李華蓉 ， 陳 濤

(1. 重慶交通大學(xué) 交通土建工程材料國家地方聯(lián)合工程實驗室，重慶 400074；2. 重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074)

0 引 言

在工程中，土石方填挖量是一個非常重要的指標(biāo)，它直接影響到工程的造價及預(yù)算。近年來，隨著國民經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和基礎(chǔ)設(shè)施的不斷加強(qiáng)，在土地管理、水利水電工程、道路選線、交通等領(lǐng)域，土石方量成為估算工程費用、方案優(yōu)化設(shè)計以及施工進(jìn)度控制等需要考慮的一個重要因素[1-3]。毛雪松等[4]還通過建立半填半挖路基下邊坡模型，對坡積體的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。目前最常用的土石方計算方法為數(shù)字高程模型(DEM)法。很多土石方計算的研究基于DEM進(jìn)行。朱連輝等[5]在流域土石方工程中運用了一種利用無人機(jī)采集數(shù)據(jù)生成DEM的快速土方測算方法。在其它領(lǐng)域中，I.A. THOMAS等[6]利用DEM模擬由微觀形態(tài)主導(dǎo)的農(nóng)業(yè)流域水文敏感區(qū)域效果顯著。

根據(jù)地形模擬的方式，DEM法分為規(guī)則格網(wǎng)(Grid)法和不規(guī)則三角網(wǎng)(TIN)法。在Grid法中，當(dāng)微分方格的邊長足夠小時，可以用方格4個頂點高程的加權(quán)平均值代替整個方格地形面的高程。據(jù)此求得的成果精度能夠相對提高，而且計算模型比較簡易。但是由于方格頂點的高程并不是通過實測獲得，而DEM土方計算中地形模型的精度基本決定了土方的計算精度[7]，因此其成果精度的提高始終存在瓶頸。TIN以其對地形細(xì)部結(jié)構(gòu)的高精度描述特點，極大的彌補(bǔ)了Grid在地形模擬方面的缺陷。但是TIN利用大面積幾何圖形投影構(gòu)成的幾何體計算土石方，因地形的不規(guī)則起伏不可避免地造成模型誤差。為解決這一問題，將幾何微分思想引入TIN法中，通過細(xì)化模擬的幾何體，從而更精確地逼近實際地形，不僅能夠簡化計算模型的復(fù)雜度，還能減小模型誤差、提高成果精度。筆者利用這一思想，對TIN中的三角形進(jìn)行微分，通過微分三棱柱計算土石方，提出了基于TIN模型的三角形微分土石方計算方法。

1 基于TIN模型的三角形微分土石方計算方法

在常用的基于離散點的土石方計算方法中，計算模型產(chǎn)生的誤差主要來源于將不規(guī)則地形用規(guī)則幾何形體進(jìn)行模擬。在TIN模型中，采用實測三角形模擬地形表面，在一定程度上減小了地形模擬失真導(dǎo)致的誤差。但在實際工程中，為了減少外業(yè)的工作量，對于地形起伏不大的區(qū)域高程點分布較為稀疏，造成了以大面積三角形面片模擬地形的情況，在土石方的計算中仍然會降低計算結(jié)果的精度。模擬地形的幾何圖形面積對成果精度的影響在Grid法中就有直觀的體現(xiàn)，理論上幾何圖形面積越小，成果的精度將會越高。如果能夠基于TIN模型，引入Grid法中的微分思想，當(dāng)三角形的面積足夠小時就能夠進(jìn)一步的提高計算成果的精度。賴鴻斌等[8]曾提出過一種利用TIN和Grid的混合模型計算填挖方量的方法；田旦等[9]介紹的一種提高方格網(wǎng)土石方計算精度的方法也是首先利用TIN建立測區(qū)的DEM，同樣是TIN和Grid的混合運用。

基于TIN模型的三角形微分土石方計算方法的思想是先由離散點構(gòu)建TIN模型，然后在TIN模型的基礎(chǔ)上將由離散點構(gòu)成的三角形不斷進(jìn)行分割，直至連續(xù)減小三角形面積而土石方計算的結(jié)果趨于穩(wěn)定。與Grid法不同的是，利用該方法，微分三角形并非通過減小邊長實現(xiàn)，而是對面積進(jìn)行分割。

圖1 三角形分割示意Fig. 1 Triangle segmentation schematic

該方法中，三角形分割基于已經(jīng)構(gòu)建好的TIN模型，其分割思想如圖1。△ABC由離散點直接構(gòu)成。設(shè)其頂點坐標(biāo)分別為A(X1，Y1，H1)、B(X2，Y2，H2)，C(X3，Y3，H3)，當(dāng)△ABC需要進(jìn)行分割時，由式(1)求得其重心坐標(biāo)D(XD，YD，HD)：

(1)

然后得到△ABD, △BCD和△ACD。如果△ACD仍需進(jìn)行分割，同理求得其重心E的坐標(biāo)，將△ACD繼續(xù)分割為3個新的三角形。對其它三角形同樣如此，直至所有三角形的面積小于閾值。由離散點構(gòu)成的三角形地形面可以近似看作是連續(xù)變化的，因此由3個頂點求得的重心坐標(biāo)具有較高的精度。同時，由原三角形的頂點和重心構(gòu)成的3個新三角形的面積相等，保證了測區(qū)范圍的平均分割，而在程序中判斷是否繼續(xù)分割的條件亦為三角形的面積。另外，在三角形中重心到3個頂點距離的平方和最小，這也在一定程度上保證了重心三維坐標(biāo)的求取精度。

在進(jìn)行土石方量的計算時，由于微分三角形的面積非常小，可以引入微分計算的思想。以每個微分三角形的重心點高程作為整個微分三角形面的高程，以微分三角形投影到設(shè)計高程面構(gòu)成的正三棱柱體積計算填挖方量，類似于徐樹坤等[10]提出的將空間體積轉(zhuǎn)化為平面上求取面積近似定積分的思想。這種計算方法從實施上看仍然以三角形模擬地形面，按幾何體體積進(jìn)行計算，但不同的是，此時的微分三角形面積非常小，根據(jù)微分的思想以及高精度土石方工程中對填挖方量計算精度的要求，可以以點代面進(jìn)行計算。

綜合而言，利用基于TIN模型的三角形微分法計算土石方量的具體流程如圖2，算法步驟如下：

步驟1：利用野外實測離散點數(shù)據(jù)，按照Delaunay三角形構(gòu)建原則建立TIN模型，并將TIN模型中的三角形存儲于待分割三角形線性表中。

步驟2：獲取三角形面積閾值，按照待分割線性表中三角形的存儲順序，遍歷待分割三角形。

步驟3：判斷三角形面積和所取閾值的大小關(guān)系。當(dāng)三角形面積大于閾值時，求取其重心三維坐標(biāo)對其進(jìn)行分割，并同時存儲生成的3個新三角形于待分割線性表中。

步驟4：當(dāng)待分割三角形面積小于閾值時，將此三角形存儲于分割完成后的微分三角形線性表中，并遍歷下一個待分割三角形，回到步驟3。

步驟5：按照步驟3、步驟4，遍歷并分割所有待分割三角形，使得所有微分三角形的面積小于或等于閾值。

步驟6：遍歷分割完成后的微分三角形，以微分三角形的重心點高程代替三角面的高程，利用微分三棱柱求得土石方量。

圖2 基于TIN模型的三角形微分土石方計算流程Fig. 2 Flow chart of triangular differential earthwork calculation based on TIN model

2 實驗與分析

基于三角形微分土石方計算理論，利用Visual Studio 2010平臺，選擇C#語言設(shè)計了一個微型土石方計算系統(tǒng)，能夠?qū)崿F(xiàn)TIN模型的構(gòu)建、土方量的計算以及數(shù)據(jù)的輸入輸出，系統(tǒng)設(shè)計方案如圖3。實驗數(shù)據(jù)來源于重慶某場地平整土方工程，平場面積為71 913.1 m2，實測離散點138個。

2.1 算法分析

該算法與Grid法相似。當(dāng)實驗數(shù)據(jù)選取的閾值不斷減小時，填挖方量趨于穩(wěn)定。表1為實驗數(shù)據(jù)在不同閾值下的填挖方量對比數(shù)據(jù)。由表1可知，在微分三角形的面積閾值分別1/60 m2和1/100 m2時，填挖方量僅相差1.4 m3，因此1/60 m2可認(rèn)為是該項目的合適閾值。實際運算時，系統(tǒng)將依據(jù)不同閾值的結(jié)果對比數(shù)據(jù)，自動選擇合適的閾值。

圖3 基于TIN模型的三角形微分土石方計算系統(tǒng)設(shè)計方案Fig. 3 Design scheme of triangular differential earthwork computing system based on TIN model

表1 實驗數(shù)據(jù)選取不同閾值計算時填挖方量的變化Table 1 Variation of filling and excavation volume with differentthresholds selected in the experimental data

由表1可知，隨著閾值的減小，微分三角形的個數(shù)大致呈線性增加，而且數(shù)量非常龐大。當(dāng)閾值為1 m2時就能將初始的257個三角形微分為135 189個。選擇較為合適的閾值(1/60 m2)進(jìn)行計算時，微分三角形數(shù)量達(dá)到了797萬個。而當(dāng)結(jié)果真正穩(wěn)定時，三角形數(shù)量突破了1 329萬個。圖4直觀體現(xiàn)了不同閾值下微分三角形的數(shù)量變化。因此，大型土石方工程中運用三角形微分法對計算機(jī)的存儲要求很高，而逐漸增加的微分三角形數(shù)量必然降低計算效率，表1中的計算時間直觀體現(xiàn)了這一點。就算法而言，基于TIN模型的三角形微分土方石計算方法對計算機(jī)的性能要求較高，其發(fā)展與運用和計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展有著直接的聯(lián)系。

圖4 同一三角形不同閾值的微分對比Fig. 4 Differential comparison of different thresholdsfor the same triangle

2.2 成果的對比分析

表2為各種土石方計算方法的結(jié)果對比數(shù)據(jù)。由表2可知，TIN法和三角形微分法的計算結(jié)果非常接近，而Grid法和這兩者都相差較遠(yuǎn)。這反映了地形模擬對計算結(jié)果的影響遠(yuǎn)大于計算模型，也是一直以來眾多土石方計算方法強(qiáng)調(diào)高精度的地形模擬而忽略計算模型的原因。但是如果要獲得更高的精度，如利用土方量的變化進(jìn)行地形沉降和滑坡的監(jiān)測，對二者都應(yīng)該有足夠的重視。吳清海[11]介紹了一種利用兩期土方量預(yù)測地面沉降的方法，其用泊松曲線對所得的土石方數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合并建立預(yù)測模型。此方法對土石方量的精度要求很高。

表2 各種土方計算方法結(jié)果對比Table 2 Comparison of the results of various earthworkcalculation methods

進(jìn)一步分析表2可知，相對于CASS中的TIN法，三角形微分法填方量精度提高295.8 m3，挖方量提高了172.8 m3，計算時間多了29.37 s。由此可知，三角形微分法通過犧牲計算效率提高計算精度。就目前而言，一方面受限于計算機(jī)水平的發(fā)展，另一方面，在一般土石方工程中對填挖方量精度的要求不是很高，因此三角形微分法較難廣泛應(yīng)用于工程實際中。但是在一些利用兩期土方量變化做動態(tài)監(jiān)測的工程中，此方法具有運用前景。在利用土方量變化監(jiān)測大壩和山區(qū)滑坡地帶地形沉降、位移時，微小的精度提高就可能及早發(fā)現(xiàn)潛在的危險，對于保障人民的生命安全、減小經(jīng)濟(jì)損失具有重要的意義

3 結(jié) 語

基于TIN模型的三角形微分土石方計算方法，利用TIN構(gòu)建地形模型，能夠高精度地描述地形的細(xì)部結(jié)構(gòu)。在計算模型方面引入了微分思想，將TIN模型中的每個初始三角形按照適當(dāng)?shù)拈撝捣指顬槲⒎秩切?，在高程上以點代面進(jìn)行計算，降低了計算模型的復(fù)雜度，減小了模型誤差，提高了成果的精度。綜合分析可知，此種方法通過犧牲計算效率提高精度，對計算機(jī)的存儲和運算速率要求較高，因此在當(dāng)下較難廣泛應(yīng)用于土石方工程中，只有在高精度的土石方監(jiān)測項目中才具有實用意義。但隨著計算機(jī)技術(shù)和交通土建行業(yè)的快速發(fā)展，此種方法具有很大的發(fā)展前景。