☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 鄭云升

☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 趙思林

根據(jù)極限思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用范圍，針對極限思想在函數(shù)圖像、三角函數(shù)、不等式、解析幾何、立體幾何、數(shù)列、概率等問題中的應(yīng)用進(jìn)行系統(tǒng)的歸納總結(jié)及闡述說明，給出較為經(jīng)典且具有代表性的例題以供參考，為一線數(shù)學(xué)教育工作者在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透極限思想方法提供思路，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中可以從有限中想象無限，從近似中體驗(yàn)精確，讓學(xué)習(xí)不再成為一種負(fù)擔(dān)，讓其能夠真正應(yīng)用極限思想進(jìn)行解題.

一、研究現(xiàn)狀

極限思想方法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用已有不少研究成果，如邵瓊等利用極限思想方法針對函數(shù)圖像、數(shù)列、參數(shù)取值范圍問題優(yōu)化了解題過程.孫文淼針對導(dǎo)數(shù)問題如何利用極限思想解決進(jìn)行了探究.王國軍探討了極限思想在函數(shù)問題、概率問題、立體幾何問題中的應(yīng)用.蔡敬發(fā)說明了滲透極限思想在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的方法與必要性.方志平針對利用極限思想巧解幾何、函數(shù)、不等式等七個方面的問題進(jìn)行了闡述.劉吉存針對利用極限思想方法速解數(shù)學(xué)選擇題進(jìn)行了簡要研究，不過其列舉的題目太少，不具有普遍性.陳曉智等就利用極限思想分析幾何圖案的極端情形、確定定值定點(diǎn)或定直線、探求問題本質(zhì)及解題思路進(jìn)行了細(xì)致說明，對學(xué)生突破解題有很大幫助.韓慶文、曾光等就極限思想在解決高考題中的函數(shù)圖像問題進(jìn)行了研究，并且表明極限法能夠迅速、準(zhǔn)確地解決函數(shù)圖形問題.陳炎就把握教學(xué)時機(jī)，滲透極限思想給出了多個案例說明，論證了極限思想在高中數(shù)學(xué)中的重要性.高群安等分析了利用極限思想排除假命題、回避分類討論、簡化解題過程、探索證明問題、求最值五個方面，說明了極限思想在高中數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用以及其能夠優(yōu)化解題過程的好處.趙斌從一道高三調(diào)研試題所帶來的啟示中闡述了極限思想能夠使學(xué)生更形象、更生動、更細(xì)致地認(rèn)識函數(shù)的圖像和性質(zhì)，避開復(fù)雜運(yùn)算，降低題目難度，并且能夠加快學(xué)生的解題速度，表明高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中對極限思想予以足夠的重視.王立新主要研究了在數(shù)列問題中極限思想的巧用，闡明了在初等數(shù)學(xué)中合理地運(yùn)用極限思想使得解題思路自然，方法簡捷.武增明對極限思想“另類”的解題價值進(jìn)行了探索，發(fā)現(xiàn)其在解決函數(shù)值域問題、判斷圖形的變化規(guī)律、估算中都能得到廣泛而靈活的應(yīng)用.楊俊全面而系統(tǒng)地闡述了如何利用極限思想解決數(shù)列問題中的求和問題、求解數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求數(shù)列中的參數(shù)范圍.華志遠(yuǎn)通過透視高考熱點(diǎn)研究發(fā)現(xiàn)在尋找大部分解題思路的過程中能夠凝練出極限思想、突破思維定式、利用極限思想優(yōu)化解題策略、深化極限思想并發(fā)現(xiàn)解題結(jié)論.

二、極限法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1.在函數(shù)中的應(yīng)用

例1（2010年全國卷改編）函數(shù)如果a≠2b≠3c，且f（a）=f（2b）=f（3c），求abc的取值范圍.

圖1

解析：根據(jù)函數(shù)我們可以先畫出此分段函數(shù)的大致圖像（如圖1）.

又由題干可以知道f（a）=f（2b）=f（3c），那么我們可以作出一條平行于x軸的直線與函數(shù)圖像相交，使之與函數(shù)圖像有三個交點(diǎn)，并且得到的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就為a，2b，3c.

當(dāng)這條平行于x軸的直線靠近x軸時有a→1，2b→1，3c→12.

此時有6abc=a·2b·3c→12.

而當(dāng)這條直線趨近于y=1時，

有a→0.1，2b→10，3c→10，6abc→10.

評注：本題的第一個干擾條件就是a，2b，3c，這里不要被前面的常數(shù)所干擾，其常數(shù)不管為多少對解題都不會有任何影響，所以在解題時不要被這些看似復(fù)雜的條件所干擾.第二就是需要準(zhǔn)確畫出這個分段函數(shù)的圖像，找到在同一水平線能夠取三個點(diǎn)的y的取值范圍，然后利用極限思想取得所求目標(biāo)的上、下極限即可求出結(jié)果.

2.在三角函數(shù)中的應(yīng)用

例2對任何］都有（ ）.

A.sin（sinx）

B.sin（sinx）>cosx>cos（cosx）

C.sin（cosx）

D.sin（cosx）

解析：當(dāng)x=0和時正弦和余弦均有定義，這時我們考慮其變化趨勢.當(dāng)x→0，則sin（sinx）→0，cosx→1，cos（cosx）→cos1，即可排除A，B選項(xiàng)，而且當(dāng)時，有cos（sinx）→cos1，cosx→0，排除C，即D為正確選項(xiàng).

評注：本題的解答很顯然是利用了極限思想，并且是直接考慮x的極限狀態(tài)，避開了復(fù)雜的運(yùn)算，也避免了利用三角函數(shù)的單調(diào)性來比較大小的復(fù)雜過程，極限思想給了我們另一種解題思路.

3.在不等式中的應(yīng)用

例3（2004年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川賽區(qū)題目改編）已知不等式m2+（sin2θ-5）m+4cos2θ>0恒成立，則參數(shù)m的取值范圍是（ ）.

A.0≤m≤4 B.1≤m≤4

C.m≤0或m≥4 D.m≤0或m≥1

解析：本題考查參變量的取值范圍.當(dāng)m趨于∞時，左邊結(jié)果大于0，排除A，B選項(xiàng).又因?yàn)楫?dāng)m趨近于1+時，不等式不一定成立，可以排除掉D選項(xiàng).所以正確答案為C.

評注：高中常用的極限思想方法其實(shí)就是特殊值法的延伸，極限思想方法提供了一種從變化過程中研究事物變化趨勢的數(shù)學(xué)思想方法.巧妙地運(yùn)用極限思想方法能夠很大程度地減少計算量，而減少計算量恰恰就是使數(shù)學(xué)問題得到快速解決的關(guān)鍵所在，此題目便是利用了極限思想方法，探討這個問題的極限狀態(tài)就是減少運(yùn)算量的重要途徑.

4.在立體幾何中的應(yīng)用

例4（1994年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽改編）正20棱錐相鄰的兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍為（ ）.

圖2

解析：設(shè)正20棱錐為S-A1A2A3…A20，底面正20邊形是固定的，但棱錐的高是可以不斷變化的，將頂點(diǎn)S看作動點(diǎn)，當(dāng)S→底面中心時，底面正20邊形就為正20棱錐，在這種情況下二面角α→π且<π；當(dāng)正20棱錐的頂點(diǎn)無限遠(yuǎn)離底面中心時，又成為了另一種極限狀態(tài)，此時棱錐趨近于一個棱柱，二面角α→，所以選項(xiàng)A正確.

評注：同學(xué)們在運(yùn)用極限思想的過程中，要學(xué)會以運(yùn)動的眼光看問題，并著眼于數(shù)學(xué)問題中可能存在的極限位置或狀態(tài)，這樣才能讓問題變得更加簡潔明了.

變式：如果是正n棱錐，其相鄰的兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍又如何？

極限思想是數(shù)學(xué)文化中的瑰寶，更是把數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為思維能力的一種紐帶，揭示了數(shù)學(xué)中的不變量和變量、無限與有限、近似與精確的對立又統(tǒng)一的關(guān)系.能夠利用極限法解題，體現(xiàn)了學(xué)生較強(qiáng)的思維能力，很多題目看似與極限思想毫不沾邊，但正是這種看似毫不沾邊的表象背后卻隱藏著玄機(jī)，所以對于某些題目恰當(dāng)?shù)匾霕O限思想方法將會給解題帶來奇妙的效果.