不確定混沌系統(tǒng)的濾波反演自適應(yīng)滑?？刂?/h1>
2019-09-03 11:42:28崔明月劉紅釗趙金姬屈重年
實(shí)驗(yàn)室研究與探索 2019年8期
崔明月， 劉紅釗， 趙金姬， 屈重年， 劉 偉
(南陽師范學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院， 河南 南陽 473061)
0 引 言
混沌系統(tǒng)作為一種典型的非線性系統(tǒng)，在信息處理、通信保密等方面得到廣泛應(yīng)用。混沌系統(tǒng)的控制問題已經(jīng)成為研究的熱點(diǎn)，許多控制方法被研究人員提出，如反演控制[1]、自適應(yīng)控制[2]、最優(yōu)控制[3]等。在眾多混沌控制中，跟蹤控制就是通過對混沌系統(tǒng)施加控制力，使其輸出響應(yīng)跟蹤任意給定的參考信號(hào)[4]。
上述混沌系統(tǒng)控制方法大都要求建立被控對象準(zhǔn)確數(shù)學(xué)模型，在工程實(shí)際中往往不易實(shí)現(xiàn)。因此，當(dāng)系統(tǒng)中存在參數(shù)變化或不確定因素時(shí)，系統(tǒng)的魯棒性就會(huì)降低，動(dòng)態(tài)性能也會(huì)變差?；诖?，一些研究者提出了具有較強(qiáng)魯棒性與自適應(yīng)性的混沌控制方法，如：線性反饋控制[5]、基于Laypunov理論的指數(shù)控制法[6]、自適應(yīng)模糊控制[7]、滑模變結(jié)構(gòu)控制[8]等。其中，滑?？刂?Sliding Mode Control, SMC)因其對系統(tǒng)參數(shù)變化及擾動(dòng)不靈敏、無需系統(tǒng)在線辨識(shí)等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)控制中，但對于常規(guī)滑模變結(jié)構(gòu)控制，高的切換增益以及符號(hào)函數(shù)的存在是抖振現(xiàn)象產(chǎn)生的根源，從而影響了其在工程實(shí)際的應(yīng)用[8]。為削減抖振現(xiàn)象，對傳統(tǒng)滑?？刂铺岢隽嗽S多改進(jìn)措施，如：基于濾波器的滑?？刂?、動(dòng)態(tài)滑模控制、基于觀測器的滑?？刂?、基于模糊邏輯的滑模控制等[8]。盡管這些控制方法能夠在一定程度上降低滑模控制信號(hào)的抖振，改善系統(tǒng)的控制性能，但要求系統(tǒng)具有完全能測量的狀態(tài)，否則上述控制方法將失效[9]。擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(Extended State Observer, ESO)被廣泛用于系統(tǒng)的未知狀態(tài)和不確定項(xiàng)的估計(jì)[10]。ESO幾乎不依賴于系統(tǒng)模型，且具有很強(qiáng)的抗干擾能力，因此廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)控制領(lǐng)域[11-12]。但是，當(dāng)系統(tǒng)的模型階數(shù)與非線性程度較高時(shí)，上述控制方法往往不易實(shí)現(xiàn)。而Backstepping設(shè)計(jì)方法能夠?qū)?fù)雜高階的非線性系統(tǒng)分解成多個(gè)低階子系統(tǒng)，通過選擇合適的Lyapunov函數(shù)逐步推導(dǎo)出最終的控制律，從而實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)的有效控制[13]。
針對狀態(tài)不可測的不確定混沌系統(tǒng)，本文提出基于ESO的Backstepping自適應(yīng)滑?？刂品椒āＴ摲椒ㄟ\(yùn)用線性ESO對混沌系統(tǒng)的狀態(tài)與總的不確定性進(jìn)行估計(jì)，然后基于Backstepping策略設(shè)計(jì)滑模控制器，同時(shí)基于Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)滑?？刂坡膳c切換增益的自適應(yīng)更新律。通過一個(gè)濾波器獲得虛擬控制量的導(dǎo)數(shù)，避免微分項(xiàng)述的膨脹，大大簡化控制器的設(shè)計(jì)過程。
1 問題描述
考慮如下不確定非線性混沌系統(tǒng)：
(1)
假設(shè)狀態(tài)x1,x2,x3不能直接測量但可觀測，非線性函數(shù)f1(x1,x2,x3)，f2(x1,x2,x3)，f3(x1,x2,x3)未知可微，對狀態(tài)x1,x2,x3各階偏導(dǎo)存在且連續(xù)。
混沌系統(tǒng)具有較強(qiáng)的非線性，對初值非常敏感，且系統(tǒng)的狀態(tài)不易獲得，許多常規(guī)的控制策略已不能滿足控制效果。本文的目的在于針對狀態(tài)不可測的不確定混沌系統(tǒng)(1)設(shè)計(jì)一個(gè)ESO與自適應(yīng)滑?？刂破鳎瑢?shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)狀態(tài)x1的穩(wěn)定跟蹤控制。
2 控制器設(shè)計(jì)
2.1 模型變換
由于未知函數(shù)f1(x1,x2,x3)對x1,x2,x3的各階偏導(dǎo)連續(xù)可微，故可構(gòu)造函數(shù)：
(2)
設(shè)計(jì)如下坐標(biāo)變換:
(3)
由前面假設(shè)可知，未知函數(shù)g(x1,x2,x3)對狀態(tài)x1,x2,x3連續(xù)可微，故可將式(1)變換為如下嚴(yán)格參數(shù)反饋系統(tǒng):
(4)
為了對混沌系統(tǒng)進(jìn)行控制，將控制輸入u加入系統(tǒng)，同時(shí)考慮系統(tǒng)的外部擾動(dòng)，系統(tǒng)(4)可寫為
(5)
式中：u為控制輸入；b為控制輸入增益；
d(t)為系統(tǒng)未知的外部擾動(dòng)。為了便于設(shè)計(jì)觀測器與控制器，將式(5)寫為如下等效形式:
(6)
式中：
w(x1,x2,x3)=f(x1,x2,x3)+d(t)
為混沌系統(tǒng)總的不確定性。
2.2 不確定性的估計(jì)
ESO是一種新型的非線性觀測器，可以對系統(tǒng)的狀態(tài)與未知的擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)[14]。針對式(6)設(shè)計(jì)如下的4階線性ESO：
(7)
(8)
定義觀測誤差向量
(9)
則, 式(8)可寫為
(10)
式中：矩陣
(11)
矩陣A的特征多項(xiàng)式為
|sI-A|=s4+β1s3+β2s2+β3s+β4
(12)
由Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)可知，若式(8)中的系數(shù)βi(i=1,2,3,4)滿足如下條件:
(13)
則觀測誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(8)漸近穩(wěn)定, 即ESO觀測誤差eo收斂至0向量。
2.3 ESO增益的確定
ESO屬于高增益觀測器，觀測器增益βi>0,i=1,2,3,4對ESO至關(guān)重要，影響著觀測器的收斂速度。運(yùn)用帶寬的概念來確定ESO的增益βi>0,i=1,2,3,4。ESO的期望特征多項(xiàng)式為
λ0(s)=(s+ω0)4=
(14)
式中：ω0為觀測器的帶寬。
比較式(12)與(14)可得：
(15)
2.4 自適應(yīng)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
在對系統(tǒng)(6)的狀態(tài)與不確定部分進(jìn)行估計(jì)的基礎(chǔ)上，規(guī)定控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)自適應(yīng)控制律u，使系統(tǒng)輸出y=x1漸進(jìn)跟蹤一個(gè)有界參考信號(hào)yr,即
(16)
下面基于反演策略設(shè)計(jì)不確定混沌系統(tǒng)(6)的滑模跟蹤控制器。
步驟1定義跟蹤誤差e1=y-yr=y1-yr，假設(shè)參考信號(hào)yr充分光滑，由式(6)可知:
(17)
定義Lyapunov函數(shù)
(18)
則其沿式(17)的導(dǎo)數(shù)為
(19)
(20)
步驟2定義虛擬誤差
e2=y2-α1
(21)
則
(22)
由式(17)、(20)、(22)可得:
(23)
由式(22)、(23)可得：
(24)
考慮誤差動(dòng)態(tài)方程(22)與(23)，將y3暫時(shí)作為“控制變量”實(shí)現(xiàn)此兩式的鎮(zhèn)定，定義Lyapunov函數(shù)
(25)
則V2沿式(23)和(24)軌跡的導(dǎo)數(shù)為
(26)
(27)
步驟3定義虛擬誤差
e3=y3-α2
(28)
則e3對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為
(29)
由式(27)、(28)可得：
(30)
將式(30)代入式(24), 得:
(31)
將式(23)與(31)代入(29)得：
(32)
式中,
λ3=k1+k2
定義切換函數(shù)
s=c1e1+c2e2+e3
(33)
式中：c1與c2為正的常數(shù)。則s對時(shí)間t求導(dǎo)并考慮式(23)、(31)、(32), 化簡為
(34)
式中：
ρ1=c1k1+c2-λ1,ρ2=c1-c2k2-λ2
ρ3=c2+λ3
定義Lyapunov函數(shù)
V3=V2+0.5s2
(35)
則
(36)
設(shè)計(jì)滑?？刂坡蔀?/p>
h(s+εsgn(s))]
(37)
式中：h>0是設(shè)計(jì)常數(shù)；ε>0為切換增益。
在滑?？刂坡?37)中，為了削弱控制信號(hào)的抖振，更好地克服外部擾動(dòng)，使系統(tǒng)具有更強(qiáng)的魯棒性，設(shè)計(jì)如下的切換增益ε的自適應(yīng)調(diào)整算法:
(38)
(39)
注1如不做特殊說明，上述控制律設(shè)計(jì)過程中的yi(i=1,2,3)及w均是指其由式(7)ESO得到的估計(jì)值。
2.5 穩(wěn)定性分析
定理1系統(tǒng)(6)在滑?？刂坡?39)與切換增益適應(yīng)律(38)的作用下, 設(shè)計(jì)如式(33)的切換函數(shù), 則閉環(huán)系統(tǒng)誤差e1,e2,e3漸近收斂到0.
證明定義如下的Lyapunov函數(shù)
(40)
則V3對時(shí)間t的求一階導(dǎo)數(shù), 并考慮式(33)、(36)、(38)、(39)可得:
hε|s|=-eTQe-hε|s|
(41)
(42)
通過選擇參數(shù)h，k1，k2，c1，c2，可使Q的各階順序主子式均大于0，從而保證Q為正定矩陣。從而可得
(43)
由式(43)對時(shí)間t求導(dǎo), 得：
(44)
(45)
(46)
證畢
注2由文獻(xiàn)[13]可知，系統(tǒng)(6)滿足“分離定理”的條件，高增益的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器與自適應(yīng)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)可獨(dú)立進(jìn)行，觀測器的收斂性不影響閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
3 濾波器的設(shè)計(jì)
由反演滑?？刂坡?37)的設(shè)計(jì)過程可知，在反推過程中需要反復(fù)計(jì)算虛擬控制信號(hào)的導(dǎo)數(shù)，這將導(dǎo)致微分項(xiàng)數(shù)的膨脹，使控制律的解析表達(dá)式非常復(fù)雜。因此，虛擬控制信號(hào)的求導(dǎo)通過濾波器，不必要解析求導(dǎo)，反演自適應(yīng)滑?？刂破鞯膶?shí)現(xiàn)過程將會(huì)大大簡化。濾波器的原理如圖1所示。
圖1 信號(hào)的濾波處理
濾波器的狀態(tài)方程為
(47)
(48)
式中：ζ是濾波器的阻尼比；ωn是自然角頻率。
基于ESO的不確定混沌系統(tǒng)的濾波反演自適應(yīng)滑?？刂圃砣鐖D2所示。
圖2 濾波反演自適應(yīng)滑?？刂圃?/p>
4 仿真實(shí)驗(yàn)
為驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的控制策略的有效性, 選擇Lorenz混沌系統(tǒng), 狀態(tài)方程如下:
(49)
式中: 當(dāng)δ=16,ρ=49.52,b=4,x1(0)=20,x2(0)=20,x3(0)=50時(shí)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象, 混沌吸引子如圖3所示。
圖3 Lorenz混沌系統(tǒng)的吸引子
定義函數(shù)：
(50)
由式(2)可得
g(x1,x2,x3)=1 048.32x1-272x2-16x1x3
應(yīng)用式(2)所示的坐標(biāo)變換，式(49)可化為
(51)
將控制輸入u加入系統(tǒng), 控制輸入增益b取為1, 同時(shí)考慮考慮系統(tǒng)的外部擾動(dòng)，系統(tǒng)(49)可寫為
(52)
式中：
為混沌系統(tǒng)總的不確定性, 系統(tǒng)的不確定外部擾動(dòng)d(t)=2sint。對此系統(tǒng)(52)用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(6)進(jìn)行估計(jì)。擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的帶寬取ω0=60 rad, 觀測器增益由式(15)計(jì)算得出：
為驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)控制方法的有效性和優(yōu)越性, 分別對式(7)、 (38)、 (39)、 (47)表示的基于ESO的濾波反演自適應(yīng)滑?？刂?ESO+ FBASMC)、由式(7)、 (37)表示的基于ESO的常規(guī)反演滑?？刂?ESO+BSMC)以及PID控制進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)研究。采樣周期都設(shè)置為Ts=1 ms, 初始條件均設(shè)置為
x1(0)=20,x2(0)=20,x3(0)=50
滑?？刂破鞯膮?shù)設(shè)置為
k1=70，k2=10，c1=50，c2=10
PID控制參數(shù)：比例系數(shù)kp=0.75，微分系數(shù)kd=0.32，積分系數(shù)ki=0.16。
3種控制方法的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4～8所示。 由圖4～6可知, 3種基于ESO的控制方法均能夠有效地控制混沌系統(tǒng), 并且最終的跟蹤誤差均為0，PID控
圖4 位置跟蹤結(jié)果
圖5 位置跟蹤誤差
圖6 控制輸入u
(a) 濾波反演自適應(yīng)滑模控制的ESO估計(jì)誤差(b) 反演滑?？刂频腅SO估計(jì)誤差
圖7 總的不確定性w的估計(jì)誤差
圖8 FBASMC切換增益ε的自適應(yīng)變化過程
制出現(xiàn)了長時(shí)間的振蕩。進(jìn)一步對比圖5中跟蹤誤差可知，系統(tǒng)在3種控制器作用下，跟蹤誤差的曲線發(fā)生了劇烈的振蕩，PID控制的誤差曲線振蕩最為劇烈，常規(guī)滑?？刂频恼`差曲線的振蕩程度次之，反演自適應(yīng)滑?？刂频恼`差曲線最平緩, 跟蹤誤差收斂最快, 這是因?yàn)槌Ｒ?guī)反演滑?？刂品椒ǖ那袚Q增益ε是固定值，一旦系統(tǒng)的外部擾動(dòng)變化時(shí), 控制器便無法這種變化；而對于反演自適應(yīng)滑?？刂品椒ǘ? 由于切換增益ε(t)能夠自適應(yīng)調(diào)節(jié)，控制器經(jīng)過更短時(shí)間的調(diào)整后使跟蹤誤差快速地收斂到零，而由于混沌系統(tǒng)是非線性程度較強(qiáng)的系統(tǒng)，PID控制的效果最差。
同時(shí), 通過對比圖6中3個(gè)控制信號(hào)可見，濾波反演自適應(yīng)滑?？刂品椒ㄔ谶@3種控制信號(hào)中幅值是最小的，這也證明了此控制方法能夠在一定程度上削減抖振。圖7給出的是兩種反演滑模控制方法中系統(tǒng)總的不確定部分w的估計(jì)結(jié)果，結(jié)果表明ESO對系統(tǒng)的不確定性具有良好的估計(jì)能力。進(jìn)一步比較圖7(a)與圖7(b)可知，濾波反演自適應(yīng)滑模控制方法中的ESO的估計(jì)效果要好于常規(guī)反演滑?？刂浦械腅SO的估計(jì)效果。圖8給出了濾波反演自適應(yīng)滑模控制中切換增益ε(t)的自適應(yīng)曲線，參數(shù)ε(t)最終收斂至8左右，小于常規(guī)反演滑?？刂品椒ㄖ兄苯咏o定的控制增益ε=12。
5 結(jié) 語
本文綜合運(yùn)用反演自適應(yīng)控制和擴(kuò)張狀態(tài)觀測器理論，提出了一種狀態(tài)不可測的不確定非線性混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模控制方法。通過非線性坐標(biāo)變換，將一般的非線性系統(tǒng)模型變?yōu)楦m宜Backstepping控制器設(shè)計(jì)的嚴(yán)格參數(shù)反饋形式。設(shè)計(jì)了線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器估計(jì)系統(tǒng)未知狀態(tài)及不確定項(xiàng)，并基于Backstepping策略設(shè)計(jì)自適應(yīng)滑?？刂破饕员ＷC系統(tǒng)的跟蹤誤差漸近收斂至零點(diǎn)。同時(shí)，虛擬控制信號(hào)的導(dǎo)數(shù)通過濾波器獲得，避免了解析求導(dǎo)，簡化了控制器的設(shè)計(jì)過程。與常規(guī)反演滑?？刂破骷癙ID控制的對比仿真表明了該自適應(yīng)控制器的有效性與優(yōu)越性。
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上述混沌系統(tǒng)控制方法大都要求建立被控對象準(zhǔn)確數(shù)學(xué)模型，在工程實(shí)際中往往不易實(shí)現(xiàn)。因此，當(dāng)系統(tǒng)中存在參數(shù)變化或不確定因素時(shí)，系統(tǒng)的魯棒性就會(huì)降低，動(dòng)態(tài)性能也會(huì)變差?；诖?，一些研究者提出了具有較強(qiáng)魯棒性與自適應(yīng)性的混沌控制方法，如：線性反饋控制[5]、基于Laypunov理論的指數(shù)控制法[6]、自適應(yīng)模糊控制[7]、滑模變結(jié)構(gòu)控制[8]等。其中，滑?？刂?Sliding Mode Control, SMC)因其對系統(tǒng)參數(shù)變化及擾動(dòng)不靈敏、無需系統(tǒng)在線辨識(shí)等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)控制中，但對于常規(guī)滑模變結(jié)構(gòu)控制，高的切換增益以及符號(hào)函數(shù)的存在是抖振現(xiàn)象產(chǎn)生的根源，從而影響了其在工程實(shí)際的應(yīng)用[8]。為削減抖振現(xiàn)象，對傳統(tǒng)滑?？刂铺岢隽嗽S多改進(jìn)措施，如：基于濾波器的滑?？刂?、動(dòng)態(tài)滑模控制、基于觀測器的滑?？刂?、基于模糊邏輯的滑模控制等[8]。盡管這些控制方法能夠在一定程度上降低滑模控制信號(hào)的抖振，改善系統(tǒng)的控制性能，但要求系統(tǒng)具有完全能測量的狀態(tài)，否則上述控制方法將失效[9]。擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(Extended State Observer, ESO)被廣泛用于系統(tǒng)的未知狀態(tài)和不確定項(xiàng)的估計(jì)[10]。ESO幾乎不依賴于系統(tǒng)模型，且具有很強(qiáng)的抗干擾能力，因此廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)控制領(lǐng)域[11-12]。但是，當(dāng)系統(tǒng)的模型階數(shù)與非線性程度較高時(shí)，上述控制方法往往不易實(shí)現(xiàn)。而Backstepping設(shè)計(jì)方法能夠?qū)?fù)雜高階的非線性系統(tǒng)分解成多個(gè)低階子系統(tǒng)，通過選擇合適的Lyapunov函數(shù)逐步推導(dǎo)出最終的控制律，從而實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)的有效控制[13]。
針對狀態(tài)不可測的不確定混沌系統(tǒng)，本文提出基于ESO的Backstepping自適應(yīng)滑?？刂品椒āＴ摲椒ㄟ\(yùn)用線性ESO對混沌系統(tǒng)的狀態(tài)與總的不確定性進(jìn)行估計(jì)，然后基于Backstepping策略設(shè)計(jì)滑模控制器，同時(shí)基于Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)滑?？刂坡膳c切換增益的自適應(yīng)更新律。通過一個(gè)濾波器獲得虛擬控制量的導(dǎo)數(shù)，避免微分項(xiàng)述的膨脹，大大簡化控制器的設(shè)計(jì)過程。
1 問題描述
考慮如下不確定非線性混沌系統(tǒng)：
(1)
假設(shè)狀態(tài)x1,x2,x3不能直接測量但可觀測，非線性函數(shù)f1(x1,x2,x3)，f2(x1,x2,x3)，f3(x1,x2,x3)未知可微，對狀態(tài)x1,x2,x3各階偏導(dǎo)存在且連續(xù)。
混沌系統(tǒng)具有較強(qiáng)的非線性，對初值非常敏感，且系統(tǒng)的狀態(tài)不易獲得，許多常規(guī)的控制策略已不能滿足控制效果。本文的目的在于針對狀態(tài)不可測的不確定混沌系統(tǒng)(1)設(shè)計(jì)一個(gè)ESO與自適應(yīng)滑?？刂破鳎瑢?shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)狀態(tài)x1的穩(wěn)定跟蹤控制。
2 控制器設(shè)計(jì)
2.1 模型變換
由于未知函數(shù)f1(x1,x2,x3)對x1,x2,x3的各階偏導(dǎo)連續(xù)可微，故可構(gòu)造函數(shù)：
(2)
設(shè)計(jì)如下坐標(biāo)變換:
(3)
由前面假設(shè)可知，未知函數(shù)g(x1,x2,x3)對狀態(tài)x1,x2,x3連續(xù)可微，故可將式(1)變換為如下嚴(yán)格參數(shù)反饋系統(tǒng):
(4)
為了對混沌系統(tǒng)進(jìn)行控制，將控制輸入u加入系統(tǒng)，同時(shí)考慮系統(tǒng)的外部擾動(dòng)，系統(tǒng)(4)可寫為
(5)
式中：u為控制輸入；b為控制輸入增益；
d(t)為系統(tǒng)未知的外部擾動(dòng)。為了便于設(shè)計(jì)觀測器與控制器，將式(5)寫為如下等效形式:
(6)
式中：
w(x1,x2,x3)=f(x1,x2,x3)+d(t)
為混沌系統(tǒng)總的不確定性。
2.2 不確定性的估計(jì)
ESO是一種新型的非線性觀測器，可以對系統(tǒng)的狀態(tài)與未知的擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)[14]。針對式(6)設(shè)計(jì)如下的4階線性ESO：
(7)
(8)
定義觀測誤差向量
(9)
則, 式(8)可寫為
(10)
式中：矩陣
(11)
矩陣A的特征多項(xiàng)式為
|sI-A|=s4+β1s3+β2s2+β3s+β4
(12)
由Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)可知，若式(8)中的系數(shù)βi(i=1,2,3,4)滿足如下條件:
(13)
則觀測誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(8)漸近穩(wěn)定, 即ESO觀測誤差eo收斂至0向量。
2.3 ESO增益的確定
ESO屬于高增益觀測器，觀測器增益βi>0,i=1,2,3,4對ESO至關(guān)重要，影響著觀測器的收斂速度。運(yùn)用帶寬的概念來確定ESO的增益βi>0,i=1,2,3,4。ESO的期望特征多項(xiàng)式為
λ0(s)=(s+ω0)4=
(14)
式中：ω0為觀測器的帶寬。
比較式(12)與(14)可得：
(15)
2.4 自適應(yīng)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
在對系統(tǒng)(6)的狀態(tài)與不確定部分進(jìn)行估計(jì)的基礎(chǔ)上，規(guī)定控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)自適應(yīng)控制律u，使系統(tǒng)輸出y=x1漸進(jìn)跟蹤一個(gè)有界參考信號(hào)yr,即
(16)
下面基于反演策略設(shè)計(jì)不確定混沌系統(tǒng)(6)的滑模跟蹤控制器。
步驟1定義跟蹤誤差e1=y-yr=y1-yr，假設(shè)參考信號(hào)yr充分光滑，由式(6)可知:
(17)
定義Lyapunov函數(shù)
(18)
則其沿式(17)的導(dǎo)數(shù)為
(19)
(20)
步驟2定義虛擬誤差
e2=y2-α1
(21)
則
(22)
由式(17)、(20)、(22)可得:
(23)
由式(22)、(23)可得：
(24)
考慮誤差動(dòng)態(tài)方程(22)與(23)，將y3暫時(shí)作為“控制變量”實(shí)現(xiàn)此兩式的鎮(zhèn)定，定義Lyapunov函數(shù)
(25)
則V2沿式(23)和(24)軌跡的導(dǎo)數(shù)為
(26)
(27)
步驟3定義虛擬誤差
e3=y3-α2
(28)
則e3對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為
(29)
由式(27)、(28)可得：
(30)
將式(30)代入式(24), 得:
(31)
將式(23)與(31)代入(29)得：
(32)
式中,
λ3=k1+k2
定義切換函數(shù)
s=c1e1+c2e2+e3
(33)
式中：c1與c2為正的常數(shù)。則s對時(shí)間t求導(dǎo)并考慮式(23)、(31)、(32), 化簡為
(34)
式中：
ρ1=c1k1+c2-λ1,ρ2=c1-c2k2-λ2
ρ3=c2+λ3
定義Lyapunov函數(shù)
V3=V2+0.5s2
(35)
則
(36)
設(shè)計(jì)滑?？刂坡蔀?/p>
h(s+εsgn(s))]
(37)
式中：h>0是設(shè)計(jì)常數(shù)；ε>0為切換增益。
在滑?？刂坡?37)中，為了削弱控制信號(hào)的抖振，更好地克服外部擾動(dòng)，使系統(tǒng)具有更強(qiáng)的魯棒性，設(shè)計(jì)如下的切換增益ε的自適應(yīng)調(diào)整算法:
(38)
(39)
注1如不做特殊說明，上述控制律設(shè)計(jì)過程中的yi(i=1,2,3)及w均是指其由式(7)ESO得到的估計(jì)值。
2.5 穩(wěn)定性分析
定理1系統(tǒng)(6)在滑?？刂坡?39)與切換增益適應(yīng)律(38)的作用下, 設(shè)計(jì)如式(33)的切換函數(shù), 則閉環(huán)系統(tǒng)誤差e1,e2,e3漸近收斂到0.
證明定義如下的Lyapunov函數(shù)
(40)
則V3對時(shí)間t的求一階導(dǎo)數(shù), 并考慮式(33)、(36)、(38)、(39)可得:
hε|s|=-eTQe-hε|s|
(41)
(42)
通過選擇參數(shù)h，k1，k2，c1，c2，可使Q的各階順序主子式均大于0，從而保證Q為正定矩陣。從而可得
(43)
由式(43)對時(shí)間t求導(dǎo), 得：
(44)
(45)
(46)
證畢
注2由文獻(xiàn)[13]可知，系統(tǒng)(6)滿足“分離定理”的條件，高增益的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器與自適應(yīng)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)可獨(dú)立進(jìn)行，觀測器的收斂性不影響閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
3 濾波器的設(shè)計(jì)
由反演滑?？刂坡?37)的設(shè)計(jì)過程可知，在反推過程中需要反復(fù)計(jì)算虛擬控制信號(hào)的導(dǎo)數(shù)，這將導(dǎo)致微分項(xiàng)數(shù)的膨脹，使控制律的解析表達(dá)式非常復(fù)雜。因此，虛擬控制信號(hào)的求導(dǎo)通過濾波器，不必要解析求導(dǎo)，反演自適應(yīng)滑?？刂破鞯膶?shí)現(xiàn)過程將會(huì)大大簡化。濾波器的原理如圖1所示。
圖1 信號(hào)的濾波處理
濾波器的狀態(tài)方程為
(47)
(48)
式中：ζ是濾波器的阻尼比；ωn是自然角頻率。
基于ESO的不確定混沌系統(tǒng)的濾波反演自適應(yīng)滑?？刂圃砣鐖D2所示。
圖2 濾波反演自適應(yīng)滑?？刂圃?/p>
4 仿真實(shí)驗(yàn)
為驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的控制策略的有效性, 選擇Lorenz混沌系統(tǒng), 狀態(tài)方程如下:
(49)
式中: 當(dāng)δ=16,ρ=49.52,b=4,x1(0)=20,x2(0)=20,x3(0)=50時(shí)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象, 混沌吸引子如圖3所示。
圖3 Lorenz混沌系統(tǒng)的吸引子
定義函數(shù)：
(50)
由式(2)可得
g(x1,x2,x3)=1 048.32x1-272x2-16x1x3
應(yīng)用式(2)所示的坐標(biāo)變換，式(49)可化為
(51)
將控制輸入u加入系統(tǒng), 控制輸入增益b取為1, 同時(shí)考慮考慮系統(tǒng)的外部擾動(dòng)，系統(tǒng)(49)可寫為
(52)
式中：
為混沌系統(tǒng)總的不確定性, 系統(tǒng)的不確定外部擾動(dòng)d(t)=2sint。對此系統(tǒng)(52)用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(6)進(jìn)行估計(jì)。擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的帶寬取ω0=60 rad, 觀測器增益由式(15)計(jì)算得出：
為驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)控制方法的有效性和優(yōu)越性, 分別對式(7)、 (38)、 (39)、 (47)表示的基于ESO的濾波反演自適應(yīng)滑?？刂?ESO+ FBASMC)、由式(7)、 (37)表示的基于ESO的常規(guī)反演滑?？刂?ESO+BSMC)以及PID控制進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)研究。采樣周期都設(shè)置為Ts=1 ms, 初始條件均設(shè)置為
x1(0)=20,x2(0)=20,x3(0)=50
滑?？刂破鞯膮?shù)設(shè)置為
k1=70，k2=10，c1=50，c2=10
PID控制參數(shù)：比例系數(shù)kp=0.75，微分系數(shù)kd=0.32，積分系數(shù)ki=0.16。
3種控制方法的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4～8所示。 由圖4～6可知, 3種基于ESO的控制方法均能夠有效地控制混沌系統(tǒng), 并且最終的跟蹤誤差均為0，PID控
圖4 位置跟蹤結(jié)果
圖5 位置跟蹤誤差
圖6 控制輸入u
(a) 濾波反演自適應(yīng)滑模控制的ESO估計(jì)誤差(b) 反演滑?？刂频腅SO估計(jì)誤差
圖7 總的不確定性w的估計(jì)誤差
圖8 FBASMC切換增益ε的自適應(yīng)變化過程
制出現(xiàn)了長時(shí)間的振蕩。進(jìn)一步對比圖5中跟蹤誤差可知，系統(tǒng)在3種控制器作用下，跟蹤誤差的曲線發(fā)生了劇烈的振蕩，PID控制的誤差曲線振蕩最為劇烈，常規(guī)滑?？刂频恼`差曲線的振蕩程度次之，反演自適應(yīng)滑?？刂频恼`差曲線最平緩, 跟蹤誤差收斂最快, 這是因?yàn)槌Ｒ?guī)反演滑?？刂品椒ǖ那袚Q增益ε是固定值，一旦系統(tǒng)的外部擾動(dòng)變化時(shí), 控制器便無法這種變化；而對于反演自適應(yīng)滑?？刂品椒ǘ? 由于切換增益ε(t)能夠自適應(yīng)調(diào)節(jié)，控制器經(jīng)過更短時(shí)間的調(diào)整后使跟蹤誤差快速地收斂到零，而由于混沌系統(tǒng)是非線性程度較強(qiáng)的系統(tǒng)，PID控制的效果最差。
同時(shí), 通過對比圖6中3個(gè)控制信號(hào)可見，濾波反演自適應(yīng)滑?？刂品椒ㄔ谶@3種控制信號(hào)中幅值是最小的，這也證明了此控制方法能夠在一定程度上削減抖振。圖7給出的是兩種反演滑模控制方法中系統(tǒng)總的不確定部分w的估計(jì)結(jié)果，結(jié)果表明ESO對系統(tǒng)的不確定性具有良好的估計(jì)能力。進(jìn)一步比較圖7(a)與圖7(b)可知，濾波反演自適應(yīng)滑模控制方法中的ESO的估計(jì)效果要好于常規(guī)反演滑?？刂浦械腅SO的估計(jì)效果。圖8給出了濾波反演自適應(yīng)滑模控制中切換增益ε(t)的自適應(yīng)曲線，參數(shù)ε(t)最終收斂至8左右，小于常規(guī)反演滑?？刂品椒ㄖ兄苯咏o定的控制增益ε=12。
5 結(jié) 語
本文綜合運(yùn)用反演自適應(yīng)控制和擴(kuò)張狀態(tài)觀測器理論，提出了一種狀態(tài)不可測的不確定非線性混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模控制方法。通過非線性坐標(biāo)變換，將一般的非線性系統(tǒng)模型變?yōu)楦m宜Backstepping控制器設(shè)計(jì)的嚴(yán)格參數(shù)反饋形式。設(shè)計(jì)了線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器估計(jì)系統(tǒng)未知狀態(tài)及不確定項(xiàng)，并基于Backstepping策略設(shè)計(jì)自適應(yīng)滑?？刂破饕员ＷC系統(tǒng)的跟蹤誤差漸近收斂至零點(diǎn)。同時(shí)，虛擬控制信號(hào)的導(dǎo)數(shù)通過濾波器獲得，避免了解析求導(dǎo)，簡化了控制器的設(shè)計(jì)過程。與常規(guī)反演滑?？刂破骷癙ID控制的對比仿真表明了該自適應(yīng)控制器的有效性與優(yōu)越性。
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