楊志軍 劉征 丁洪偉

摘 要：在信息分組以連續(xù)時間規(guī)律到達系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，對于輪詢系統(tǒng)中不同優(yōu)先級的業(yè)務(wù)問題，提出區(qū)分優(yōu)先級的兩級輪詢服務(wù)模型。首先，在該模型中，低優(yōu)先級站點采用門限服務(wù)，高優(yōu)先級站點采用完全服務(wù);然后，在高優(yōu)先級轉(zhuǎn)低優(yōu)先級時，將傳輸服務(wù)與轉(zhuǎn)移查詢并行處理來降低服務(wù)器在查詢轉(zhuǎn)換期間所耗費的時間，提高輪詢系統(tǒng)的效率;最后，運用馬爾可夫鏈和概率母函數(shù)的方法建立了系統(tǒng)的數(shù)學模型，通過對數(shù)學模型精確解析，得到了連續(xù)時間兩級服務(wù)系統(tǒng)每個站點的平均排隊隊長和平均等待時間的表達式，精確解析出平均排隊隊長和平均等待時間的值。仿真實驗結(jié)果表明：理論計算值與實驗仿真值近似相等，說明理論分析正確合理。該模型既能保障低優(yōu)先級站點服務(wù)質(zhì)量，又能為高優(yōu)先級站點提供優(yōu)質(zhì)服務(wù)。

關(guān)鍵詞：輪詢系統(tǒng);優(yōu)先級;平均排隊隊長;平均等待時間;概率母函數(shù)

Abstract： For the fact that information groups arrive at the system in a continuous time， a two-level polling service model with different priorities was proposed for the business problems of different priorities in the polling system. Firstly， gated service was used in sites with low priority， and exhaustive service was used in sites with high priority. Then， when high priority turned into low priority， the transmission service and the transfer query were processed in parallel to reduce the time cost of server during query conversion， improving the efficiency of polling system. Finally， the mathematical model of system was established by using Markov chain and probabilistic parent function. By accurately analyzing the mathematical model， the expressions of average queue length and average waiting time of each station of continuous-time two-level service system were obtained. The simulation results show that the theoretical calculation value was approximately equal to the experimental simulation value， indicating that the theoretical analysis is correct and reasonable. The model provides high-quality services for high-priority sites while maintaining the quality of services in low-priority sites.

Key words： polling system; priority; average queue length; average waiting time; probabilistic parent function

0 引言

輪詢是一種資源調(diào)度控制的方法，通過這種方法可以實現(xiàn)資源的有效分配并實現(xiàn)資源共享[1-2]。根據(jù)到達系統(tǒng)的信息分組以離散時間或連續(xù)時間規(guī)律到達將輪詢服務(wù)系統(tǒng)分為離散時間輪詢系統(tǒng)和連續(xù)時間輪詢系統(tǒng)。按服務(wù)策略可以分為門限、完全和限定三種輪詢服務(wù)系統(tǒng)[3-4]，而隨著不斷的研究，在三種服務(wù)策略的基礎(chǔ)上區(qū)分優(yōu)先級的混合服務(wù)策略成為了人們研究的重點。在近幾年的研究中，提出了各種各樣的區(qū)分優(yōu)先級的混合服務(wù)策略。在這些策略中，輪詢系統(tǒng)既保證了隊列優(yōu)先級的需求，又避免空閑查詢時空閑造成的時間延遲，達到了提高系統(tǒng)利用率、減少時延的效果[5]。通過對區(qū)分優(yōu)先級的混合服務(wù)策略系統(tǒng)平均排隊隊長、循環(huán)周期和平均等待時間等特性的研究，驗證了區(qū)分優(yōu)先級帶來的性能提升。由于區(qū)分優(yōu)先級對系統(tǒng)性能上的提升，該類輪詢服務(wù)系統(tǒng)可以被廣泛應(yīng)用于各行各業(yè)中。在通信網(wǎng)絡(luò)中，可以用于藍牙技術(shù)和IEEE 802.11無線局域網(wǎng)的研究或是在Web服務(wù)器的路由器和I/O子系統(tǒng)中的調(diào)度策略[5-6];在訂單分揀中，優(yōu)先級輪詢控制系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)定性和高效率，確保了優(yōu)先訂單顧客得到更優(yōu)質(zhì)的服務(wù)以及每一個顧客享有的同等的公平性[7-8];在軍事領(lǐng)域中，可以更好地實現(xiàn)整個作戰(zhàn)范圍內(nèi)的戰(zhàn)場資源共享，最終實現(xiàn)戰(zhàn)場指揮、通信、控制、情報、信息以及綜合保障等功能的一體化[9-10]。

輪詢系統(tǒng)的三個基礎(chǔ)模型適用于不同的環(huán)境。完全服務(wù)是一種簡單、可靠、有效的服務(wù)策略，采用這種服務(wù)策略的系統(tǒng)平均排隊隊長和平均等待時延最短，非常適合于數(shù)據(jù)信息量少且高優(yōu)先級的站點;限定服務(wù)的服務(wù)規(guī)則是一個站點接受服務(wù)時，站點內(nèi)有且只有一個信息分組被服務(wù)，所以，當?shù)竭_普通站點的信息分組數(shù)較大時，采用限定服務(wù)的輪詢系統(tǒng)平均排隊隊長和信息分組平均等待時間會過長。當信息分組到達數(shù)較小時，就可以考慮采用限定服務(wù)。本文設(shè)定普通站點信息分組到達數(shù)較大時，采用門限服務(wù)，所以，本文針對連續(xù)時間的輪詢服務(wù)系統(tǒng)，提出區(qū)分優(yōu)先級的完全門限服務(wù)策略的兩級控制輪詢系統(tǒng)模型[11-13]。在該模型中，普通站點（N個）采取門限服務(wù)，中心站點（1個）采取完全服務(wù)，服務(wù)完一個普通站點就開始服務(wù)中心站點，當中心站點服務(wù)完時，又開始服務(wù)下一個普通站點。針對上述過程，本文首先通過馬爾可夫鏈和概率母函數(shù)建立其數(shù)學模型，再推出其一階特性量平均排隊隊長和循環(huán)查詢周期的精確表達式;然后對模型的二階特性量進行了分析，在此基礎(chǔ)上對平均等待時間進行了解析;最后，通過Matlab仿真對理論結(jié)果進行了驗證。

1 系統(tǒng)模型

連續(xù)時間兩級優(yōu)先級輪詢控制系統(tǒng)由一個服務(wù)器和N+1個站點組成。因為實際生活中，服務(wù)系統(tǒng)中往往會出現(xiàn)一個服務(wù)質(zhì)量要求較高的中心任務(wù)或核心任務(wù)，其他多個普通業(yè)務(wù)服務(wù)要求質(zhì)量較低，普通業(yè)務(wù)之間需要公平對待地實際需求，所以，本文中N個站點為普通站點采取門限服務(wù)策略，1個站點為中心站點采取完全服務(wù)策略。在服務(wù)過程中，服務(wù)器優(yōu)先對高優(yōu)先級的中心站點服務(wù)，當中心站點的所有數(shù)據(jù)信息量發(fā)送完時，服務(wù)器開始對i（i=1，2，…，N）站點普通站點服務(wù)，在該模型中，中心站點轉(zhuǎn)普通站點采用并行服務(wù)模式，所以當服務(wù)器從中心站點轉(zhuǎn)向普通站點時，就不需要一個查詢轉(zhuǎn)換時間，直接對普通站點進行服務(wù)。當普通站點i完成服務(wù)時，服務(wù)器經(jīng)歷一個查詢轉(zhuǎn)換時間再一次轉(zhuǎn)向中心站點對其服務(wù)，服務(wù)完成后，對i+1號普通站點服務(wù)，該模型查詢順序如圖1所示。

設(shè)定在tn時刻，服務(wù)器開始對普通站點i（i=1，2，…，N）進行服務(wù)，定義隨機變量ξi（n）是第i個站點中等待發(fā)送的數(shù)據(jù)信息量，h表示中心站點，定義h上的數(shù)據(jù)信息量為ξh（n），所以，在tn時刻，整個系統(tǒng)狀態(tài)隨機變量為{ξ1（n），ξ2（n），…，ξN（n），ξh（n）};設(shè)定tn*時刻，服務(wù)器從站點i轉(zhuǎn)向中心站點h服務(wù)，定義系統(tǒng)狀態(tài)隨機變量為{ξ1（n*），ξ2（n*），…，ξN（n*），ξh（n*）};設(shè)tn+1時刻，普通站點i+1開始接受服務(wù)，定義系統(tǒng)狀態(tài)變量為{ξ1（n+1），ξ2（n+1），…，ξN（n+1），ξh（n+1）}。

系統(tǒng)的狀態(tài)可以用馬爾可夫鏈來描述，該馬爾可夫鏈是非周期的和各態(tài)歷經(jīng)的。

1.1 系統(tǒng)工作條件

根據(jù)輪詢系統(tǒng)基本模型所示，同時結(jié)合其控制機制和特點，對系統(tǒng)工作條件作如下設(shè)定：

1）進入各個站點內(nèi)等待發(fā)送的數(shù)據(jù)信息量的到達過程是相互獨立的Poisson分布，到達率是λ;

2）任何一個站點發(fā)送信息分組的時間變量服從于相互獨立的、同分布的概率分布，其變量的拉普拉斯變換（Laplace Transform， LST縮寫詞中的S，對應(yīng)英文全稱中的哪個單詞？英文全稱正確嗎？請明確?；貜?fù)：正確，其英文全稱及縮寫是參考大學已學的《信號與系統(tǒng)》這本書以及多篇畢業(yè)論文寫的，按照我的理解是LST的意思是拉普拉斯S變換，因為在拉普拉斯變換中是將時域t轉(zhuǎn)換為S域，即將t轉(zhuǎn)換為s。）為（s），均值為β=-′（0），二階原點距為υβ=″（0）;

3）任何兩個相鄰站點之間的查詢轉(zhuǎn)換時間變量服從于相互獨立的、同分布的概率分布，其變量的拉普拉斯變換為（s），均值為γ=-′（0），二階原點距為υγ=″（0）;

4）中心站點對在任一時隙內(nèi)到達的數(shù)據(jù)信息量進行完全服務(wù)所需時間的隨機變量服從于一個相互獨立、同分布的概率分布，其分布的概率母函數(shù)為H（z）;

5）設(shè)定服務(wù)系統(tǒng)中任何一個隊列的緩存容量足夠大，不存在數(shù)據(jù)信息量丟失的情況發(fā)生;

6）每一個加入進隊列的數(shù)據(jù)信息量，將會按照先到先服務(wù)（First Come First Served， FCFS）的方法接受服務(wù)。

定義隨機變量如下：

ui（n）表示服務(wù)器從普通站點i查詢轉(zhuǎn)換到中心站點h所耗費的時間;vi（n）表示普通站點i向服務(wù)器發(fā)送數(shù)據(jù)信息量所耗費的時間;vh（n*）表示中心站點h向服務(wù)器發(fā)送數(shù)據(jù)信息量所耗費的時間; μj（ui）表示在ui（n）時間內(nèi)進入第j（j=1，2，…，N，h）個站點的數(shù)據(jù)信息量;ηj（vi）表示在vi（n）時間內(nèi)進入第j（j=1，2，…，N，h）個站點的數(shù)據(jù)信息量;ηj（vh）表示在vh（n*）時間內(nèi)進入第j（j=1，2，…，N，h）個站點的數(shù)據(jù)信息量。

1.2 概率母函數(shù)

為構(gòu)建該模型系統(tǒng)的數(shù)學模型，本文引入了概率母函數(shù)。上述馬爾可夫鏈在∑Ni=1λi βi+λh βh=∑Ni=1ρi+ρh<1的條件下達到平穩(wěn)狀態(tài)[14]，在平穩(wěn)狀態(tài)下的概率母函數(shù)為：

對連續(xù)時間型系統(tǒng)進行分析時，需要對系統(tǒng)關(guān)鍵參數(shù)進行拉普拉斯變換。函數(shù)的拉普拉斯變換定義為：

對于以參數(shù)λ到達的泊松過程，時間t內(nèi)到達的顧客數(shù)對應(yīng)的概率母函數(shù)為：

在tn*時刻，服務(wù)器開始對中心站點h服務(wù)時，系統(tǒng)狀態(tài)變量的概率母函數(shù)為：

在tn+1時刻，服務(wù)器開始對i+1號普通站點服務(wù)時，系統(tǒng)狀態(tài)變量的概率母函數(shù)為：

2 輪詢系統(tǒng)的一階和二階特性

2.1 平均排隊隊長

定義在tn時刻第i號站點開始傳輸服務(wù)時，第j號站點中平均存儲的數(shù)據(jù)息量為i（j），則：

根據(jù)式（4）～（6）得到i號普通站點的平均排隊隊長的表達式為：

同理可得，中心站點h的平均排隊隊長的表達式為：

ih（h）表示服務(wù)器在服務(wù)完普通站點i，轉(zhuǎn)到中心站點h后，這段時間內(nèi)進入中心站點h的所有數(shù)據(jù)信息量的平均排隊隊長。

2.2 循環(huán)查詢周期

輪詢系統(tǒng)的循環(huán)周期為該系統(tǒng)內(nèi)所有隊列根據(jù)服務(wù)規(guī)則進行一次服務(wù)所花費時間的統(tǒng)計平均值，即服務(wù)器相鄰兩次開始服務(wù)同一隊列的時間差，所以，連續(xù)兩級輪詢系統(tǒng)的循環(huán)周期為：

2.4 平均等待時間

數(shù)據(jù)信息量的等待時間是指一個數(shù)據(jù)信息量從進入一個站點到其被服務(wù)器服務(wù)的等待時間，系統(tǒng)的平均等待時間是指進入一個站點的所有數(shù)據(jù)信息量等待的平均時間。本文中E（WGi）和E（WGh）分別代表普通站點與中心站點的平均等待時間，根據(jù)參考文獻[15-16]可得其平均等待時間為：

3 仿真實驗及性能分析

3.1 實驗仿真

本文實驗通過Matlab仿真上述建立的連續(xù)兩級輪詢系統(tǒng)服務(wù)模型。在模型仿真過程中，需要滿足以下條件[14，17]：

1）各站點的參數(shù)變量都應(yīng)當服從相同的分布，普通站點之間的到達率相同但與中心站點的到達率不同;

2）任一時隙內(nèi)進入各站點的數(shù)據(jù)信息量都滿足泊松分布;

3）輪詢系統(tǒng)滿足∑Ni=1λi βi+λh βh=∑Ni=1ρi+ρh=Nρ+ρh<1穩(wěn)態(tài)條件。

在仿真實驗中，算法的復(fù)雜度為常數(shù)，算法時間效率高，所以，為了確保實驗值的準確性，每次仿真實驗的系統(tǒng)循環(huán)次數(shù)為30萬。

在仿真實驗中，首先驗證了理論值的準確性，分別對8個、10個普通站點的系統(tǒng)模型進行了仿真，仿真結(jié)果與理論值的對比結(jié)果在表1中;其次通過改變系統(tǒng)中的總負載，觀察分析了平均排隊隊長和平均等待時間的變化規(guī)律，如圖2～3所示;最后，通過實驗仿真，分析了中心站點對普通站點的影響，如圖4～5所示。

站點數(shù)站點到達率服務(wù)率轉(zhuǎn)換率到達率、服務(wù)率、轉(zhuǎn)換率的單位是否應(yīng)該是百分數(shù)？即在后面加上“/%”？還是“服務(wù)率、轉(zhuǎn)換率”的后面加上/%，因為到達率的單位已經(jīng)是小數(shù)了。注：如服務(wù)率寫為服務(wù)率/%，其下的數(shù)字2，即表示2%。而到達率后面加上/%，其中的數(shù)字0.0015，即表示0.0015%。請務(wù)必清晰表達。

回復(fù)：到達率、服務(wù)率、轉(zhuǎn)換率均表示均值，到達率表示一個時隙內(nèi)到達每個站點的平均信息分組數(shù)，服務(wù)率表示服務(wù)一個信息分組數(shù)的平均時間，轉(zhuǎn)換率表示服務(wù)器從一個站點轉(zhuǎn)向另一個站點所要的平均時間。所以，在這里率僅表示均值的意思無百分率的含義在里面。

回復(fù)：因為問題簡單，我這里可以簡單說明一下。這個問題是關(guān)于到達率、服務(wù)率和轉(zhuǎn)換率的單位是否為百分數(shù)？其實，在這里這三個參數(shù)均表示各自代表的均值，其單位不能是百分數(shù)。至于這里的“率”是代表一種均值。比如到達率是指一個時隙內(nèi)到達每個站點的平均信息分組數(shù)，其單位不含有百分數(shù)的意思。

3.2 性能分析

1）在表1中，本文通過設(shè)定普通站點數(shù)8、10，分別對這兩種情況作了仿真實驗，從表中數(shù)據(jù)可以看出，系統(tǒng)的平均排隊隊長和平均等待時間的實驗值與理論值差距極小，驗證了系統(tǒng)理論分析的正確性。

2）在圖2～3中，本文通過改變系統(tǒng)總負載，得到了普通站點和中心站點的平均排隊隊長和平均等待時間的變化曲線。從圖中曲線可以看出，兩類站點的平均排隊隊長和平均等待時間在總負載低的條件下，變化平緩，隨著總負載的增大，在總負載達到一定值后，總負載的極小變化也能對平均排隊隊長和平均等待時間造成很大的影響。

3）在圖4～5中，本文通過一級門限服務(wù)系統(tǒng)和連續(xù)兩級系統(tǒng)的對比，觀察了中心站點對普通站點的影響。為了客觀的分析，在該實驗中，設(shè)定一級門限服務(wù)的站點到達率、服務(wù)時間和轉(zhuǎn)換時間與兩級連續(xù)系統(tǒng)的普通站點到達率、服務(wù)時間和轉(zhuǎn)換時間相等，中心站點的到達率為普通站點的十分之一。由圖可以看出，當中心站點的到達率遠小于普通站點時，普通站點的平均排隊隊長和平均等待時間變化不大。

4）從表1、圖2～5可以看出，中心站點的平均排隊隊長與平均等待時間都遠遠小于普通站點，這說明了系統(tǒng)優(yōu)先級站點與低優(yōu)先級站點的區(qū)分度還是比較高的，達到了高優(yōu)先級站點快速、高效地接受服務(wù)，低優(yōu)先級站點之間可以公平接受服務(wù)的目的。

4 結(jié)語

本文采取了一種連續(xù)時間完全服務(wù)與門限服務(wù)的輪詢系統(tǒng)，即在低優(yōu)先級的普通站點采取門限服務(wù)，在高優(yōu)先級的中心站點采取完全服務(wù)?；谇度胧今R爾可夫鏈與概率母函數(shù)得到了系統(tǒng)的精確數(shù)學解析，通過實驗仿真驗證了理論分析的正確性。在理論分析正確的基礎(chǔ)上，又通過實驗仿真，分析了總負載對系統(tǒng)的影響以及中心站點對普通站點的影響。通過分析，本文得出在總負載低時，系統(tǒng)的平均排隊隊長和平均等待時間變化緩慢，在總負載到達一定值時，系統(tǒng)的性能將大幅下降，每個站點等候的數(shù)據(jù)信息量與每個數(shù)據(jù)信息量等候服務(wù)的時間都將大幅增加;而通過一級門限服務(wù)系統(tǒng)與該系統(tǒng)比較，可以看出在中心站點的到達率較低時，中心站點對普通站點的影響很小，這說明了該連續(xù)時間兩級輪詢控制系統(tǒng)的優(yōu)越性，在基本不犧牲低優(yōu)先級普通站點的性能條件下，為高優(yōu)先級中心站點提供優(yōu)質(zhì)的服務(wù)。

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