的其他幾種可能。

教師展示學生作品，請學生觀察多幅韋恩圖，提問：你發(fā)現了什么？

2.中間重疊的人數越多，兩邊的人數會慢慢減少，總人數也在慢慢減少。

3.你覺得總人數最少是幾人？最多又會是幾人呢？請你畫一畫此時是怎樣的一幅韋恩圖。

三年級的學生，思維正從具體形象思維過渡到抽象思維，但仍以具體形象思維為主。所以，通過多幅韋恩圖的直觀展示，學生發(fā)現：中間重疊的部分越多，兩邊的人數則越少，總人數也跟著變少。通過這一生動形象的展示，學生直觀認識到這一規(guī)律，從而大膽提出：當兩個圈圈完全重疊在一起的時候，總人數最少這一結論。主要滲透有序的思想、分類的思想。同時，集合中的交集、子集、并集的思想雖然不需要學生掌握，但通過直觀演示后，學生能有一個直觀的認識。

總之，從學生的生活經驗和知識基礎出發(fā),讓學生經歷建模的過程，在問題解決中初步體會數學方法的應用價值，選擇最優(yōu)方案，初步體會集合思想，培養(yǎng)學生良好的思維，提升能力。