蔡金法姚一玲

數(shù)學(xué)“問題提出”教學(xué)的理論基礎(chǔ)和實踐研究

蔡金法1，2，姚一玲3

（1．西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400715；2．特拉華大學(xué)數(shù)學(xué)系，紐瓦克 19716；3．杭州師范大學(xué) 教育學(xué)院，浙江 杭州 311121）

基于一系列實證研究，系統(tǒng)論述了數(shù)學(xué)問題提出教學(xué)的理論基礎(chǔ)：建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論、社會文化學(xué)習(xí)理論及學(xué)習(xí)機會理論．問題提出的實踐研究包括：用問題提出評估教師與學(xué)生的思維，教師學(xué)習(xí)用問題提出進行教學(xué)，課程為問題提出教學(xué)提供資源．在提供實證研究案例的同時，也提出了問題提出教學(xué)未來的研究方向：盡管數(shù)學(xué)問題提出教學(xué)活動的理念對學(xué)生發(fā)展的潛力不容置疑，但更重要的是如何幫助教師將問題提出應(yīng)用于實際課堂教學(xué)中．

建構(gòu)主義；社會文化理論；學(xué)習(xí)機會；教學(xué)實踐

提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決問題也許僅是一個數(shù)學(xué)上或?qū)嶒炆系募寄芏?，而提出新的問題、新的可能性、從新的角度去看舊的問題，卻需有創(chuàng)造性的想象力，而且標志著科學(xué)的真正進步．

——愛因斯坦

在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中，提出問題的藝術(shù)比解答問題的藝術(shù)更為重要．

——康托爾

問題提出是科學(xué)研究中至關(guān)重要的一個環(huán)節(jié)．歷史上，無論是數(shù)學(xué)研究還是科學(xué)研究，因為提出重要的問題而使學(xué)科有重大發(fā)展的例子比比皆是．例如，著名數(shù)學(xué)家Jacques Hadamard在反思自己的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之后，總結(jié)到“確定并提出一個好問題是高質(zhì)量數(shù)學(xué)研究的重要組成部份”[1]．希爾伯特（Hilbert）提出的23個數(shù)學(xué)問題對數(shù)學(xué)研究發(fā)展的重要性也是一個不爭的事實[2]．十幾年前《科學(xué)》雜志在慶祝辦刊125周年之際，提出了最有影響力的125個研究問題，而且這些問題至今還對科學(xué)研究起著重要的作用[3]．

如果教育的目的是培養(yǎng)學(xué)生未來生活學(xué)習(xí)所需要的思考和創(chuàng)造能力，那么有理由相信，問題提出會成為學(xué)校課程的一個重要組成部分．因此，數(shù)學(xué)教育也應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究的過程，給他們提供探究、猜想和提出問題的機會．2015年，Cai等人曾對當時的數(shù)學(xué)問題提出研究作了全面的綜述，從十個方面論述了數(shù)學(xué)問題提出研究中已經(jīng)回答和沒有回答的問題，包括[4]：（1）問題提出為什么對學(xué)校數(shù)學(xué)教育很重要？（2）教師和學(xué)生是否有能力提出重要的數(shù)學(xué)問題？（3）能否有效地訓(xùn)練教師和學(xué)生以提出高質(zhì)量的問題？（4）對于問題提出的認知過程，我們有哪些了解？（5）問題提出能力和問題解決能力有什么關(guān)系？（6）是否可以利用問題提出來測量創(chuàng)造力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)果？（7）問題提出活動怎樣才能融入數(shù)學(xué)課程中？（8）學(xué)生能夠參與到問題提出活動的課堂是怎樣的？（9）技術(shù)如何被應(yīng)用于問題提出活動？（10）怎樣才能知道學(xué)生參與問題提出活動對其學(xué)習(xí)結(jié)果的影響作用？

1 什么是問題提出

問題提出方面的研究已經(jīng)發(fā)展到了一定的程度，有必要對什么是問題提出作一梳理，以便于讀者在閱讀時，能清楚明白作者們所用的問題提出的內(nèi)涵，理解他們的研究結(jié)果，同時促進這一研究領(lǐng)域的發(fā)展．

問題提出不是一個新的概念，波利亞在1945年所著的《怎樣解題》（）一書中提出的4個問題解決步驟中，就已經(jīng)提到了問題提出．特別是在第四步的回顧（looking back）中就強調(diào)了問題提出，比如說“有沒有可以解決的類似的問題（Do you know a related problem？）”[5]．在心理學(xué)研究中，問題提出早已經(jīng)作為個體創(chuàng)造力的指標之一來考察[6-7]．特別要提到，林崇德在20世紀80年代初，用問題提出測量學(xué)生的思維品質(zhì)，并利用自編應(yīng)用題來培養(yǎng)小學(xué)生的創(chuàng)造力[8]．

從教學(xué)層面來說，在1980年的NCTM（National Council of Teachers of Mathematics）年鑒中，Butts提到，把同一個問題用不一樣的情境和引導(dǎo)語來表述，其教學(xué)效果就會不一樣[9]．例如：

問題1：()表示整數(shù)的正因子．證明，當且僅當為平方數(shù)時，()為奇數(shù)．

問題2：哪一個正整數(shù)有一個奇數(shù)因子（證明你的猜想）．

問題3：想象有個全部關(guān)閉的鎖和個人．假設(shè)第一個人獨自打開每一個鎖；然后第二個人從第二號鎖開始每兩個鎖關(guān)閉一個鎖；第三個人從第三號鎖開始每3個鎖改變一個鎖的開合狀態(tài)（也就是，如果原來是鎖住的，那么這個人將其打開，如果原來是打開的則將其關(guān)閉）．如果這個過程持續(xù)下去一直到所有個人都完成一遍，那么哪些鎖是打開的？

以上3個問題實際上都是同一個問題，只是用了不同的表達方式．第一個問題是個非常直接的數(shù)學(xué)證明問題；第二個很簡潔，只是給定了一個需要猜想的問題，而非一個需要證明的陳述句；第三個則以一種非常獨特的方式提出了一個數(shù)學(xué)問題．Butts認為第三種問題呈現(xiàn)形式可能更容易激發(fā)學(xué)習(xí)者潛在的主動解決問題的愿望．特別是1990年，Brown和Walter在《問題提出的藝術(shù)》（）一書中就提到，如何在課堂中設(shè)計情境讓學(xué)生提出問題，如何通過提出問題來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)等．他們還用到了“如果不是這樣”（what if not）這種具體策略來鼓勵學(xué)生提出問題[10]．無論是Butts的工作還是Brown和Walter的研究都是對波利亞研究的延伸，即如何把問題從不同角度呈現(xiàn)出來，以增加學(xué)生探索和學(xué)習(xí)的機會．

然而，在以上的研究中，教育者和研究者還沒有把問題提出作為研究對象，直到1989年，在美國數(shù)學(xué)課程標準中明確提出，要提供給學(xué)生機會提出數(shù)學(xué)問題[11]．美國數(shù)學(xué)課程標準還提到，數(shù)學(xué)教育界應(yīng)該將問題提出的活動作為一個主體來研究；在課堂上要提供給學(xué)生提出問題的機會，通過提出問題學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)．同時，把問題提出既作為一個教學(xué)目標（促進學(xué)生問題提出能力的發(fā)展），又作為一種教學(xué)手段或方法（通過問題提出來教數(shù)學(xué)）．這些觀點對數(shù)學(xué)問題提出的研究和教學(xué)是一個里程碑式的發(fā)展．之后，人們便開始把問題提出的活動作為直接研究的對象．Kilpatrick強調(diào)，發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造自己的數(shù)學(xué)問題應(yīng)該是每一個學(xué)生所接受的教育的一部分，也應(yīng)該是學(xué)校數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容[12]．而且，在Silver把問題提出作為一個對象來研究之后，就提出了兩種問題提出的含義：一種是根據(jù)情境來提出問題，另一種是改編現(xiàn)有問題來提出新問題[13]．

經(jīng)過系統(tǒng)梳理問題提出的內(nèi)涵，研究者提出應(yīng)從學(xué)生和教師的角度來看它的含義，即“對于數(shù)學(xué)教育中的問題提出，研究者認為應(yīng)該是有特定的活動來支持教師和學(xué)生，使得他們能夠基于特定的情境（即問題背景或情境）形成或再形成一個數(shù)學(xué)問題或任務(wù)”[14]．這一定義框架中對“問題”或“任務(wù)”進行了更為廣泛的分析，其中包括可以提出的任何數(shù)學(xué)問題，以及可以根據(jù)問題情境提出的任何數(shù)學(xué)任務(wù)．研究者也從較為廣泛的角度分析了“情境”一詞，其中包括可以提出新問題的數(shù)學(xué)內(nèi)部的情境，包括數(shù)學(xué)表達式或圖表，以及來自于外部事物的情境，如真實的生活環(huán)境和來自于其它學(xué)科的問題情境．也分別從學(xué)生和教師角度界定了問題提出的概念．

于學(xué)生而言，問題提出主要包括兩方面的心智活動：①學(xué)生基于給定的問題情境提出數(shù)學(xué)問題，這些情境可能包括數(shù)學(xué)表達式或圖表；②學(xué)生通過改變（或改編）已有問題來提出新的數(shù)學(xué)問題．

于教師而言，問題提出主要包括5方面的心智活動：①教師自身基于給定的情境提出數(shù)學(xué)問題；②教師自身基于給定的情境，通過改變（或改編）已知提出數(shù)學(xué)問題；③教師創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題；④教師預(yù)測學(xué)生可能會提出的數(shù)學(xué)問題；⑤課堂上提出數(shù)學(xué)問題讓學(xué)生求解．值得指出的是，除了把問題提出作為教學(xué)目標和教學(xué)方法之外，問題提出還可作為測試或評價工具來考查學(xué)生或教師的數(shù)學(xué)思維．

2 問題提出教學(xué)的理論基礎(chǔ)

在理清了什么是問題提出之后，接下來對問題提出教學(xué)的理論基礎(chǔ)進行討論．根據(jù)前文所述，可以把問題提出看成是一種教學(xué)手段，也就是通過問題提出來教數(shù)學(xué)和學(xué)數(shù)學(xué)．不同學(xué)者從不同的角度提到過問題提出教學(xué)的理論基礎(chǔ)，例如，有研究者發(fā)現(xiàn)，問題提出可以從不同的角度測試學(xué)生的思維；也有學(xué)者認為，問題提出任務(wù)往往是更為開放和挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)[4]．作為一種教學(xué)手段，問題提出在課堂上能夠提供給學(xué)生更多的學(xué)習(xí)機會和挑戰(zhàn)，從而有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)．

下面將從兩種學(xué)習(xí)理論（學(xué)習(xí)的個體性和社會性）及兩種學(xué)生群體（“好生”和“差生”）所獲得的學(xué)習(xí)機會角度，討論問題提出教學(xué)的理論基礎(chǔ)．

2.1 學(xué)習(xí)的個體性和社會性

在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，關(guān)于學(xué)生的學(xué)習(xí)有兩大理論：一種是建構(gòu)主義，持該理論的學(xué)者認為，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是個體自我積極的建構(gòu)過程，所以他們更強調(diào)學(xué)生在數(shù)學(xué)教學(xué)情境中的自我建構(gòu)和個體性；第二種則強調(diào)數(shù)學(xué)活動過程中的社會性和文化情境，認為學(xué)習(xí)是一種社會文化活動，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更多的是受外部環(huán)境和文化的影響．Cobb強調(diào)，這兩種看似相互矛盾的學(xué)習(xí)理論在數(shù)學(xué)課堂上是一個完美的互補[15]．蔡金法也系統(tǒng)地論述了這兩種學(xué)習(xí)理論在基于數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)中的作用，基于理論和實證數(shù)據(jù)說明了基于問題解決教學(xué)對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有促進作用的原因[16]．而這一論述同樣適用于理解和闡釋基于問題提出的教學(xué)對學(xué)生學(xué)習(xí)產(chǎn)生有利影響的原因．

Anderson在綜合了不同認知理論學(xué)家對學(xué)習(xí)的本質(zhì)定義后，提出“認知心理學(xué)中的一個基本假設(shè)是，新的知識是需要學(xué)習(xí)者自我建構(gòu)的，然而學(xué)習(xí)者不是簡單地將新知存儲在大腦中即可，而必須將新知與自己的舊知建立關(guān)系，這個建立關(guān)系的過程就是學(xué)習(xí)的本質(zhì)．從這個意義上說，數(shù)學(xué)知識——無論是程序性知識還是概念性知識——都是學(xué)習(xí)者自己創(chuàng)造的”[17]．學(xué)生在問題提出過程中，需要理清情境或已知對象之間的關(guān)系，并創(chuàng)造性地將不同對象或量以自己理解的方式提出各自新的問題，這些問題很可能在認知需要或形式上都對問題提出者來說是獨特的．而且，問題提出是一種開放式的學(xué)習(xí)過程，學(xué)習(xí)者可以綜合自己的已有知識，從中提取與新情境相關(guān)的內(nèi)容，從而提出問題．這個過程能讓學(xué)習(xí)者主動地將自己的舊知與新知很順利地建立聯(lián)系，也有助于不同學(xué)習(xí)者基于自己的水平和背景提出問題，從而建構(gòu)知識．

維果茨基從社會和文化的角度談?wù)摿藢W(xué)習(xí)和學(xué)習(xí)過程．他在大量的實證研究結(jié)果的基礎(chǔ)上提出，學(xué)生在不同教學(xué)情境的學(xué)習(xí)結(jié)果也會不同，由此提出學(xué)習(xí)的社會文化建構(gòu)理論[18-20]．根據(jù)該理論，學(xué)習(xí)者建構(gòu)知識的過程離不開他們所處的社會和文化情境，情境的不同會導(dǎo)致不同的學(xué)習(xí)過程和結(jié)果．學(xué)習(xí)是在課堂中進行的，課堂就是一個社會單位，因此，學(xué)習(xí)就是在社會單位中進行的．特別地，問題提出的課堂活動會涉及到社會數(shù)學(xué)規(guī)范的課堂教學(xué)．在這個社會單位中，教師利用問題提出的教學(xué)手段，讓學(xué)生自己建構(gòu)過程，匯報自己提出的問題，通過不同學(xué)生介紹不同的問題，并在師生和生生的交流、辯論和批判中實現(xiàn)課堂的“社會”建構(gòu)過程．從而在課堂這個社會環(huán)境中，學(xué)生不僅能提出自己獨特的問題，還能了解不同學(xué)生提出的獨特問題，并知道什么樣的問題是“社會”認同的，什么樣的問題是好問題．

問題的提出不僅是為了幫助學(xué)生注意到知識內(nèi)容的某些特征，而且要注意到信息處理的特殊方式．因此，當有學(xué)生匯報自己提出的數(shù)學(xué)問題時，其他學(xué)生就可以思考該學(xué)生是怎樣想的，其對數(shù)學(xué)概念的理解又是怎樣的，從中發(fā)現(xiàn)與自己想法不同或有漏洞的地方．最后，借助學(xué)生所提問題，教師可以進行適當組織、引導(dǎo)和選擇，讓學(xué)生在討論、交流、辨析的過程中完善并解決同伴所提的問題，達到學(xué)習(xí)的目的．

2.2 創(chuàng)造更多學(xué)習(xí)機會

作為一種教學(xué)手段，問題提出教學(xué)要比問題解決教學(xué)給學(xué)生提供的學(xué)習(xí)機會更多．Contreras認為，問題提出作為一種教學(xué)手段能夠滿足有不同需求的學(xué)生[21]．已有研究表明，學(xué)生在解決問題時，程度好的學(xué)生解決完問題后他們的學(xué)習(xí)便停止了，而程度差的學(xué)生因為無法解決問題，也許就沒有辦法參與其中，學(xué)習(xí)機會也會更少．久而久之，差學(xué)生的課堂參與度、注意力，甚至數(shù)學(xué)情感都會變得消極[16]．但在以問題提出為手段的教學(xué)過程中，盡管程度不同的學(xué)生所提的問題在結(jié)構(gòu)、難度，以及綜合程度上都會有所不同，但他們幾乎都能參與到問題提出的數(shù)學(xué)活動中．在問題提出過程中，學(xué)生既能發(fā)揮自己作為單獨個體的作用，讓教師可以看到學(xué)生更多獨特的、對其有意義的數(shù)學(xué)問題．同時，由于問題提出的過程和形式是開放的，所以對于程度較差的學(xué)生來說也能積極參與其中，而對程度好的學(xué)生來說，問題提出可以挖掘他們更大的學(xué)習(xí)潛力．

因此，利用問題提出進行教學(xué)的模式是非?？扇〉?，問題提出這一活動既能照顧所謂的“差生”，又能讓比較好的學(xué)生有比較大的發(fā)展空間．以問題解決教學(xué)為例，當題目給定后，有些學(xué)生解不出來，也有學(xué)生能解出來．解不出來的學(xué)生學(xué)到的東西當然會少，這就是所謂的“差生”，而解出來的學(xué)生也就只能學(xué)到解決問題這么多知識．然而，數(shù)學(xué)問題提出這一活動卻不同，因為它可以讓“差生”有足夠大的發(fā)展空間，他們可以根據(jù)自己的經(jīng)驗和理解提出非常有意思的問題．而對于“好生”，除了有足夠的發(fā)揮余地，由于情境是開放的，提出問題也同樣會給他們提供更多的發(fā)展空間．因此，問題提出是一種能同時發(fā)揮出“差生”和“好生”更多潛能的教學(xué)活動．因為創(chuàng)設(shè)情境以提出數(shù)學(xué)問題這一方式，對發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造力和潛力是大有裨益的[22]．

從實證研究角度來看，目前已有足夠的證據(jù)表明，在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，提供提出問題的機會，有助于挖掘和發(fā)展學(xué)生的潛力[4]．例如，Ellerton提出了一個在數(shù)學(xué)課堂中的問題提出的積極學(xué)習(xí)框架（active learning framework），并劃分了一個學(xué)生從被動參與到積極參與的一個范圍，認為沒有問題提出和問題解決的數(shù)學(xué)課堂會縮短學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)歷，尤其是會剝奪讓學(xué)生反思、批判和質(zhì)疑的機會[23]．這一框架將課堂中的問題提出視為一種讓學(xué)生能鞏固自己所學(xué)知識，并對其進行批判性思維的重要活動．

3 問題提出的教學(xué)實踐

3.1 用問題提出評估教師與學(xué)生的思維

到目前為止，利用問題提出評估學(xué)生和教師思維的研究已經(jīng)較為成熟．例如，作為長期跟蹤研究的一部分，蔡金法等人考查了用問題提出測試不同課程對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和思維發(fā)展的影響[24]．此外，Tichá和Ho?pesová用問題提出作為診斷工具，考查了職前數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)理解[25]．特別地，他們的研究強調(diào)，問題提出可以提供給教師和學(xué)生了解自己在概念理解上的錯誤或誤解的機會．

李欣蓮等人和姚一玲等人都從不同角度考查了在職小學(xué)數(shù)學(xué)教師在問題提出過程中對數(shù)學(xué)知識的理解及相應(yīng)的數(shù)學(xué)思維的情況[26-27]．具體來說，李欣蓮等人從教師在兩類問題提出上的表現(xiàn)及工作坊對其問題提出能力影響的角度對小學(xué)教師進行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)在現(xiàn)有問題提出課程資源缺乏的情形下，中國大多數(shù)小學(xué)教師能夠提出恰當?shù)臄?shù)學(xué)問題，但問題的質(zhì)量還有待提高；教師對問題提出工作坊態(tài)度越積極，進步就會越大．姚一玲等人則利用問題提出及分數(shù)除法的測試題考查了教師對數(shù)學(xué)概念的程序性理解和概念性理解情況及其與數(shù)學(xué)問題提出的關(guān)系．

雖然，用問題提出測試來評估教師和學(xué)生的數(shù)學(xué)思維甚至創(chuàng)造性相對較為成熟，但是，這一領(lǐng)域的工作還有很多值得研究的方面（詳見文[4]）．例如，目前已有的評估試題非常有限，如何基于問題提出系統(tǒng)地開發(fā)可用于測試和評估學(xué)生及教師數(shù)學(xué)思維及創(chuàng)造性的測試題，是目前面臨的一大課題[28]．比如，張玲等人關(guān)于數(shù)學(xué)問題提出中的交流展開了一些研究，這一領(lǐng)域未來會有很好的發(fā)展前景[29]．大家已經(jīng)知道很多有關(guān)數(shù)學(xué)問題解決中的數(shù)學(xué)交流，但對問題提出中的數(shù)學(xué)交流卻知之甚少．張玲等人建構(gòu)了問題提出中的數(shù)學(xué)交流模式，從輸入、過程和輸出3個階段揭示了問題提出過程中數(shù)學(xué)交流的發(fā)生過程及形式．盡管他們只是提出了一個構(gòu)架，但已有部分實證結(jié)果表明，這一構(gòu)架是非?？尚械模虼?，未來的研究重點就在于對測試題的開發(fā)．這些方面的工作不僅有助于評估學(xué)生或教師的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)造性，而且還有助于了解問題提出的認知和情感過程．

3.2 教師學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)問題提出進行教學(xué)

教師作為教育領(lǐng)域的專業(yè)人士，要接受新思想、新觀念，要不斷學(xué)習(xí)如何給學(xué)生提供更多的學(xué)習(xí)機會．由于對大部分教師而言，運用問題提出方法開展教學(xué)是一種新的教學(xué)方式[4，14]，因此，作為數(shù)學(xué)教育研究者，需要給教師提供相應(yīng)的教學(xué)支持．

文[30-31]是“數(shù)學(xué)問題提出對教師專業(yè)發(fā)展和學(xué)生創(chuàng)新能力提升的長期跟蹤研究”課題的研究成果，此課題是根據(jù)“主題式”專業(yè)發(fā)展模式進行設(shè)計的（如圖1）．該模式的基本假設(shè)是：教師課堂教學(xué)行為的改變促進學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而教師知識的增長和信念的改變促使教師的教學(xué)行為改進．教師學(xué)習(xí)的目的是可以促進其信念的改變和知識的增長．這一模式既有來自學(xué)習(xí)的情境認知[32]和改進科學(xué)理論（improvement science）的有力支持[33-34]，也有豐富的實證數(shù)據(jù)來證實對教師專業(yè)發(fā)展的有效性[35]．幫助教師學(xué)習(xí)用問題提出進行教學(xué)，是在這些理論和實證數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的．宋乃慶等人在研究中也詳細論述了問題提出教學(xué)對教師教學(xué)和專業(yè)發(fā)展可能具有的機遇與挑戰(zhàn)[36]．雖然，蔡金法等人在其研究中詳細說明了，關(guān)于教師在問題提出教學(xué)過程中，其專業(yè)得以發(fā)展的更多有效和完整性的證據(jù)，但這些方面的證據(jù)還遠遠不夠[14]．

圖1 教師專業(yè)發(fā)展的一般路徑

可以發(fā)現(xiàn)，有的研究是針對較大樣本的教師進行調(diào)查，有的研究是針對個別教師進行調(diào)查．同時也揭示了，教師使用問題提出開展教學(xué)遇到的挑戰(zhàn)，以及如何克服這些挑戰(zhàn)的方法，為教師基于問題提出教學(xué)的專業(yè)發(fā)展提供了可參考的有效路徑和方法．

蔡金法等人的研究不僅提供了“主題式”數(shù)學(xué)問題提出教學(xué)專業(yè)發(fā)展研究的初步框架和初步有效性證據(jù)，還表明了混合型方法研究設(shè)計的重要性及結(jié)果的可行性．但是，“主題式”數(shù)學(xué)問題提出教學(xué)的總體模式仍需要不斷完善，而且這一模式所涉及的具體內(nèi)容也需要更深入的研究．基于此，張輝蓉等人提出了一個非常全面且具體的教師問題提出教學(xué)知識的構(gòu)架，為教師專業(yè)發(fā)展模式提供了一個獨特的視角[37]．關(guān)于數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)知識是一個熱點研究課題，但是，對數(shù)學(xué)教師的教學(xué)知識研究面臨著很多挑戰(zhàn)（盡管有關(guān)教師需要有數(shù)學(xué)教學(xué)知識的理念已經(jīng)普遍接受），但最大的挑戰(zhàn)是如何精確地測試教師的這些教學(xué)知識，并進行有效的干預(yù)，以促進他們的專業(yè)發(fā)展及教師知識的增長[38-39]．張輝蓉等人基于特定內(nèi)容而提出的構(gòu)架（簡易方程及問題提出）有很大潛力突破已有關(guān)于教師教學(xué)知識研究的瓶頸．更值得期待的是，他們正在開發(fā)有關(guān)教師數(shù)學(xué)問題提出教學(xué)知識的測試工具．

3.3 課程為問題提出教學(xué)提供資源

盡管有很多研究表明，家長等因素對學(xué)生的學(xué)習(xí)起到重要的作用[40]，但是學(xué)校的正規(guī)教育畢竟是促進學(xué)生學(xué)習(xí)的主要因素[16]．因此，在課堂上如何用問題提出開展課堂教學(xué)是關(guān)鍵．目前各國的研究者都在努力探討用問題提出進行的課堂教學(xué)究竟是怎樣的[41]．陳婷等人對比分析了兩節(jié)關(guān)于“簡易方程”的課，該課由徐紅老師采用問題提出和問題解決兩種方式對同一內(nèi)容進行教學(xué)[42]．他們發(fā)現(xiàn)，利用問題提出進行教學(xué)的優(yōu)點在于，它比問題解決教學(xué)更有教育潛力，而且由于提出數(shù)學(xué)問題具有開放性，學(xué)生在提問過程中能將現(xiàn)實生活經(jīng)驗與數(shù)學(xué)知識建立聯(lián)系，更好地激發(fā)學(xué)生的思維，并能夠促進學(xué)生更多地參與到教學(xué)活動中．此外，許天來和蔡金法也在其“實施課程”和“獲得課程”中描述了一些美國的問題提出課堂教學(xué)案例，并提出了3種促進教師運用問題提出開展教學(xué)的具體方法：①教師通過改編現(xiàn)有課程材料為學(xué)生創(chuàng)造提出問題的機會；②增加課標中問題提出的范例；③列出學(xué)生可能會提出的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生提出不同難度的數(shù)學(xué)問題[43]．

雖然目前已有一些問題提出課堂教學(xué)的案例，但總的來看，利用問題提出進行教學(xué)的優(yōu)秀案例還很少．這也要求課程能夠為問題提出教學(xué)提供資源．

面對社會對教育系統(tǒng)提出的變化需求，課程歷來被視為教學(xué)改革的動力．因此，數(shù)學(xué)課程資源應(yīng)該首先成為問題提出教學(xué)活動實踐的代表[44]，成為教師可以參考的教學(xué)資源，甚至應(yīng)該成為教學(xué)改革的重要動力[45-46]．如何提供課程資源的支持，教師對教學(xué)任務(wù)的實施，以及自身的專業(yè)發(fā)展都是需要進一步研究的內(nèi)容．許天來和蔡金法從計劃課程、期望課程、實施課程及獲得課程4個角度，分析了美國數(shù)學(xué)課程中的問題提出[43]．他們發(fā)現(xiàn)，雖然美國數(shù)學(xué)課程標準中非常強調(diào)問題提出的重要性和優(yōu)勢，而且也得到美國數(shù)學(xué)教育界的廣泛認可，但在數(shù)學(xué)教材和一線課堂教學(xué)實踐中仍然非常缺乏問題提出的相關(guān)活動．例如，許天來和蔡金法發(fā)現(xiàn)，美國數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)問題提出活動所占比例極低，類型較為單一，且問題提出題目的分布也不均衡．因此，建議在教材中應(yīng)開發(fā)不同問題提出的任務(wù)．在Christou等人的研究中，他們將問題提出任務(wù)分為5類[47]：①一般性的問題（自由的情境）；②得到給定答案的問題；③包含某些信息的問題；④符合某個問題情境的問題；⑤滿足給定運算式的問題．此外，不同的問題提出任務(wù)可能以多種方式向?qū)W生提供給定的信息，如使用視覺或符號表征，這些方式可能會（當然也可能不會）受到給定教材的其它設(shè)計和教學(xué)選擇的影響．因此，任務(wù)的不同類型反映了問題提出任務(wù)設(shè)計的不同質(zhì)量和優(yōu)先級別，如任務(wù)對學(xué)生的約束程度，亦或是任務(wù)在與問題解決的關(guān)聯(lián)方面發(fā)揮的作用．因此，不同類型的問題提出任務(wù)可以為教材開發(fā)提供依據(jù)[44]．

總體而言，無論是中國還是美國，教材中問題提出任務(wù)所涉及的年級、內(nèi)容以及類型都需要更多的考量和設(shè)計．Cai等人在研究人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的問題提出任務(wù)時，特別關(guān)注了3類任務(wù)：包含一個樣題的任務(wù)、要求學(xué)生基于給定運算提出問題的任務(wù)、要求學(xué)生基于數(shù)據(jù)圖表提出問題的任務(wù)[48]．而且這3類任務(wù)在人教社幾個版本的教材中的分布有顯著差異．但這樣的改變是否反映了課程試圖想要更有效地利用問題提出？因此，未來研究需要了解如何給課程加入問題提出要求或內(nèi)容會更有效．雖然課程標準中強調(diào)教材應(yīng)該包含問題提出的內(nèi)容，但目前關(guān)注數(shù)學(xué)教材中問題提出的研究仍然非常缺乏．

4 展望

千里之行始于足下．無論是國際還是國內(nèi)，不乏教育改革理念，而且很多理念都為大眾所接受，所缺的是具體的實踐來實現(xiàn)這些理念[48-49]．數(shù)學(xué)問題提出教學(xué)的理念也類似．或許研究者不需要花太多篇幅來說明數(shù)學(xué)問題提出活動對學(xué)生學(xué)習(xí)的重要性及發(fā)展學(xué)生思維和創(chuàng)造性的潛力．但重要的是落實到具體行動上．

注：“問題提出”是根據(jù)“problem posing”翻譯而成的．根據(jù)研究者的理解，“問題提出”與中國課標中的“提出問題”意義一致．幾年前在云南的一次會議上，蔡金法先生和史寧中先生曾有深入的交流，史先生肯定了課標中的“提出問題”與美國課標中的“問題提出（problem posing）”是同一含義．

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Teaching through Mathematical Problem Posing: Theoretical Bases and Practical Strategies

CAI Jin-fa1,2, YAO Yi-ling3

(1. School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China;2. Department of Mathematical Science, University of Delaware, Newark DE 19716, USA;3. College of Education, Hangzhou Normal University, Zhejiang Hangzhou 311121, China)

This paper started with a description of problem posing and teaching mathematics through problem posing. Based on the constructivist perspective and social-cultural perspective of learning as well as opportunity to learn, this paper provided strong theoretical bases for teaching mathematics through problem posing. The paper ended with a thorough discussion of practical strategies for teaching mathematics through problem posing.

constructivism; social-culture; learning opportunity; teaching practice

2019–05–03

西南大學(xué)引進人才（教育部“長江學(xué)者”講座教授）計劃項目——數(shù)學(xué)問題提出對教師專業(yè)發(fā)展和學(xué)生創(chuàng)新能力提升的長期跟蹤研究（SWU118118）；北京師范大學(xué)中國基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測協(xié)同創(chuàng)新中心研究生自主課題資助

蔡金法（1963—），男，浙江杭州人，美國特拉華大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，主要從事數(shù)學(xué)課程、評估和課堂交流研究．

G420

A

1004–9894（2019）04–0042–06

蔡金法，姚一玲．數(shù)學(xué)“問題提出”教學(xué)的理論基礎(chǔ)和實踐研究[J]．數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2019，28（4）：42-47．

[責(zé)任編校：陳漢君、周學(xué)智]