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北京市第十二中學(xué)高中部

1 試題

(2019年高考全國卷Ⅰ，文20)已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x，f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)證明：f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn)；

(2)若x∈[0,π]時(shí)，f(x)≥ax，求a的取值范圍.

試題以三角函數(shù)為背景，考查了正(余)弦函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)零點(diǎn)、含參數(shù)不等式恒成立以及導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生分析問題與解決問題的能力以及數(shù)形結(jié)合、設(shè)而不求等數(shù)學(xué)思想方法.試題與函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)等知識相融合，體現(xiàn)了在知識交匯處命題的特點(diǎn).試題解法多樣，為學(xué)生搭建了施展才能的舞臺，是一道好題.

2 解法探究

(2)解法1 (數(shù)形結(jié)合法)由(1)知，f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn)，設(shè)為x0，當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(x0,π)時(shí)，f′(x)<0，所以f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增，在(x0,π)上單調(diào)遞減.又f(0)=0，f(π)=0，所以當(dāng)x∈[0,π]時(shí)，f(x)≥0.畫出y=f(x)與y=ax在[0,π]上的圖象，如圖，由x∈[0,π]時(shí)，f(x)≥ax，知a≤0，故a的取值范圍是(-∞,0].

點(diǎn)評解法1先借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的性質(zhì)并畫出相應(yīng)的圖象，然后比較直線y=ax與f(x)圖象位置的情況，從而得出答案，體現(xiàn)了直觀性.在用圖象法解決含參數(shù)不等式恒成立問題時(shí)，除了研究函數(shù)的單調(diào)性以外，有時(shí)還需研究函數(shù)的凹凸性，這樣才會(huì)使圖象更加準(zhǔn)確.參數(shù)的邊界值通常是在直線與曲線相切或直線過曲線一個(gè)端點(diǎn)時(shí)得到.

點(diǎn)評解法2通過作差構(gòu)造了一個(gè)新函數(shù)g(x)=2sinx-xcosx-(a+1)x，接下來兩次求導(dǎo)并分類討論研究了函數(shù)g(x)的性質(zhì)，從而將問題解決.在對參數(shù)進(jìn)行討論時(shí)，應(yīng)劃分好標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏，最后還要對參數(shù)的范圍進(jìn)行整合，這樣才會(huì)使步驟規(guī)范，解答完整.

點(diǎn)評相比較于解法2，解法3簡潔了很多，這得益于先通過取特殊值x=π，根據(jù)f(π)≥aπ，得到了a≤0，這是參數(shù)a所滿足的一個(gè)必要條件，也就是說a>0時(shí)的情況肯定不滿足題意，從而縮小了討論的范圍.先必要后充分法是解決含參數(shù)不等式恒成立問題的一種方常用法，操作時(shí)，可嘗試從區(qū)間的端點(diǎn)入手，在確定了參數(shù)的范圍之后，再從充分性的角度進(jìn)行論證.

點(diǎn)評通過參變分離，避免了討論，使解答過程更有針對性，在解決這類問題時(shí)應(yīng)優(yōu)先考慮.

以上通過一道高考試題介紹了解決含參數(shù)不等式恒成立問題的常用策略，這類問題在高考中頻繁出現(xiàn)，成為了新的熱點(diǎn)，應(yīng)引起師生的高度重視.教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生比較各個(gè)方法的特點(diǎn)，及時(shí)歸納、梳理，總結(jié)規(guī)律，這樣才會(huì)融會(huì)貫通，真正提高解題效率.

有興趣的讀者可以嘗試用上述方法解答2017年高考全國卷Ⅱ文科第21題和2016年高考全國卷Ⅱ文科第21題.