劉文濤，張德富，程宏杰，王曉光

（中國石油新疆油田公司勘探開發(fā)研究院，新疆克拉瑪依834000）

試井分析作為油氣藏動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)和地層參數(shù)求取的重要手段，國內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)存在非牛頓流體條件下的試井解釋模型已經(jīng)有了一定的研究。關(guān)于非牛頓冪律流體的研究，國外學(xué)者IKOKU和RAMEY[1-2]研究了多孔介質(zhì)中非牛頓冪律流體不穩(wěn)定滲流特征，建立并求得了考慮井儲(chǔ)和表皮效應(yīng)的試井解釋數(shù)學(xué)模型拉氏空間解；我國學(xué)者欒志安[3]建立了雙重介質(zhì)非牛頓流體的試井解釋模型并求得了拉氏空間解析解；對(duì)于復(fù)合油藏試井解釋模型的研究，我國學(xué)者宋考平、劉彬、程時(shí)清、朱常玉、徐有杰等[4-11]對(duì)于不同的注采方式分別建立了非牛頓流體—牛頓流體雙區(qū)復(fù)合、多區(qū)復(fù)合、牛頓流體—非牛頓雙區(qū)流體復(fù)合以及非牛頓流體—牛頓流體—牛頓流體三區(qū)復(fù)合試井解釋數(shù)學(xué)模型并求得了拉氏空間解析解。這些模型的建立為聚合物驅(qū)油試井資料的解釋打下了很好的基礎(chǔ)。

聚合物驅(qū)作為油氣藏提高采收率的重要手段，隨著三次采油技術(shù)的不斷進(jìn)步，在三次采油中發(fā)揮著極其重要的作用。注聚合物驅(qū)油時(shí)，通常采用前緣水驅(qū)—聚驅(qū)—后續(xù)水驅(qū)的注入方式。聚合物被視為非牛頓冪律流體，聚合物沒有驅(qū)替到的區(qū)域被視為牛頓流體，從而形成了一個(gè)由牛頓流體—非牛頓流體—牛頓流體構(gòu)成的三區(qū)復(fù)合油藏模型。

基于之前的研究，建立了由牛頓流體—非牛頓冪律流體—牛頓流體構(gòu)成的三區(qū)復(fù)合油藏試井解釋數(shù)學(xué)模型，通過拉普拉斯變換求出了模型在拉普拉斯空間的解析解，利用Stefest數(shù)值反演算法[12]做出無因次壓力、無因次壓力導(dǎo)數(shù)與無因次時(shí)間的雙對(duì)數(shù)理論圖版并進(jìn)行了響應(yīng)的影響因素分析。

1 數(shù)學(xué)模型的建立與求解

1.1 數(shù)學(xué)模型的建立

當(dāng)以注入井為中心，進(jìn)行前緣水驅(qū)—聚驅(qū)—后續(xù)水驅(qū)（圖1）的注入方式時(shí)，根據(jù)IKOKU的研究，在聚合物溶液注入的區(qū)域，地層流體可視為非牛頓冪律流體，前緣水驅(qū)和后續(xù)水驅(qū)地層流體可視為牛頓流體，形成由牛頓流體—非牛頓流體—牛頓流體組成的三區(qū)復(fù)合油藏試井解釋模型（圖1）。其他假設(shè)條件如下：

1）油層為水平、均質(zhì)、等厚的無限大地層，流動(dòng)呈層流。

2）各區(qū)內(nèi)流體均為單相微可壓縮的液體，忽略重力和毛管力的影響。

3）各區(qū)內(nèi)流體均符合達(dá)西平面徑向滲流規(guī)律，等溫滲流。

4）考慮井筒儲(chǔ)存效應(yīng)和表皮效應(yīng)的影響。

5）兩相鄰滲流區(qū)域界面不存在附加壓力降，不考慮相間的吸附效應(yīng)。

圖1 三區(qū)復(fù)合油藏示意圖Fig.1 Composite reservoir with three parts

6）非牛頓流體黏度服從Ostwald-De Waele[13]冪律流體模型。根據(jù)文獻(xiàn)[13]可得：

基于上述假設(shè)條件，建立考慮井筒儲(chǔ)存效應(yīng)和表皮效應(yīng)影響的牛頓流體—非牛頓冪律流體—牛頓流體三區(qū)復(fù)合油藏試井解釋數(shù)學(xué)模型如下：

無限大外邊界：

式中：

無因次變量定義：

1.2 試井?dāng)?shù)學(xué)模型求解

對(duì)式（2）進(jìn)行拉普拉斯變換得到3個(gè)區(qū)域微分方程的通解分別為：

式中：

對(duì)于無限大邊界，根據(jù)貝塞爾函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)得：C1=0。

分別將式（4）—（6）代入式（2）的邊界條件求得無因次井底壓力為：

式中：

2 典型曲線特征及影響因素分析

利用Stehfest數(shù)值反演算法對(duì)式（7）進(jìn)行反演，可得到無限大外邊界條件下無因次壓力與壓力導(dǎo)數(shù)關(guān)于無因次時(shí)間的典型曲線。

圖2是聚合物驅(qū)牛頓—非牛頓—牛頓三區(qū)復(fù)合油藏試井模型典型曲線。根據(jù)導(dǎo)數(shù)曲線特征，可劃分為7個(gè)階段：第一階段為井筒儲(chǔ)集效應(yīng)階段，無因次壓力及導(dǎo)數(shù)曲線重合，呈一條斜率為1的直線；第三階段為內(nèi)區(qū)徑向流階段，描述內(nèi)區(qū)牛頓流體的滲流特征，導(dǎo)數(shù)曲線呈值為0.5的水平直線；第五階段為聚合物區(qū)徑向流階段，描述聚合物區(qū)非牛頓冪律流體的滲流特征，導(dǎo)數(shù)曲線呈現(xiàn)（1-n）/（3-n）斜率的直線，冪律指數(shù)越小，曲線越陡；第七階段為外區(qū)徑向流階段，導(dǎo)數(shù)曲線呈一條水平直線，水平直線的值為M13/2；第二、四、六階段為過渡段。

圖2 聚合物驅(qū)牛頓—非牛頓—牛頓三區(qū)復(fù)合油藏試井模型典型曲線Fig.2 Typical curves of well test model of three parts composite reservoirs with Newtonian/non-Newtonian/Newtonian for polymer flooding

圖3 冪律指數(shù)對(duì)井底壓力動(dòng)態(tài)的影響關(guān)系曲線Fig.3 Relation curves of influence of power-law index on dynamic of bottom-hole pressure

圖3為冪律指數(shù)n對(duì)井底壓力動(dòng)態(tài)的影響關(guān)系曲線。由于聚合物區(qū)為聚合物溶液，冪律指數(shù)的變化主要影響聚合物區(qū)徑向流階段的壓力導(dǎo)數(shù)曲線特征，冪律指數(shù)n越小，聚合物區(qū)徑向流階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線越陡。也就是說，冪律指數(shù)n越小，流體流動(dòng)越困難，壓力波在聚合物區(qū)的傳播越慢；如果冪律指數(shù)n為0，則流體不流動(dòng)，相當(dāng)于存在封閉外邊界的情形，導(dǎo)數(shù)曲線呈斜率為1的上翹直線，表現(xiàn)為封閉邊界的特征。

圖4為內(nèi)區(qū)半徑rD1對(duì)井底壓力動(dòng)態(tài)的影響關(guān)系曲線。內(nèi)區(qū)半徑的變化主要影響流體在內(nèi)區(qū)和聚合物區(qū)地層內(nèi)流動(dòng)的持續(xù)時(shí)間。內(nèi)區(qū)半徑rD1越小，相對(duì)來說聚合物區(qū)范圍則越大；壓力波在內(nèi)區(qū)流動(dòng)持續(xù)的時(shí)間越短，在聚合物區(qū)流動(dòng)持續(xù)的時(shí)間越長。在無因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線上主要表現(xiàn)為內(nèi)區(qū)徑向流階段結(jié)束時(shí)間越早，導(dǎo)數(shù)曲線0.5水平線越短；聚合物區(qū)徑向流開始時(shí)間越早，導(dǎo)數(shù)曲線呈（1-n）/（3-n）斜率的直線段則越長。

圖4 內(nèi)區(qū)半徑對(duì)井底壓力動(dòng)態(tài)的影響關(guān)系曲線Fig.4 Relation curves of influence of radius of inner part on dynamic of bottom-hole pressure

圖6 內(nèi)區(qū)與外區(qū)流度比對(duì)井底壓力動(dòng)態(tài)的影響關(guān)系曲線Fig.6 Relation curves of influence of mobility ratio of inner and outer part on dynamic of bottom-hole pressure

圖5 聚合物區(qū)半徑rD2對(duì)井底壓力動(dòng)態(tài)的影響關(guān)系曲線Fig.5 Relation curves of influence of radius（rD2）of polymer part on dynamic of bottom-hole pressure

圖7 內(nèi)區(qū)與聚合物區(qū)界面流度比對(duì)井底壓力動(dòng)態(tài)影響關(guān)系曲線Fig.7 Relation curves of influence of mobility ratio of inner part and polymer part on dynamic of bottom-hole pressure

圖5為聚合物區(qū)半徑rD2對(duì)井底壓力動(dòng)態(tài)的影響關(guān)系曲線。聚合物區(qū)半徑的變化主要影響流體在聚合物區(qū)和外區(qū)地層內(nèi)流動(dòng)的持續(xù)時(shí)間。聚合物區(qū)半徑rD2越大，壓力波在聚合物區(qū)流動(dòng)的范圍越大、流動(dòng)持續(xù)的時(shí)間越長。在無因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線上主要表現(xiàn)為聚合物區(qū)徑向流階段結(jié)束時(shí)間越晚，導(dǎo)數(shù)曲線呈（1-n）/（3-n）斜率的直線段越長；外區(qū)徑向流階段開始時(shí)間越晚。

圖6為內(nèi)區(qū)與外區(qū)流度比M13對(duì)井底壓力動(dòng)態(tài)的影響關(guān)系曲線。由于內(nèi)區(qū)和外區(qū)都是牛頓流體，所以內(nèi)區(qū)與外區(qū)流度比的變化主要影響外區(qū)徑向流階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線位置的高低。內(nèi)區(qū)與外區(qū)流度比M13越大，外區(qū)流體的流動(dòng)能力越差，外區(qū)徑向流階段無因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線水平段位置越高，其值為M13/2；反之亦然。

圖7為內(nèi)區(qū)與聚合物區(qū)界面流度比M12對(duì)井底壓力動(dòng)態(tài)的影響關(guān)系曲線。由于內(nèi)區(qū)是牛頓流體而聚合物區(qū)是非牛頓流體，所以在冪律流體的冪律指數(shù)一定的情況下，內(nèi)區(qū)與聚合物區(qū)界面流度比的變化主要影響聚合物區(qū)徑向流階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線位置的高低，而不影響外區(qū)壓力導(dǎo)數(shù)曲線位置的變化。內(nèi)區(qū)與聚合物區(qū)界面流度比M12越大，聚合物區(qū)徑向流階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線位置越高，反之亦然。

3 結(jié)論

1）建立并求解了適用于聚合物驅(qū)油藏的牛頓流體—非牛頓流體—牛頓流體三區(qū)復(fù)合油藏試井解釋模型，根據(jù)導(dǎo)數(shù)曲線特征可識(shí)別出四個(gè)典型的流動(dòng)階段：純井筒儲(chǔ)集效應(yīng)階段、內(nèi)區(qū)牛頓流體徑向流階段、聚合物區(qū)冪律流體徑向流階段、外區(qū)牛頓流體徑向流階段。

2）在聚合物區(qū)冪律流體徑向流階段，壓力導(dǎo)數(shù)雙對(duì)數(shù)曲線呈（1-n）/（3-n）斜率的直線，冪律指數(shù)越小，導(dǎo)數(shù)曲線斜率越大。在外區(qū)牛頓流體徑向流階段，壓力導(dǎo)數(shù)雙對(duì)數(shù)曲線呈值為0.5M13的水平直線，M13越大，導(dǎo)數(shù)曲線位置越高。

3）內(nèi)區(qū)和聚合物區(qū)半徑主要影響其徑向流階段持續(xù)的時(shí)間：內(nèi)區(qū)半徑越小，內(nèi)區(qū)徑向流階段結(jié)束時(shí)間越早，導(dǎo)數(shù)曲線0.5水平線越短；聚合物區(qū)半徑越大，聚合物區(qū)徑向流階段結(jié)束時(shí)間越晚，導(dǎo)數(shù)曲線呈（1-n）/（3-n）斜率的直線段越長。

符號(hào)說明

B為地層原油體積系數(shù)，m3/（標(biāo)）m3；C為井儲(chǔ)系數(shù)，m3/MPa；Q為地面儲(chǔ)量，m3/d；h為儲(chǔ)層厚度，m；S為表皮系數(shù)，無因次；t為生產(chǎn)時(shí)間，h；rw為井筒半徑，m；r為儲(chǔ)層某處到井筒中心線的距離，m；ri為內(nèi)區(qū)、聚合物區(qū)半徑，m，（i=1，2）；n為冪律指數(shù)，無因次；pe為原始地層壓力，MPa；pw為井底壓力，MPa；Ki為內(nèi)區(qū)、聚合物區(qū)和外區(qū)滲透率，μm2；Cti為內(nèi)區(qū)、聚合物區(qū)和外區(qū)壓縮系數(shù)，MPa-1；Pi為內(nèi)區(qū)、聚合物區(qū)和外區(qū)壓力，MPa-1；?i為內(nèi)區(qū)、聚合物區(qū)和外區(qū)壓力，無因次；μi為內(nèi)區(qū)、聚合物區(qū)和外區(qū)流體黏度，mPa·s；μ*為冪律流體表觀黏度，mPa·s；rwD為無因次井筒半徑；CD為無因次井儲(chǔ)系數(shù)；tD為無因次時(shí)間；pwD為無因次井底壓力；piD為內(nèi)區(qū)、聚合物區(qū)和外區(qū)無因次壓力，（i=1，2，3）；riD為內(nèi)區(qū)、聚合物區(qū)無因次半徑，（i=1，2）；Kv（x），Iv（x）分別為v階的第二類和第一類修正貝塞爾函數(shù)；I（0x），I（1x）分別為零階和一階的第一類修正貝塞爾函數(shù)；K0（x）、K（1x）分別為零階和一階的第二類修正貝塞爾函數(shù)；下標(biāo)D表示無因次為進(jìn)行拉普拉斯變換后的無因次井底壓力為進(jìn)行拉普拉斯變換后的無因次壓力，當(dāng)r=rw時(shí)，；PD為無因次壓力，當(dāng)r=rw時(shí)，PD=PwD；A為公式推導(dǎo)時(shí)的中間變量。