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安徽省銅陵市第一中學(xué)

1 原題再現(xiàn)

(1)試題(2018山西省預(yù)賽第10題)

圖1

如圖1，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，自AD的中點(diǎn)M作MN⊥BC，ME⊥AB，MF⊥CD，N、E、F為垂足.

證明：MN過線段EF的中點(diǎn).

(2)參考解答

圖2

如圖2，在線段AB、CD上分別取點(diǎn)G、H，使AE=GE,DF=HF，則A、G、H、D四點(diǎn)共圓(以M為圓心)，所以∠BGH=∠ADC=180°-∠ABC，于是GH//BC，則MN⊥GH，設(shè)垂足為X，于是X為GH的中點(diǎn).這樣就有E、X、F、M為四邊形AGHD四條邊的中點(diǎn)，因此EXFM為平行四邊形，故其對(duì)角線相互平分，即MN過線段EF的中點(diǎn).

2 其它解法

思路1 證明交點(diǎn)即中點(diǎn)

圖3

如圖3，連接EF交MN于點(diǎn)K，證出EK=KF共線即可.

首先注意到E、B、N、M與A、B、C、D四點(diǎn)共圓，

所以∠EMN=180°-∠B=∠D.同理∠FMN=180°-∠C=∠A.

在這樣的思路指引下，可設(shè)計(jì)出如下解法.

解法一 (面積法)

解法二 (正弦定理)

在△EMK中，由正弦定理得

所以EK=KF.

解法三 (相似與全等)

圖4

如圖4，過點(diǎn)E、F作MN的垂線，垂足分別設(shè)為G、H.

在Rt△EGM和Rt△MFD中，由∠EMG=∠D，得

△EGM∽△MFD.

所以EG=FH.

從而△EGK≌△FHK，所以EK=KF.

思路2 證明中點(diǎn)即交點(diǎn)

圖5

如圖5，連接EF，取EF的中點(diǎn)K，下證M、K、N共線即可.

解法四 (向量法)

=0.

所以MK⊥BC.由于過一點(diǎn)有且僅有一條垂線，于是M、K、N共線.

解法五 (余弦定理)

圖6

如圖6，倍長MK至X，連接XE、XF，

于是四邊形XEMF為平行四邊形，且∠EMF=180°-∠AME-∠DMF=∠A+∠D.

在△XEM中，MX2=EM2+EX2-2EM·EX·cos∠MEX=sin2A+sin2D+2sinA·sinD·cos(A+D).

所以∠EMK=∠EMX=∠D=180°-∠B=∠EMN.于是M、K、N共線.

點(diǎn)評(píng)① 值得指出的是，兩種思路本質(zhì)區(qū)別是針對(duì)點(diǎn)K的生成方式不同，卻都能達(dá)到證明目標(biāo)；②由上可以看出，本題結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔，思路自然，解法多樣.同時(shí)作為一道預(yù)賽試題，能較好地檢測(cè)學(xué)生的能力水平，體現(xiàn)出深刻的思考價(jià)值.

3 相關(guān)探究

鑒于上述證法思路與具體過程，筆者對(duì)試題的原結(jié)構(gòu)中的一些條件強(qiáng)化或者弱化，可以得出類似的相關(guān)結(jié)論，具體如下.

圖7

命題1 如圖7，AD是圓的直徑，B、C是圓上的定點(diǎn).自圓心M作MN⊥BC，ME⊥AB，MF⊥CD，N、E、F為垂足.則MN過線段EF的中點(diǎn)K.

點(diǎn)評(píng)①容易發(fā)現(xiàn)E、N、F分別是弦AB、BC、CD的中點(diǎn)，從而四邊形MENF為平行四邊形，于是EF、MN互相平分，所以結(jié)論成立；②上結(jié)論實(shí)質(zhì)是原題的特殊狀態(tài)，同時(shí)也是參考答案證明方法的核心.

證明以點(diǎn)M為視點(diǎn)，注意到E、K、F三點(diǎn)共線.

注意到∠KMF=∠A,∠EMK=∠D，

點(diǎn)評(píng)上結(jié)論揭示了MK,AM長度與角度A+D正弦之間定量的關(guān)系，同時(shí)也與解法四中由余弦定理得到MX=

圖8

命題3 如圖8，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，自邊AD的一動(dòng)點(diǎn)M，作MN⊥BC，ME⊥AB，MF⊥CD，N、E、F為垂足，EF與MN交于點(diǎn)K.則

點(diǎn)評(píng)在原結(jié)構(gòu)中初步釋放點(diǎn)M的位置(仍在AD上)，其它條件不變，那么點(diǎn)K為EF中點(diǎn)結(jié)論改成點(diǎn)K分線段EF所成的比與點(diǎn)M分線段AD所成的比相等.

圖9

命題4 如圖9，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，自邊AD的一動(dòng)點(diǎn)M，作ME交AB于E，作MN交BC于M，作MF交CD于F，且∠MEB=∠MNC=∠MFD(注：這里的角為有向角，∠MEB表示EM旋轉(zhuǎn)至EB角的大小)，EF與MN交于點(diǎn)K.設(shè)△AME和△MFD的外接圓半徑分別為R1和R2.則

點(diǎn)評(píng)命題4表明了原構(gòu)型中過點(diǎn)M作垂線的條件可以弱化成兩組四點(diǎn)共圓而結(jié)論本質(zhì)不變.

圖10

命題5 如圖10，圓內(nèi)接△ABD中，自邊AD的一動(dòng)點(diǎn)M，作ME交AB于E，作MN交BC于M，作MF交BC于F，且∠MEB=∠MNC=∠MFD(注：此處為有向角)，EF與MN交于點(diǎn)K.設(shè)△AME和△MFD的外接圓半徑分別為R1和R2.則

點(diǎn)評(píng)命題4中，當(dāng)點(diǎn)B、C重合時(shí)，四邊形ABCD退化成△ABD，邊BC退化成切線BN，即可退化成命題5.

圖11

命題6 如圖11，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，自一動(dòng)點(diǎn)M，作ME交AB于E，作MN交BC于M，作MF交CD于F，且∠MEB=∠MNC=∠MFD(注：此處為有向角)，EF與MN交于點(diǎn)K，過M作AD平行線交直線AB、CD于A1、D1.設(shè)△A1ME和△MFD1的外接圓半徑分別為R1和R2.則

點(diǎn)評(píng)命題6中徹底釋放點(diǎn)M的位置(不一定在AD上)仍然有類似結(jié)論，證明可由A1、B1、C、D共圓再結(jié)合命題4立得.