趙文忠，康 健，梁 棟

(1. 河北工業(yè)大學 土木與交通學院，天津 300401； 2. 河北省高速公路曲港籌建處，河北 定州 073099)

0 引 言

索因其質(zhì)量輕、強度高、阻尼小的優(yōu)點被廣泛應用于工程結(jié)構，索梁組合體系作為斜拉橋的重要組成結(jié)構，非線性問題較為突出。鑒于現(xiàn)代工程輕型預制化的發(fā)展方向，主梁會在車輛或風雨等激勵下出現(xiàn)大幅振動的現(xiàn)象，大柔度的斜拉索受其影響，同樣發(fā)生劇烈振動，短時間使索間碰撞，部件連接失效，長時間引起拉索的保護層脫落或疲勞破壞，對斜拉橋整體安全與耐久性能十分不利。法國布魯東納大橋、加拿大安納西斯大橋、美國伯靈頓大橋與阿根廷瓜渚大橋等都曾觀測到外部激勵與參數(shù)激勵的現(xiàn)象[1]。

眾多學者對索梁間的非線性耦合振動相關問題進行了不同程度探索。Y. FUJINO等[2]基于Gimsing觀察到斜拉橋整體模態(tài)與局部模態(tài)的研究成果提出了三自由度索梁組合結(jié)構模型，同時進行了索橫向振動頻率、梁橫向與豎向振動頻率滿足1∶1∶2的縮尺模型試驗，觀察到全局模態(tài)和局部模態(tài)線性耦合的模態(tài)失真現(xiàn)象；J. M. W. BROWNJOHN等[3]以全尺寸試驗和分析模型研究了曲線斜拉橋的動力特性，發(fā)現(xiàn)上部結(jié)構的相互作用會使索產(chǎn)生不同的振動形式；汪至剛等[4]將索簡化為弦，同時考慮橋面質(zhì)量與剛度的作用，通過數(shù)值積分得到了斜拉索會與主梁在規(guī)定條件下發(fā)生參數(shù)共振的結(jié)論；在此基礎上，趙躍宇等[5]建立了與實際更相近的多自由度索-懸臂梁模型，利用連接與邊界條件得到索梁結(jié)構的耦合運動方程與離散化動力學方程，使用攝動方法進行非線性響應分析與共振模式的數(shù)值模擬，分析各參數(shù)變化對耦合系統(tǒng)的影響，并以試驗的方式驗證；近年來，WEI Minghai等[6]探討了索梁耦合體系在參數(shù)激勵與外部激勵下的非線性響應；馮維明等[7]研究了完全參數(shù)激勵下柔性拉索與彈性懸臂梁耦合結(jié)構的非線性動力學問題，得到離散的常微分方程，進而探索阻尼參數(shù)對耦合系統(tǒng)的影響；吳慶雄等[8]進行了單索-梁結(jié)構和雙索-梁結(jié)構模型振動試驗，采用斜拉橋整體動力分析有限元方法建立了索梁結(jié)構有限元模型，并推導得到了多索-梁結(jié)構固有振動的頻率方程和振型函數(shù)。

上述研究大多關注單根拉索或單自由度的基本模態(tài)與索梁共振特性研究，缺乏對多根拉索高階振動模態(tài)及其相互影響的綜合考量。因此，筆者將著重分析索-梁組合結(jié)構的非線性耦合振動響應，改進索梁模型，進而探究該組合結(jié)構的耦合機理。

1 單梁多索結(jié)構動力學分析

建立如圖1所示索梁模型以模擬成橋，3根索的一端與主梁耦合，另一端與固定橋塔鉸接，梁的兩側(cè)鉸支。分析過程中的基本假定為[9]：索的變形關系服從胡克定律且各點受力均勻；認為索的重力垂度曲線是拋物線；不計索的抗彎剛度、抗扭剛度及抗剪剛度；在弦向方向拉索只受沿索長均勻分布的自重荷載；不計橋塔振動影響。

圖1 斜拉橋單梁多索模型Fig. 1 Single beam multi-strip cable model of cable-stayed bridge

其中，斜拉索O1A1、O2A2與O3A3的面內(nèi)運動分別由坐標系x1O1y1、x2O2y2、x3O3y3描述，主梁在豎直面內(nèi)的運動以坐標系XOY描述。圖中L為主梁長度，l1、l2、l3分別為索O1A1、O2A2與O3A3弦長。假設各拉索具有相同的單位長度質(zhì)量m、彈性模量E、橫截面面積A與阻尼系數(shù)c，根據(jù)Hamilton原理分別建立它們的面內(nèi)徑向運動微分方程為(3根拉索方程相似，因此不再贅述)

(1)

式中：T1為斜拉索O1A1某一振動時刻的初始軸向張力；x1、y1分別為索O1A1在平面內(nèi)索弦向和徑向的振動方向；v1為索O1A1在坐標系的平面內(nèi)y方向振動的動位移；s1為索O1A1長度；θ1為索O1A1弦向與水平方向的夾角(忽略振動時的角度變化)。

代入軸向與弦向張力關系、重力平衡關系可將式(1)表示為

(2)

式中：H11中的H為與軸向張力T對應的弦向張力，第1個角標1為索O1A1，第2個角標1為構成索軸向張力的靜張力， 2為構成索軸向張力的由斜拉索振動引起的動拉力， 3為構成索軸向張力的由主梁豎向位移引起的動拉力。

斜拉索拉力部分表示為

(3)

式中：f1為索O1A1的垂度；V1為索O1A1與主梁結(jié)合處梁的振動位移。

由于斜拉橋中索的質(zhì)量遠小于主梁的質(zhì)量，為進一步簡化，不考慮拉索振動對主梁振動的影響，把索對主梁的作用等效為施加于主梁上的彈性支撐和一個軸向壓力[10]。

圖2 彈性支撐簡支梁Fig. 2 Simply supported beam with elastic support

圖2中，K是索對梁作用的彈簧剛度，K1=EAsin2θ1/l1，K2=EAsin2θ2/l2，K3=EAsin2θ3/l3。

根據(jù)Hamilton原理，雙索梁模型中梁的運動微分方程為

(4)

式中：M為梁沿水平方向分布的每延米質(zhì)量；cb為梁的阻尼系數(shù)；EbIb為梁的抗彎剛度。

綜合式(2)～式(4)即為索梁耦合振動的運動微分方程。

索梁連接處的變形協(xié)調(diào)條件為

(5)

體系的邊界條件為

(6)

2 單梁多索結(jié)構離散分析

為了簡化主梁與斜拉索的振型曲線，將主梁豎向、索徑向與面外的振動模態(tài)進行變量分離。根據(jù)體系邊界條件假設主梁的振動模態(tài)為[11]

(7)

根據(jù)索梁連接處位移一致的原則，同時考慮二階模態(tài)對耦合振動的影響，索O1A1、O2A2與O3A3面內(nèi)徑向的振動模態(tài)可設為

(8)

(9)

(10)

忽略結(jié)構阻尼，對體系進行Galerkin離散分析，可以得到振動方程為

(11)

式中：

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

通過式(11)可以看出，在斜拉索與主梁振動方程中均包含有線性項、二次項與三次項，這表明結(jié)構存在非線性振動。在忽略阻尼而考慮垂度的情況下，單根斜拉索的振動與其垂度、面內(nèi)振動、一二階模態(tài)、主梁振動等參數(shù)均有關，而多根斜拉索也經(jīng)由梁間接地聯(lián)系在一起。將通過合理控制工況條件進行數(shù)值模擬，以探究該組合體系耦合振動過程中的索梁響應與影響原理。

3 數(shù)值模擬

參考現(xiàn)行規(guī)范并結(jié)合實際工程，擬定斜拉索O1A1、O2A2與O3A3基本參數(shù)為：E=1.95×1011Pa，l1=260 m，l2=225 m，l3=200 m，A=0.001 2 m2，f1=1.2 m，f2=1.1 m，f3=1 m，θ1=28°，θ2=32°，θ3=35°，m=100.8 kg/m，T11=6.5×106N，T21=4.86×106N，T31=3.82×106N；主梁的基本參數(shù)為：Ib=8.5 m4，Eb=7.5×109Pa，M=1×105kg/m，L=300 m，L1=260 m，L2=217.12 m，L3=190.14 m。

既有研究表明[12]，當主梁振動頻率與索面內(nèi)一階固有頻率相同時二者會諧波振動，由此確定文中頻率比：索O1A1面內(nèi)一階固有頻率ω1、索O2A2一階頻率ω3、索O3A3一階頻率ω5與主梁固有頻率ω7相等，索O1A1面內(nèi)二階頻率ω2、索O2A2二階頻率ω4與索O3A3二階頻率ω6均為其二倍。假設了5種初速度均為0而初始激勵不同的振動工況，如表1。

表1 索梁振動工況Table 1 Working condition of cable-beam vibration m

將以上參數(shù)代入離散后的振動方程，通過四階-五階Runge-Kutta法，得到不同工況下體系無阻尼振動時的時間位移曲線，結(jié)果如圖3～圖13。

圖3 索O1A1中點一階時程曲線(Ⅰ)Fig. 3 First-order time-history curve at the midpoint of cableO1A1(Ⅰ)

圖4 索O1A1與梁結(jié)合處梁的時程曲線(Ⅰ)Fig. 4 Time-history curve of beam at the junction of cable O1A1and beam(Ⅰ)

圖5 索O1A1中點二階時程曲線(Ⅰ)Fig. 5 Second-order time-history curve at the midpoint of cableO1A1(Ⅰ)

圖6 索O2A2中點一階時程曲線(Ⅰ)Fig. 6 First-order time-history curve at the midpoint of cableO2A2(Ⅰ)

圖7 索O3A3中點一階時程曲線(Ⅰ)Fig. 7 First-order time-history curve at the midpoint of cableO3A3(Ⅰ)

圖8 主梁不同初始擾動下索O1A1跨中一階模態(tài)最大振幅Fig. 8 First-order maximum amplitude at the midpoint of cableO1A1 with different initial disturbance of beam

圖3、圖6與圖7分別表示梁中點的初始位移為0.01 m、索面內(nèi)受到初始擾動為0.001 m且初始速度均為0時索O1A1、O2A2與O3A3中點一階振動模態(tài)時程曲線。圖4、圖5分別為同樣工況下對應索梁結(jié)合處梁的時間位移曲線與索O1A1中點二階振動模態(tài)時程曲線(各索梁連接處梁的時程曲線、各索二階時程曲線均類似)。圖8為工況I條件下改變主梁初始位移，對應索O1A1跨中一階模態(tài)振動最大振幅。在工況I的振動過程中，索的一階模態(tài)振動位移由初位移開始同步周期性地增大、減小，而索的二階位移和梁的位移也存在相似現(xiàn)象，由最初位移周期變化，且短時間內(nèi)最大振幅變化不明顯。不同的是，斜拉索一階模態(tài)與主梁振動均為同步增減，而相應二階模態(tài)正負方向最大振幅交叉呈現(xiàn)。在頻率滿足條件的情況下，當兩條索面內(nèi)一階模態(tài)位移減小時，對應時刻梁的位移增大，振幅周期性地“互補”，表明梁與索一階模態(tài)存在能量交換，即為明顯耦合現(xiàn)象。索二階模態(tài)正方向的最大振幅對應負方向的最小振幅，與索一階最大振幅、梁的最小振幅同時出現(xiàn)，且“拍”頻是它們的二倍，說明索二階模態(tài)與一階模態(tài)、主梁振動的耦合程度不高。由于結(jié)構頻率比不同，索的一階模態(tài)振動與主梁發(fā)生諧波共振，二階模態(tài)與主梁發(fā)生超諧共振現(xiàn)象。因為索一階模態(tài)在主梁不同初始撓度下出現(xiàn)超過初位移100倍的大幅振動，在主梁位移為0.55 m附近還發(fā)生了“跳躍”現(xiàn)象，表現(xiàn)為不穩(wěn)定的非線性，而二階模態(tài)的最大振幅僅為初撓度的二倍左右，因此在小擾動與特定頻率條件下，索梁耦合振動中主要考慮一階模態(tài)是合理的。

圖9、圖10與圖11表示梁中點的初始位移為0.01 m、索面內(nèi)受到初始擾動為0.001 m且初始速度均為0時索O1A1、O2A2與O3A3分別單獨與主梁耦合情況下索中點一階振動模態(tài)的時程曲線。表2為前4種工況下拉索面內(nèi)一階模態(tài)的最大振幅。類似多索單梁的耦合關系，單索單梁的耦合振動也存在周期性地變化，但索的面內(nèi)一階模態(tài)振幅較三索耦合有明顯降低，降幅達97%，且“拍”頻加快，三者比較，振幅變化幅度愈顯著，變化速率愈緩慢，表示在多索結(jié)構中，某根拉索的大幅振動可能是由附近或更遠處的索導致的，同時，單根索的能量也會通過主梁傳遞給其他拉索，以振幅與頻率變化的形式表現(xiàn)出來。因此，大跨度斜拉橋的拉索間并不孤立，而是通過與主梁的耦合振動連接成一個整體。還應該注意到的是，對于三索與梁耦合振動的情況，索O2A2面內(nèi)一階振幅最大，索O1A1振幅最小，這是由于索O1A1、O2A2與O3A3在與主梁結(jié)合處受到的激勵依次增大，而初始弦向張力依次減小。這也表明拉索振幅不一定與拉索長度成比例，處于梁段中部的索振幅有可能最大，對于實際斜拉橋還應綜合考慮環(huán)境激勵等其他因素。

表2 不同工況下拉索一階模態(tài)最大振幅Table 2 First-order maximum amplitude of cable under differentworking conditions

圖9 索O1A1中點一階時程曲線(Ⅱ)Fig. 9 First-order time-history curve at the midpoint of cableO1A1(Ⅱ)

圖10 索O2A2中點一階時程曲線(Ⅲ)Fig. 10 First-order time-history curve at the midpoint of cableO2A2(Ⅲ)

圖11 索O3A3中點一階時程曲線(Ⅳ)Fig. 11 First-order time-history curve at the midpoint of cableO3A3(Ⅳ)

圖12為不考慮拉索二階模態(tài)振動情況下，梁中點的初始位移為0.01 m、索面內(nèi)一階模態(tài)受到初始擾動為0.001 m且初始速度均為0時索O1A1中點面內(nèi)一階模態(tài)振動的時程曲線。圖13為類似工況下考慮拉索二階模態(tài)，但索O1A1二階模態(tài)初始位移為0.001 m，其余索二階模態(tài)沒有受到初始擾動時索O1A1中點一階模態(tài)的時程曲線。經(jīng)對比可以看出，在相同的時間內(nèi)，考慮二階振動模態(tài)的拉索周期性的最大振幅無明顯變化，2 000 s左右的最大振幅為0.816 3 m，而沒有考慮二階模態(tài)的拉索一階模態(tài)振幅卻出現(xiàn)減小趨勢，同一時刻的最大振幅為0.700 9 m。由此可見，二階模態(tài)振動對持續(xù)性的索梁耦合振動有顯著影響，拉索長時間的大幅振動有可能造成其疲勞破壞，因此，在進行拉索疲勞性破壞研究時應將二階模態(tài)納入考量。

圖12 索O1A1中點一階時程曲線(Ⅴ)Fig. 12 First-order time-history curve at the midpoint of cableO1A1(Ⅴ)

圖13 索O1A1中點一階時程曲線(Ⅵ)Fig. 13 First-order time-history curve at the midpoint of cableO1A1(Ⅵ)

4 結(jié) 論

在忽略系統(tǒng)阻尼而考慮垂度的條件下建立了單梁多索結(jié)構面內(nèi)運動微分方程與非線性離散方程，重點探討了在特定頻率條件下主梁和3根斜拉索以及索面內(nèi)一、二階模態(tài)間的耦合振動關系，得到以下結(jié)論：

1)在單梁多索組合體系中，索與梁、索面內(nèi)一階與二階模態(tài)振動互相影響，當索面內(nèi)一階模態(tài)固有振動頻率與主梁相同，二階模態(tài)頻率為其二倍時，受擾動均會發(fā)生不同程度耦合振動現(xiàn)象。與單梁單索結(jié)構相比，三索耦合時的振幅與拍頻明顯不同，表示索與索之間存在能量傳遞，這種耦合作用將多根索通過主梁間接聯(lián)系在一起。對類似多索結(jié)構而言，索間作用不可忽視。

2)索梁耦合振動過程中，拉索一階模態(tài)出現(xiàn)遠超初始擾動100倍以上的大幅振動，同時表現(xiàn)出不穩(wěn)定的非線性特征，對結(jié)構安全造成威脅。

3)索二階模態(tài)耦合振動的最大振幅僅為初始擾動的二倍，在小擾動條件下可以忽略其短時影響。但由于二階模態(tài)振動會造成耦合中的索持續(xù)大幅振動，因此研究拉索疲勞問題時應考慮其作用。