季榮峰 何雪云 梁 彥

（南京郵電大學通信與信息工程學院，南京，210003）

引 言

與傳統(tǒng)多輸入多輸出(Multiple-input-multiple-output，MIMO)相比，大規(guī)模MIMO在基站配置數(shù)十甚至數(shù)百根天線[1]。天線數(shù)目的增加大大地提高了系統(tǒng)的能源和頻譜效率，達到2～3個數(shù)量級，大規(guī)模MIMO也因此成為5G的熱點研究方向之一[2-3]。

作為最優(yōu)的檢測算方法，最大似然（Maximum likelihood，ML）算法[4]存在復(fù)雜度隨天線數(shù)量的增多呈指數(shù)規(guī)律增長的缺點。最小均方誤差（Minimum mean square error，MMSE）算法[5]因為加入了計算量為O(K3)的矩陣求逆運算，效果也不理想。為了簡化MMSE算法中的矩陣求逆運算，文獻[6]利用了Neumann級數(shù)方法，但是當展開級數(shù)超過2時復(fù)雜度太高，達到O(K3)。文獻[7]將高斯-賽得爾（Gauss Seidel，GS）迭代方法應(yīng)用到檢測中，避免了高復(fù)雜度，同時得到了接近最優(yōu)的檢測性能。文獻[8]提出了一種混合迭代算法，其復(fù)雜度低至O(K2)，并且利用最速下降（Steepest descent，SD）算法為GS迭代提供有效的收斂方向，加快收斂速度，提高檢測性能。

此外，檢測的判決都有涉及到用于信道譯碼器的對數(shù)似然比(Log likelihood ratio，LLR)，它的計算需要用到后驗信號噪聲及干擾比(Signal to interference plus noise，SINR)?，F(xiàn)在大部分的研究都利用初始迭代SINR來完成所有迭代判決，因此有著顯著的性能損失。本文改進了LLR的近似計算方法，使SINR隨著迭代次數(shù)m更接近精確SINR，從而改善了檢測性能。

1 系統(tǒng)模型

本文主要研究大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的上行鏈路，在基站配備N根接收天線，同時服務(wù)K個用戶（N?K）。令y∈CN×1表示基站端接收到的信號矢量，x=[x1,x2,…,xK]∈CK×1表示K個用戶發(fā)射的信號矢量，這里xk∈Q是來自第k個用戶的發(fā)送信息，Q為調(diào)制符號集。H∈CN×K表示信道矩陣，則接收信號y可以表示為

式中：n表示0均值、方差為σ2的N×1維加性高斯白噪聲矢量。

1.1 MMSE檢測算法

經(jīng)過MMSE信號檢測，基站端對發(fā)射信號的估計為

式中^=HHy。MMSE檢測器的濾波矩陣W可表示為

式中：G=HHH是格拉姆矩陣，W-1是MMSE算法復(fù)雜度高的主要原因，其計算量達到O(K3)。

1.2 對數(shù)似然比的計算

信道譯碼時會涉及到對數(shù)似然比LLR。令U=W-1G代表均衡后的等效信道矩陣，Ui,j為U的第(i,j)個元素。令E=W-1HH(W-1HH)H=W-1GW-1，Ei,i為矩陣E的第i個對角元素。由MMSE加權(quán)矩陣處理后的均衡信號為

所以第i個用戶所發(fā)送的符號估計值為=^=ρixi+λi，這里ei表示K維單位矩陣的第i個列向量，ρi為均衡后的等效信道增益，可表示為

λi表示噪聲加干擾項（Noise plus interference term，NPI），方差為，分別可表示為

根據(jù)文獻 [9]提出的max-log近似方法，能夠得到第i個用戶發(fā)送的第b個比特的對數(shù)似然比Li,b，即

式中：γi=/為第i個用戶的SINR，和分別表示第b位為0和1的調(diào)制符號集。

2 低復(fù)雜度檢測算法

2.1 Gauss Seidel算法

在解N維線性方程Ax=b時,利用GS算法可以避免矩陣求逆。這里A為N×N維對稱正定矩陣，x和b分別為N×1維的解向量和測量向量。所以GS算法可以解決MMSE算法中W-1的計算，對于大規(guī)模MIMO上行鏈路，由于信道矩陣H符合滿秩并且列漸進正交的條件，因此濾波矩陣W是對稱正定矩陣[4]，可將W分解為

式中：D為W的對角矩陣，L和LH分別為W的嚴格下三角和嚴格上三角矩陣。所以利用GS算法對信號矢量x^可估計為

2.2 改進的混合迭代算法

文獻[8]利用SD算法在迭代開始就能有很好搜索方向的特性[10-11]，在基于GS算法的基礎(chǔ)上提出了一種復(fù)雜度低的混合迭代算法，稱為SDGS算法。SDGS算法能快速收斂并且獲得接近MMSE算法的檢測性能。SDGS用SD算法來表示前面兩次GS迭代。SD算法的第一次迭代可以表示為

式中r(1)=-Wx(1)=r(0)-up(0),把SD和GS迭代合并可得到

將GS的前兩次迭代表示為式(13)，更新為混合迭代值=x(2)，然后利用式(10)執(zhí)行接下來的m-1次迭代。

2.3 近似對數(shù)似然比計算

根據(jù)式（8）可以發(fā)現(xiàn)求對數(shù)似然比Li,b時，必須再次涉及到W-1。為了降低復(fù)雜度，文獻[7-8]利用W的對角占優(yōu)特性用D-1來代替W-1，得到近似等效信道增益和NPI方差，分別表示為

2.4 改進的對數(shù)似然比的計算

2.3節(jié)介紹的近似對數(shù)似然比計算直接用D-1代替W-1，避免了求逆運算，但是會有較大的性能損失。所以根據(jù)紐曼級數(shù)展開定理，把W-1按紐曼級數(shù)展開，根據(jù)迭代次數(shù)取前m項得到近似值，再取其對角元素矩陣。由于比D-1更接近W-1，所以得到的近似等效信道增益和NPI方差也更精確，最后求出SINR代入式（8）可得到更精確的Li,b，從而提高了檢測性能。

式(7)可重寫為

從式(16)可以看出，NPI方差可以用等效信道增益ρi來表示，式(5)可重寫為

由于W對角占優(yōu)，用D-1來代替W-1可分別得到近似等效信道增益和NPI方差，即

定理1（Neumann級數(shù)展開[12]）：對于一個K維矩陣P，同時滿足條件非奇異和，則(IKP)也是非奇異的，它的逆可以表示為

對于大規(guī)模MIMO上行鏈路，信道矩陣可以看成是列漸進正交，因此G=HHH和W=G+σ2IK也是對稱正定的，根據(jù)定理1，W可重寫為在本文中，Q=D，D為W的對角元素矩陣，式（21）取前m項，得到

式中Q-1是一任意矩陣，滿足

令θ=IK-D-1W，為的對角元素矩陣。dk,k為的第k個對角元素，和wk,k分別為W-1和W的第k個對角元素。

（1）當m=1時，=D-1，dk,k=≈。

（2）當m=2時，=D-1+θD-1,所以dk,k=≈+θk,k，其中θk,k為θ的第k個對角元素。

（3）當m=3 時，=D-1+θD-1+θ2D-1，所以dk,k=w′k.k≈+θk,k+θ′kθk，其中θ′k和θk分別為θ的第k個行向量和第k個列向量。

(4)當m≥4時，計算復(fù)雜度高達O(K3)，因此W^-1m(m≥ 4)=W^-13。

根據(jù)式(18)可得到近似等效信道增益，即

根據(jù)迭代次數(shù)取不同的，得到新的近似值和，代入后計算出更接近精確值的SINR，從而算出新的LLR。因此，改進后的LLR計算方法進一步提高了檢測性能，在m很小時SDGS算法便能得到理想的結(jié)果。

3 仿真結(jié)果

本文給出了基于Matlab的仿真結(jié)果，系統(tǒng)配置為128×16（其中128為基站天線數(shù)，16為用戶數(shù)），信道為相關(guān)瑞利衰落信道，相關(guān)系數(shù)為0.7?；鶐盘栒{(diào)制方式為64QAM，在接收端，信號解碼方式為Viterbi解碼。

3.1 不同檢測算法的檢測性能對比

圖1比較了普通GS迭代和混合迭代SDGS算法的檢測性能。由圖1可見，在m同樣時，SDGS算法的性能遠優(yōu)于普通GS迭代算法。圖2對比了SDGS算法和改進LLR的SDGS算法的檢測性能。從仿真結(jié)果可以看出，經(jīng)過少量迭代，改進LLR的SDGS算法優(yōu)于SDGS算法，并且它的性能曲線快速接近MMSE算法的性能曲線。比如，當?shù)螖?shù)m=4時，想要達到BER=10-3的條件，SDGS算法需要8 dB左右的信噪比，而改進LLR的SDGS算法需要7 dB左右。

圖1 GS迭代和SDGS算法的BER對比Fig.1 Comparison of BER between GS and SDGS

圖2 SDGS和改進SDGS算法的BER對比Fig.2 Comparison of BER between SDGS and improved SDGS

3.2 信道的相關(guān)性對于檢測性能的影響

MIMO系統(tǒng)中，檢測性能受到信道空間相關(guān)性的影響。相關(guān)系數(shù)ξ（0≤ξ≤1）表示兩個相鄰天線之間的相關(guān)性[13]。從圖3可以觀察到，MMSE檢測算法的性能隨著相關(guān)系數(shù)的增大而變差。當相關(guān)系數(shù)ξ=0.5時，在相同迭代次數(shù)下，改進LLR的SDGS算法比ξ=0.7時的檢測性能更逼近MMSE性能。為此，在ξ=0.7時可適當?shù)脑黾拥螖?shù)，如圖4所示。

圖3 相關(guān)系數(shù)分別0.5和0.7時的BERFig.3 Comparison of BER between ξ=0.5 and ξ=0.7

圖4 增加迭代次數(shù)后的BER比較Fig.4 Comparison of BER after increasing the number of iteration

3.3 復(fù)雜度對比

由于所有的MMSE算法和本文提出的算法都有W=G+σ2IK和=HHy的計算，所以只考慮以下3部分：

（1）初始值和首次迭代：x(0)=D-1^需要K次乘法，首次迭代計算r(0)，p(0)和標量u，分別需要K2，K2和2K次。結(jié)合式（13）共需要2K2+6K次乘法。

（2）GS迭代部分：由式（10）得到一次GS迭代需要K2次乘法。

（3）LLR計算：主要來自于有效信道增益和NPI方差的計算以及的計算。計算ρi=1-和=ρi(1-ρi)分別需要3K和K次乘法，計算θ需要K2次，然后求dk,k，當m=2時為K次，當m≥3時為K2+2K次。

所以，改進LLR的SDGS算法的總體復(fù)雜度是O(K2)，與m有關(guān)，具體如表1，一般m都很小。表2給出了當SINR=8時，SDGS和改進LLR的SDGS算法在不同m下的BER以及恢復(fù)1 000比特所需要的時間。

表1 3種檢測算法計算復(fù)雜度對比Tab.1 Complexity comparison between three algorithms

表2 兩種檢測算法的計算時間和BER對比Tab.2 Comparison of computing time and BER between two algorithms

4 結(jié)束語

在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，雖然MMSE算法性能接近ML算法性能，但是因為復(fù)雜度太高（O(K3)）的原因很難應(yīng)用在實際中。SDGS算法將復(fù)雜度降為O(K2)，同時檢測性能比GS算法好。本文基于SDGS算法，提出了一種改進LLR的SDGS算法，檢測性能得到了進一步提高，只需要少量迭代次數(shù)就可以獲得接近MMSE的檢測性能，同時，算法復(fù)雜度保持在O(K2)。仿真結(jié)果表明，對于大規(guī)模MIMO系統(tǒng)，所提出的改進LLR的SDGS算法具有更大的優(yōu)勢。