劉貞谷， 郭居上， 李麗娟， 庾明達， 陳建國， 石凱凱， 江小州

(1. 中國核動力研究設計院核反應堆系統(tǒng)設計技術國家重點實驗室， 四川成都 610213；2. 哈爾濱工業(yè)大學航天學院航天科學與力學系， 黑龍江哈爾濱 150001)

隨著國產(chǎn)SA508-3鋼研制的成功，中國學者們對其進行大量的研究，其力學性能成為關注的焦點，我國的壓水堆核電站—回路壓力容器也廣泛采用這種材料[1]。利用試驗以及有限元方法等手段，研究者們已經(jīng)取得了大量的研究成果。余美芳等人收集了大量的數(shù)據(jù)，對國產(chǎn)SA508-3 鋼的力學性能有了較為全面的了解，通過和西方RPV 鋼的對比，在拉伸、斷裂韌性等方面展開了性能評估?；隈詈蠐p傷的本構模型，張麗屏等[2]模擬了SA508-3鋼的循環(huán)塑性變形過程，在評價以此材料制造的核電設備的力學性能方面提供了相關經(jīng)驗。林赟等[3]研究了國產(chǎn)SA508-3鋼輻照性能，在研究堆上進行了加速輻照試驗，進而評估其拉伸和沖擊等力學性能。在國產(chǎn)SA508-3鋼的斷裂韌性方面，彭嘯等[4]使用了主曲線方法，取得了1/2PCVN試樣以及PCVN試樣的研究成果。

有限元、邊界元、無網(wǎng)格法、分子動力學的發(fā)展，使得針對材料力學性能的表征和模擬也引入了各種新方法，在某些特定方面能取得較好的模擬效果。如針對材料及結構的斷裂方面，傳統(tǒng)的有限元面臨極大的困難，Belytschko和Black[5]以及Moes[6]提出并發(fā)展了擴展有限元(XFEM)的思想和方法，而分子動力學模擬(MDS)也解決了這些困難，Cox等人[7]針對動態(tài)斷裂的物理過程給出了更為直觀的理解。研究了原子之間的相互作用，Eringen和Edelen[8]、Kroner[9]以及Kunin[10]進一步提出了非局部連續(xù)理論，把具有特征長度參數(shù)的長程影響考慮在內(nèi)。為了從理論底層解決不連續(xù)的難題，同時考慮了以上理論的特點和不足，Silling于2000年[11]及2007年[12]提出新的非局部框架下的固體力學理論——近場動力學理論(Peridynamic Theory，簡稱PD)，黃丹等國內(nèi)學者[13]在國內(nèi)首先對其進行綜述，譯為“近場動力學理論”[14]。本文利用近場動力學理論，編寫Fortran程序，模擬核電設備中SA508-3鋼材料受拉的力學性能，并對模擬結果進行評價。

1 近場動力學基本理論

近場動力學把連續(xù)介質力學中的微分方程用空間積分方程來代替，由于積分在不連續(xù)處也是可積的，因此自然在斷裂破壞等問題上也好處理。

如圖1所示，近場動力學的基本思想為，考慮某個占據(jù)體積V(k)的物質點x(k)，與有限范圍內(nèi)物質點x(j)(j=1,2,...,)存在著相互作用，作用范圍δ稱作近場范圍，反映了近場動力學的非局部特性，即，范圍內(nèi)存在作用，超出該范圍意味著作用消失。

圖1 物質點相互作用范圍示意

在作用域內(nèi)，PD運動方程可以寫為：

?x∈R,t≥0

(1)

式中：H代表在近場范圍內(nèi)進行積分，若使用以下記法：

ξ=x′-x,η=u(x′,t)-u(x,t)

(2)

(3)

則如圖2所示，ξ、η分別代表兩個作用點之間的相對位置以及相對位移，而η+ξ則表示結構在變形后兩個點之間的相對位置。f為近場動力學中的對點力函數(shù)，可以形象地把兩個點之間的作用看成“鍵”，滿足牛頓第三定律

圖2 PD理論中物質點間作用

(4)

以及角動量守恒定律

(ξ+η)×f(η,ξ)=0 ?η,ξ

(5)

對微勢能函數(shù)進行求導可以得到f，即：

(6)

微勢能函數(shù)w的量綱為能量/體積2，反映了單個鍵儲存的能量。對于任意一個物質點，可以把其應變能密度寫作：

(7)

為了模擬材料及結構發(fā)生變形后的破壞，PD引入了伸長率s來反映鍵的狀態(tài)，即：

(8)

當s在變形過程中不斷增大直至達到臨界伸長率s0時，鍵就判定為永久斷裂，代表該作用力消失。例如，標準的微彈性脆性(PMB)的對點力函數(shù)可以寫為：

f(η,ξ)=g(s(t,ξ))μ(t,ξ)

(9)

式中：g是一個線性的標量函數(shù)，μ的取值為0或1(圖3)，即：

g(s)=cs?s

(10)

(11)

圖3 PMB材料的PD本構關系

則物質點x處的損傷可以由鍵數(shù)量的統(tǒng)計值給出，大小為已斷開的鍵占所有鍵的數(shù)量比值，即：

(12)

因此，可以看出，對點力函數(shù)天然適用于不連續(xù)，在整個過程中，裂紋自發(fā)萌生并擴展，不需要其它的斷裂判據(jù)或者擴展條件等。

2 SA508-3鋼拉伸力學性能的近場動力學模擬

同時利用PD理論和經(jīng)典理論計算物質點的應變能密度，通過對比可以建立兩種理論基本物理量之間的關系，則推導出微模量函數(shù)為：

(13)

將SA508-3鋼考慮為一塊薄板，材料屬性取自ASME規(guī)范[15]，其基本參數(shù)見表1～表3。板的兩端承受均勻拉伸載荷，大小為p0=170MPa，編寫程序模擬其彈性變形過程(圖4)。

表1 SA-508 Grade 3 Class 2的材料特性

表2 薄板的幾何及材料參數(shù)

表3 PD模型離散參數(shù)

圖4 SA508-3鋼薄板受拉伸載荷作用

時間步長取nt=2000，計算得到了薄板離散的所有物質點在x、y向的位移值大小(圖5)。

(a) X方向位移

(b) Y方向位移圖5 X、Y向位移云圖

針對該算例，存在彈性力學上的解析解，以水平和豎直兩個方向中線上各物質點為參考，將PD計算的位移解與其解析解作比較(圖6)。

從圖6中可以看出，程序的PD計算值與解析解基本一致，進行誤差分析后，結果如表4所示。

(a) 位移X向解析解與PD解對比

(b) 位移Y向解析解與PD解對比圖6 位移解析解與PD解對比

表4 中線誤差分析

程序收斂性方面，考察任意一物質點，提取出其每一計算步下的位置解，得到位移解隨時間的變化曲線(圖7)，可以看出，在時間步到800后，計算結果趨于穩(wěn)定。

圖7 位移結果收斂性

3 結 論

從計算結果可以看出，基于近場動力學理論編寫的計算程序在SA508-3鋼受拉彈性階段的計算結果與解析解誤差很小，為后續(xù)分析較大的反應堆設備結構積累經(jīng)驗，同時也可以進一步模擬損傷斷裂等不連續(xù)力學特征。