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安徽省南陵縣教研室 安徽省南陵縣城東實(shí)驗(yàn)學(xué)校

復(fù)習(xí)課作為課堂教學(xué)的重要課型之一，對(duì)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力起著不可替代的作用.復(fù)習(xí)課由于涉及的知識(shí)信息量大，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)是很好的契機(jī)，發(fā)揮著不可替代的重要作用.怎樣在課堂教學(xué)中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？這是我們面臨的一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題，在省級(jí)課題的研究中，我們總結(jié)出一種行之有效的方法，即以問題為驅(qū)動(dòng)，以知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)為紐帶，通過對(duì)問題進(jìn)行適度變式，深化了知識(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)起到很好的效果.

邏輯推理能力是初中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)之一，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》(以下簡(jiǎn)稱課標(biāo))指出“對(duì)現(xiàn)實(shí)空間及圖形有較豐富的認(rèn)識(shí)，具有初步的空間觀念、幾何直觀和邏輯思維能力……邏輯推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中.”所以數(shù)學(xué)邏輯推理能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù).在復(fù)習(xí)課上，我們堅(jiān)持選擇恰當(dāng)?shù)乃夭?，?duì)相關(guān)知識(shí)適度整合和實(shí)施有效的驅(qū)動(dòng)，在發(fā)展基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)兼顧發(fā)展能力，在注重?cái)?shù)學(xué)活動(dòng)的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面是我們實(shí)踐研究中的兩節(jié)初中幾何“三角形”復(fù)習(xí)課：

圖1

原題如圖1，△ABC是等邊三角形，D、E分別是AC、BC邊上的點(diǎn)，且AD=CE，連接BD、AE相交于點(diǎn)F.求∠BFE的度數(shù).

這是八年級(jí)學(xué)習(xí)時(shí)的一道典型的練習(xí)題，條件簡(jiǎn)單，結(jié)論一般，大多數(shù)學(xué)生耳熟能詳.復(fù)習(xí)課上如果僅僅停留在對(duì)原題的討論上，不能激發(fā)大部分學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，更談不上培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，所以我們以此題作為知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，著眼于其蘊(yùn)含的豐富內(nèi)容，通過對(duì)這些內(nèi)容的挖掘，激發(fā)學(xué)生的求知欲，取得了很好的效果.

1 在原題的基礎(chǔ)上增加條件，實(shí)現(xiàn)對(duì)全等三角形的復(fù)習(xí)

原題形式簡(jiǎn)單，通過添加相應(yīng)的條件，使原題的知識(shí)內(nèi)涵更豐富，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

圖2

例1 如圖2，已知△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、BC上的點(diǎn)，且BD=CE，AE、CD交于點(diǎn)F．

(1)求證：△ACE≌△CBD；

(2)過A作AG⊥CD于G，求證：AF=2FG；

圖3

圖4

解(1)、(2)略；

(3)如圖4，過A作AG⊥DF于G，因?yàn)椤鰽CE≌△CBD，所以∠CAE=∠BCD.

因?yàn)椤螦CB=∠CAB=60°，所以∠ACB-∠BCD=∠CAB-∠CAE.

即∠ACG=∠BAF.

又因?yàn)椤螦GC=∠AFB,AC=AB,所以△ACG≌△BAF.

所以CG=AF=2FG，因此CF=FG.

全等三角形作為初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，如何添加輔助線是證明兩個(gè)三角形全等的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，常見的輔助線添加的方法有截長(zhǎng)補(bǔ)短、中線延長(zhǎng)和旋轉(zhuǎn)等，為了實(shí)施對(duì)全等三角形的復(fù)習(xí)，在完成例1后，再次添加條件，得到變式：

圖5

變式一：如圖5，在(3)的條件下，點(diǎn)H在BC上且∠BFH=30°，求證：AH⊥BH.

變式一依然是以原題為依托，但改變過去以旋轉(zhuǎn)為已知，進(jìn)行三角形全等的證明，據(jù)此研究線段的和、差、倍、分關(guān)系.變式的本質(zhì)是旋轉(zhuǎn)，即把△ACF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BCM，這樣對(duì)學(xué)生思維程度的要求更高，能更有效地激發(fā)學(xué)生思維的深度和廣度，經(jīng)過一段時(shí)間的思考、討論、交流，學(xué)生獲得下面的解法：

圖6

如圖6，在AF上取M使CF=FM，連MC，延長(zhǎng)FH交MB于N，

因?yàn)椤螦FC=120°，所以△CFM為等邊三角形.

所以CM=CF，

∠BAC=∠FCM=60°.

所以∠BCA-∠BCD=∠FCM-∠BCD，即∠ACF=∠BCM.

又因?yàn)锳B=AC，△ACF≌△BCM.所以∠BMC=120°.

又△CFM為等邊三角形，所以∠CMA=∠BMF=60°.

因?yàn)椤螦FB=90°，所以∠MFB=90°，∠NFB=30°.

因?yàn)椤螲FB=30°，所以∠MFN=∠FMN=60°.

即△FMN為等邊三角形，且FN=NB，所以NB=FN=FM=CF.

故△CFH≌△BHN，即CH=BH，所以AH⊥BC.

2 把問題的視角轉(zhuǎn)到相似三角形，實(shí)現(xiàn)對(duì)相似三角形的復(fù)習(xí)

相似三角形作為初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，在證明線段相等、角相等、線段的平行、垂直關(guān)系，在計(jì)算線段的比值、圖形的周長(zhǎng)、面積等方面有著廣泛的應(yīng)用.這些問題的解決，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力有著重要的作用.

圖7

例2 如圖7，△ABC是等邊三角形，D、E分別是AC、BC邊上的點(diǎn)，且AD=CE，連接BD、AE相交于點(diǎn)F.

圖8

證法1 (備課預(yù)設(shè))如圖8，延長(zhǎng)FE至G，使FG=FB,連接GB、GC.

易知∠BFG=60° ,所以△BFG為等邊三角形.

所以BF=BG，

∠FBG=∠FGB=60°.

易證△ABF≌△CBG.所以∠BFA=∠BGC=120°，∠FGC=60°.

證法2 (學(xué)生解法)易知△ABD≌△CAE.所以BD=AE,∠DAF=∠ABD.

①

②

例2把全等和相似巧妙地結(jié)合起來，提示學(xué)生在全等時(shí)不忘相似，在相似時(shí)不忘全等，一箭雙雕!

為了強(qiáng)化相似在解題中作用，有效地對(duì)相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行復(fù)習(xí)，同時(shí)強(qiáng)化學(xué)生三角形相似的意識(shí)，在解完例2后，對(duì)原題的條件進(jìn)行逆向思考，提出下面的變式：

圖9

圖10

簡(jiǎn)解如圖10，作DK∥BC，交AE于K.易證△ABE≌△BCD.所以BE=CD，CE=AD.

因?yàn)锽M=DM，∠DMK=∠BME，∠KDM=∠EBM，所以△MBE≌△MDK.

為了對(duì)接安徽中考題第14題，繼續(xù)對(duì)原題條件進(jìn)行改造，變成一道兩解填空題，提升學(xué)生邏輯推理能力的深度與廣度.

圖11

例3 如圖11，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)D在AC上且DC=2，點(diǎn)E在BC上，連接AE交BD于點(diǎn)F，且∠AFD=60°，若點(diǎn)M是射線BC上一點(diǎn)，當(dāng)以B、D、M為點(diǎn)的三角形與△ABF相似時(shí)，則BM的長(zhǎng)為______.

作為壓軸填空題，此類問題一般有一定的難度，但這恰好可以訓(xùn)練學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和分類討論的意識(shí)，為什么要分類以及怎樣分類是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).此題當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)，大多數(shù)學(xué)生能夠求出BM的值，當(dāng)點(diǎn)M在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，問題怎樣轉(zhuǎn)化是本題的難點(diǎn)所在，教學(xué)中也發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)了多種解法，而且解法新穎.

圖12

簡(jiǎn)解如圖12，當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上，∠BMD=120°時(shí)，△ABF∽△BMD.

此時(shí)△CDM為等邊三角形，所以CM=CD=2，故BM=BC-CM=6-2=4.

當(dāng)點(diǎn)M在線段BC的延長(zhǎng)線上，∠BDM=120°時(shí)，△ABF∽△BDM.

圖13

解法1 (備課預(yù)設(shè))如圖13，設(shè)CM=x,因?yàn)椤螪CB=60°,∠BDM=120°,

所以∠DBM+∠M=∠CDM+∠M=60°.所以∠DBM=∠CDM.

又因?yàn)椤螪MC=∠BMD,所以△BMD∽△DMC.

所以x(x+6)=x2+2x+4.解得x=1.故BM=x+6=7.

這個(gè)預(yù)設(shè)是執(zhí)教者精心設(shè)計(jì)的，一度認(rèn)為此法具有挑戰(zhàn)性而沾沾自喜，當(dāng)教師把這個(gè)答案用PPT呈現(xiàn)給學(xué)生時(shí)，數(shù)學(xué)課代表怯怯地說：“老師，我直接證明△ABF∽△BDM也能求出BM的長(zhǎng)”.課后我們和老師的交流中得知，直接求解教師在備課時(shí)也思考過，考慮到過程相對(duì)比較復(fù)雜，就沒有深入下去，學(xué)生的這一提出，使他感到很詫異.在課堂上，老師把這位學(xué)生的解法投影到實(shí)物展臺(tái)上，供同學(xué)交流：

圖14

教師對(duì)數(shù)學(xué)課代表的解法，向?qū)W生談了自己的想法：這種解法其實(shí)我在備課時(shí)也考慮到了，但估計(jì)運(yùn)算量比較大，所以我就放棄了，現(xiàn)在數(shù)學(xué)課代表這種最直接(最直接的往往體現(xiàn)的是學(xué)生最原本的認(rèn)知思維)的解法深深打動(dòng)了我，請(qǐng)大家不吝嗇你的掌聲，給他鼓鼓掌！

話音未落，另一個(gè)同學(xué)舉手，老師示意他講下去，他說“老師，我的方法很簡(jiǎn)單，也求出了BM=7”，該生的發(fā)言使同學(xué)們覺得很興奮，于是叫他把過程展示如下：

如圖14，在線段BC上作∠BGD=120°,∠BDM=120°,所以∠DBG=∠CDM.故△BDG∽△DMC.

例3是一道三角形綜合題，借助此題復(fù)習(xí)等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，體會(huì)用分類討論的思想思考問題，體驗(yàn)添加輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題的過程．課標(biāo)指出“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維；要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.”此題以問題為驅(qū)動(dòng)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，讓學(xué)生深入思考，提高他們的邏輯思維能力，使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實(shí)處.

在例3的基礎(chǔ)上，順勢(shì)而為，將點(diǎn)D、E在AC、BC上拓展到在直線AC、BC上，并把圖形相似轉(zhuǎn)化為角相等，有下面的變式：

變式三在例3的條件下，點(diǎn)D在直線AC上，點(diǎn)E在直線BC上，且∠BAE=∠CBD，當(dāng)BD=1時(shí)，則BE的長(zhǎng)為___________.

為了使學(xué)生有更多的時(shí)間思考和解決此題，沒有在課堂上討論，作為作業(yè)讓學(xué)生思考，第二天在課堂上點(diǎn)評(píng). 變式三是例3的延伸與拓展，由于點(diǎn)D在直線AC上，點(diǎn)E在直線BC上，所以變式三有四種情況，情況更復(fù)雜，對(duì)思維的嚴(yán)密性要求更高，但能鞏固學(xué)生對(duì)全等和相似的復(fù)習(xí)效果，強(qiáng)化分類討論的思想方法.

3 在原題的基礎(chǔ)上求線段(線段和)的最值，實(shí)現(xiàn)對(duì)幾何最值的復(fù)習(xí)

最值問題是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的難點(diǎn)，解決此類問題的基本定理有：兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短等，基本題型有將軍飲馬、定弦定角和運(yùn)用阿波羅尼斯圓等，為了讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的思維方法，改變過去的所謂“題型”教學(xué)，教師對(duì)原題繼續(xù)變式探究：

借助幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示發(fā)現(xiàn)，隨著點(diǎn)D和點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也在運(yùn)動(dòng)，但點(diǎn)P始終在以AB為弦圓周角為120°的圓上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，CP存在最小值，于是提出下面的問題：

圖15

此題在原題的條件下，將問題轉(zhuǎn)化到求CP的最小值，由已知可得∠APB=120°,故點(diǎn)P始終在以AB為弦圓周角為120°的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過圓心時(shí)CP最小.其模型是定弦定角求最值.

圖16

解易知△ABD≌△BCE，有∠APE=60°，

從而∠APB=120°，所以∠AOB=120°.

當(dāng)O、P、C三點(diǎn)共線時(shí)PC的值最小，最小值為4-2=2.

在求得CP的最小值后，最直接的想法就是△PAB周長(zhǎng)的變化規(guī)律，通過幾何畫板的反復(fù)演示，猜想△PAB的周長(zhǎng)有最大值，最大值在哪里取得，是多少，難以發(fā)現(xiàn)，于是啟發(fā)學(xué)生能否運(yùn)用代數(shù)方法去尋求其最大值.在師生的互動(dòng)下，探究如下：

圖17

在代數(shù)探究的前提下，提出：

變式四在例4的條件下，求△PAB的周長(zhǎng)的最大值.

解在△ABC外作等邊△ABK，連接PK，取PH=PB．

由已知易得∠APB=120°，因?yàn)椤螦KB=60°，所以∠AKB+∠APB=180°.

所以A、K、B、P四點(diǎn)共圓.所以∠BPH=∠KAB=60°.

因?yàn)镻H=PB，所以△PBH是等邊三角形.

所以∠KBA=∠HBP，BH=BP.所以∠KBH=∠ABP.

因?yàn)锽K=BA，所以△KBH≌△ABP.所以HK=AP.

所以PA+PB=KH+PH=PK，所以PK的值最大時(shí)，△APB的周長(zhǎng)最大，

所以當(dāng)PK是△ABK外接圓的直徑時(shí)，PK的值最大，最大值為4.

△PAB的周長(zhǎng)最大值的取得是建立在代數(shù)探究、幾何證明的基礎(chǔ)上的，具有相當(dāng)大的難度，仍然在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，屬于“跳一跳”的問題，在解決完例4和變式四后我們還需要思考對(duì)于正方形是否還有類似的結(jié)論，對(duì)于其他正多邊形是否也有類似結(jié)論，如何探究，請(qǐng)感興趣的同學(xué)課后思考.

以上兩個(gè)課時(shí)的復(fù)習(xí)課，以問題為驅(qū)動(dòng)，在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行變式，激發(fā)學(xué)生深入思考，促進(jìn)了學(xué)生思考的深度和廣度，使課堂成為安靜的“熱鬧”，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，有效地提高了復(fù)習(xí)課教學(xué)的有效性.