高 岳，姜瑞忠，崔永正，張春光，潘 紅

(1.中國石油大學(xué)(華東)，山東 青島 266580；2.中國石油大港油田分公司，天津 300280)

0 引 言

國內(nèi)外大量實驗研究發(fā)現(xiàn)，稠油黏度受溫度影響顯著。稠油在低溫下黏度大，為非牛頓流體；在高溫下黏度小，為牛頓流體[1-3]。前人在均質(zhì)油藏模型中，將稠油處理為冪律流體，并求解其數(shù)值解[4-12]。近年來大量實驗發(fā)現(xiàn)，在稠油油藏中，滲透率隨著壓力增加呈指數(shù)式降低，即在稠油油藏中存在應(yīng)力敏感，并在各種稠油模型中將應(yīng)力敏感的影響考慮其中[13-15]，但尚未有人提出同時考慮應(yīng)力敏感和稠油冪律流體特征的水平井試井模型。因此，基于稠油水平井的冪律流體特性及滲透率應(yīng)力敏感，考慮井筒儲集和表皮效應(yīng)的影響，建立牛頓流體-冪律流體雙區(qū)復(fù)合稠油油藏試井解釋數(shù)學(xué)模型，采用有限元方法進(jìn)行求解，獲得井底壓力隨時間的變化規(guī)律，繪制無因次壓力及壓力導(dǎo)數(shù)與無因次時間的雙對數(shù)曲線，對各參數(shù)進(jìn)行敏感性分析，并對實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。

1 試井模型的建立

在水平井稠油熱采的過程中，近井帶注入蒸汽，稠油黏度隨溫度升高而降低，其流變性也由冪律流體轉(zhuǎn)化為牛頓流體，而蒸汽未波及的遠(yuǎn)井帶依然為冷油區(qū)，其流變性符合冪律流體特征[2]，因此，可將試井模型視作牛頓流體-冪律流體雙區(qū)復(fù)合油藏。

數(shù)學(xué)模型假設(shè)為：①稠油油藏模型從內(nèi)到外分為2個區(qū)域，內(nèi)區(qū)蒸汽區(qū)為牛頓流體區(qū)，外區(qū)冷油區(qū)為冪律流體區(qū)，其中，內(nèi)區(qū)半徑為r1，兩區(qū)的儲層物性不同，滲透率各向異性；②模型外邊界均為封閉邊界；③巖石和孔隙內(nèi)流體微可壓縮，流體流動過程中溫度恒定；④不考慮重力和毛管力的影響；⑤內(nèi)、外區(qū)之間的界面沒有額外的壓力降；⑥外儲層滲透率考慮應(yīng)力敏感效應(yīng)。

外區(qū)稠油黏度及儲層滲透率[16-23]可表示為：

(1)

K=Kje-γ(pe-p)

(2)

基于上述假設(shè)條件，建立冪律稠油考慮壓敏的水平井雙區(qū)熱采試井解釋數(shù)學(xué)模型[24-27]：

內(nèi)區(qū)牛頓流體：

(3)

外區(qū)冪律流體：

(4)

定義無因次變量：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

式中：piD為無因次壓力；Khi為水平滲透率，mD；pi為地層壓力，MPa；pe為初始地層壓力，MPa；μi為原油視黏度，mPa·s；Q為產(chǎn)量，m3/d；qD為無因次產(chǎn)量；B為地層原油體積系數(shù)，m3/m3；h為儲層厚度，m；γ為導(dǎo)壓系數(shù)，cm2/s；tD為無因次時間；φi為孔隙度，%；Cti為綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；rw為井筒半徑，m；t為時間，h；M12為內(nèi)外區(qū)流度比；r1為內(nèi)區(qū)半徑，m；η12為內(nèi)外區(qū)導(dǎo)壓系數(shù)之比；Kvi為垂直滲透率，mD；x為橫坐標(biāo)值，m；y為縱坐標(biāo)值，m；z為垂直坐標(biāo)值，m；L為水平井水平段長度，m；xD為無因次橫坐標(biāo)；yD為無因次縱坐標(biāo)；zD為無因次垂直坐標(biāo)；γD為無因次應(yīng)力敏感系數(shù)；rD為無因次半徑：r1D為無因次內(nèi)區(qū)半徑；S為表皮系數(shù)；C為井筒儲存系數(shù)；CD為無因次井筒儲存系數(shù)；i=1為內(nèi)區(qū)，i=2為外區(qū)。

模型定解條件如表1所示。

表1 定解條件

2 模型求解

建立雙區(qū)復(fù)合稠油油藏水平井熱采試井解釋數(shù)學(xué)模型。應(yīng)用Galerkin法[28-29]，取插值基函數(shù)N為權(quán)函數(shù)，得到試井模型的有限元方程。

內(nèi)區(qū)：

(17)

外區(qū)：

(18)

利用Green公式分步積分：

(19)

有限元方程的矩陣形式為：

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

式中：pDn為不同節(jié)點無因次壓力；n為水平井節(jié)點數(shù)量；Nk為形函數(shù)的分量，k=1，2，…，n；T為矩陣轉(zhuǎn)置符號。

由式(20)—(25)可得：

KePn=Fe

(26)

(27)

(28)

由于水平井井筒內(nèi)流體流動壓力損失小，均勻流量模型誤差較大，因此，選擇無限導(dǎo)流能力模型進(jìn)行求解，并借助均勻流量模型和無限導(dǎo)流能力模型的等壓力點評價水平井井底壓力，選取0.7L為水平井井底壓力的等壓力點。

應(yīng)用Delta函數(shù)，將水平井劃分為n個節(jié)點，得到無因次化后的單元源匯項有限元方程：

(29)

式中：fe為單元源匯項有限元方程；xD0、yD0、zD0為初始節(jié)點。

通過Stehfest反演，得到井底壓力解：

(30)

3 壓力響應(yīng)特征及參數(shù)敏感性分析

3.1 壓力響應(yīng)特征

考慮滲透率壓力敏感的稠油水平井熱采試井曲線如圖1所示，對應(yīng)的流動階段劃分情況如表2所示。

3.2 參數(shù)敏感性分析

(1) 應(yīng)力敏感系數(shù)對壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線的影響如圖2所示。由圖2可知，無因次應(yīng)力敏感系數(shù)γD對滲流過程的影響開始于內(nèi)區(qū)徑向流階段，并且γD越大，地層應(yīng)力敏感性越強(qiáng)，底層滲透率隨壓力變化而改變的幅度也越大，即在曲線上表現(xiàn)為γD越大，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)值越大，曲線位置越高；隨著滲流進(jìn)行，壓力波不斷向邊界傳播，近井地帶的壓力梯度逐漸變大，滲透率降低的程度也越大，因此，后期的壓力曲線和壓力導(dǎo)數(shù)曲線比早期曲線上翹程度更明顯。

圖1 雙區(qū)復(fù)合稠油油藏水平井試井曲線

表2 流動階段劃分

圖2 應(yīng)力敏感系數(shù)對水平井壓力響應(yīng)曲線

圖3 冪律指數(shù)對水平井壓力響應(yīng)曲線

(3) 導(dǎo)壓系數(shù)η對壓力響應(yīng)曲線的影響如圖4所示。由圖4可知，內(nèi)區(qū)(牛頓區(qū))與外區(qū)(冪律區(qū))導(dǎo)壓系數(shù)之比越大，冪律區(qū)反應(yīng)特征越明顯，壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹程度越大，當(dāng)η12=1時，曲線退化為單區(qū)模型曲線。

圖4 內(nèi)外區(qū)導(dǎo)壓系數(shù)比對水平井壓力響應(yīng)曲線

(4) 內(nèi)區(qū)半徑對壓力響應(yīng)曲線的影響程度如圖5所示。由圖5可知，內(nèi)區(qū)(蒸汽區(qū))半徑變小，壓力波在內(nèi)區(qū)中傳播的時間變短，即內(nèi)區(qū)徑向流結(jié)束時間也越早。

圖5 內(nèi)區(qū)半徑對水平井壓力響應(yīng)曲線

4 實例應(yīng)用

新疆地區(qū)G油田某蒸汽吞吐井油層厚度為10.4 m，油層中部深度為168.7 m，孔隙度為0.28，井筒半徑為0.09 m，原油黏度為7 200 mPa·s，水平井有效長度為99.8 m，注汽溫度為140 ℃，蒸汽密度為1.095 874 kg/m3，綜合壓縮系數(shù)為0.003 54 MPa-1，日注汽量為59 t/d。通過驗證發(fā)現(xiàn)，冪律指數(shù)取0.65擬合程度較好，可知內(nèi)區(qū)半徑為97.6 m，表皮系數(shù)為2.02，滲透率為2 254 mD，井筒儲存系數(shù)為0.186 m3/MPa。

對比雙區(qū)復(fù)合稠油油藏水平井試井模型與傳統(tǒng)未考慮壓敏及稠油冪律特性模型(圖6)可知，雙區(qū)復(fù)合稠油油藏水平井試井模型在后期擬合精度更高，表征出因冪律特性而導(dǎo)致的外區(qū)徑向流階段上翹特征，因此，該模型在稠油熱采開發(fā)中有更好的適應(yīng)性。

圖6 現(xiàn)場實例擬合曲線

5 結(jié) 論

(1) 綜合考慮油藏滲透率應(yīng)力敏感及稠油的冪律特性，建立牛頓流體-冪律流體雙區(qū)復(fù)合稠油油藏水平井試井模型，運(yùn)用有限元方法求解水平井井底壓力。

(2) 無因次應(yīng)力敏感系數(shù)γD對滲流過程的影響開始于內(nèi)區(qū)徑向流階段，γD越大，地層應(yīng)力敏感性越強(qiáng)，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)值越大，曲線位置越高，后期壓力曲線和壓力導(dǎo)數(shù)曲線比早期曲線上翹程度更明顯。

(4) 內(nèi)區(qū)(牛頓區(qū))與外區(qū)(冪律區(qū))導(dǎo)壓系數(shù)之比越大，冪律區(qū)反應(yīng)特征越明顯，壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹程度越大。蒸汽區(qū)(內(nèi)區(qū))半徑變小，壓力波在內(nèi)區(qū)中傳播的時間變短，內(nèi)區(qū)徑向流結(jié)束時間越早。

(5) 應(yīng)用所建模型對G油田某井進(jìn)行試井解釋，理論曲線與實際測試曲線擬合程度較高，精度優(yōu)于傳統(tǒng)模型，該方法能夠應(yīng)用于稠油熱采試井解釋中。