韓 艷， 許紹元， 段江梅， 張建元

(1．昭通學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南昭通657000; 2．韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)系，廣東潮州521041)

1 預(yù)備知識(shí)

2007年Huang等在度量空間的基礎(chǔ)上定義了錐度量空間［1］，許多學(xué)者獲得錐度量空間中的眾多有意義的不動(dòng)點(diǎn)定理［1－9］．2011 年，Cho 等［10］又定義了c－距離，并舉例說明了它是對(duì)古典的Banach壓縮映射的推廣，也是對(duì)錐度量的推廣．文獻(xiàn)［2－3］提出錐度量空間等價(jià)于度量空間．Liu等［5］引入了具有Banach代數(shù)的錐度量空間，證明了具有Banach代數(shù)的錐度量空間不等價(jià)于度量空間．本文將在具有Banach代數(shù)的錐度量空間中c－距離下，討論不動(dòng)點(diǎn)的存在性和唯一性，在不要求錐的正規(guī)性的條件下，獲得了具有更廣泛意義的不動(dòng)點(diǎn)定理，同時(shí)給出了相應(yīng)的例子說明結(jié)論推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)中已有的一些結(jié)論．

設(shè)A是實(shí)Banach代數(shù)，即A是具有乘法運(yùn)算的實(shí) Banach 空間，x，y，z∈A，a∈R，其運(yùn)算具有如下性質(zhì):

1)x(yz)=(xy)z;

2)x(y+z)=xy+xz且(x+y)z=xz+yz;

3)a(xy)=(ax)y=x(ay);

4)‖xy‖≤‖x‖‖y‖［11］．

本文總假設(shè)Banach代數(shù)A具有單位元(即乘法單位元)e，使得對(duì)x∈A有ex=xe=x．元素x∈A稱為可逆的，如果存在一個(gè)元素(稱為它的一個(gè)逆元)y∈A 使得 xy=yx=e．x 的逆元記為 x－1［11］．

命題 1．1［11］設(shè) A 是具有單位元 e的 Banach

代數(shù)，x∈A．若 x 的譜半徑 r(x)＜1，即

則e－x是可逆的，且有∞

注 1．1［11］若 r(k)＜1，則‖kn‖→0(n→∞)．

Banach代數(shù)A中的子集P稱為一個(gè)錐，若滿足下列條件:

(iii)P2=PPP;

(iv)P∩{－P}={θ}，其中θ為A中的零元．

定義 1．1［1，5］設(shè) X 是一個(gè)非空集．若映射 d:X×X→A滿足:

定義 1．2［1，5］設(shè)(X，d)為具有 Banach 代數(shù) A 的錐度量空間，x∈X且{xn}n≥1是X中的一個(gè)序列，則:

(i)稱{xn}n≥1是一個(gè)柯西列，若對(duì)每一個(gè)c∈A且cθ，存在正整數(shù)N使得對(duì)所有的 n，m＞N，d(xn，xm)c;

(ii)稱{xn}n≥1是一個(gè)收斂列，若對(duì)每一個(gè)c∈A且 cθ，存在正整數(shù) N使得對(duì)所有的 n＞N，d(xn，x)c;其中 x∈X，稱 x 是{xn}n≥1的極限，記作:xn→x(n→∞ );

(iii)稱(X，d)為完備的具有Banach代數(shù)的錐度量空間，若對(duì)X中的每個(gè)柯西列都收斂．

定義 1．3［6，10］設(shè)(X，d)為具有 Banach 代數(shù) A的錐度量空間，映射q:X×X→A滿足下列條件:

注 1．2［10］在 c－距離下，q(x，y)=q(y，x)不一定成立，且對(duì)x，y∈X，q(x，y)= θ也不等價(jià)于 x=y．

定義 1．4［12］設(shè)(X，)是一個(gè)半序集，若x，y∈X有 xy或 yx，則稱 x，y是可比的．類似地，稱映射f:X→X是可比映射，如果對(duì)任意可比的x，y∈X，fx、fy是可比的．

注 1．3［12］映射 f稱為關(guān)于非減的，若x，y∈X，xy 有 fxfy．顯然，關(guān)于的可比映射不一定是非減映射．

引理 1．1［13］設(shè) A 是具有單位元 e的 Banach代數(shù)，P 是 A 中的體錐．設(shè) u，α，β∈P，且 αβ，uαu．若 r(β)＜1，則 u=θ．

2 主要結(jié)果

引理2．1 設(shè)(X，d)是具有 Banach代數(shù)A的錐度量空間，q為X上的c－距離，{xn}、{yn}是X中的序列．設(shè) x，y，z∈X，{un}、{vn}是錐 P 中收斂到 θ的2個(gè)序列，則下列結(jié)論成立:

(i) 若 q(xn，y)un且 q(xn，z)vn，則 y=z．特別地，若 q(x，y)= θ且 q(x，z)= θ，則 y=z;

(ii) 若 q(xn，yn)un且 q(xn，z)vn，則{yn}收斂到一點(diǎn)z∈X;

(iii) 若對(duì)任意的 m＞n 有 q(xn，xm)un，則{xn}是X中的一個(gè)Cauchy列;

(iv) 若 q(y，xn)un，則{xn}是 X 中的一個(gè)Cauchy列．

類似可證明(iii)、(iv)也是成立的．

(i) 存在k∈P，使得 r(k)∈(0，1)，且對(duì)任意具有可比性的 x，y∈X，有

其中

(ii) 存在 x0∈X，使得 x0、fx0是可比的，則 f有唯一的不動(dòng)點(diǎn)x*∈X，且q(x*，x*)=θ．

證明 任取x0∈X．若fx0=x0，則證明完成．

假設(shè)fx0≠x0，由條件(ii)以及f是可比的知，i≥0，fix0與 fi+1x0是可比的．令 xn=fnx0=fxn－1，n≥1．于是在(1)式中令 x=xn－1，y=xn得

q(xn，xn+1)=q(fxn－1，fxn)ku，其中下面證明

若 u=q(xn－1，xn)，則(2)式顯然成立．若

則由引理 1．1 得 q(xn，xn+1)=θ．若

根據(jù)定義 1．3(ii)有

從而 q(xn，xn+1)kq(xn－1，xn)．于是，對(duì)任意的n≥1，(2)式成立．所以可得

任給 m＞n≥1，有

又因?yàn)?由注 1．1 知‖kn‖→0，n→∞ )．根據(jù)引理 2．1(iii)知，{xn}是Cauchy列．由X完備，存在x*∈X，使得xn→x*(n→∞)．根據(jù)f的連續(xù)性知，x*是f的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．

下證 q(x*，x*)= θ，由(1)式得****其中由 r(k)＜1及引理1．1可得 q(x*，x*)= θ．

最后證明x*是f的唯一不動(dòng)點(diǎn)．假設(shè)存在z∈X，使得 fz=z，則由(1)式得

其中

(i) 存在k∈P，使得 r(k)∈(0，1)，且對(duì)任意具有可比性的 x，y∈X，有

(ii) 存在 x0∈X，使得 x0、fx0是可比的，則 f有唯一的不動(dòng)點(diǎn)x*∈X，且有q(x*，x*)=θ．

證明 在定理2．1中取u=q(x，y)即得．

注 2．1 由于 c－距離 q(x，y)是對(duì)錐度量d(x，y)的推廣，故推論2．1 推廣了文獻(xiàn)［12］的定理3．5．

例 2．1 設(shè) Banach代數(shù)

定義A的乘法為

xy=(x1，x2)(y1，y2)=(x1y1，x1y2+x2y1)，其中 x=(x1，x2)，y=(y1，y2)∈A，則 A 是一個(gè) Banach 代數(shù)，且單位元為 e=(1，0)．設(shè)

顯然 P 是一個(gè)非正規(guī)錐．設(shè) X=［0，∞)×［0，∞)，d:X×X→A，其中

其中ψ∈P是任意函數(shù)，則(X，d)是一個(gè)具有Banach代數(shù)A的完備的錐度量空間．定義q:X×X→A，q(x，y)=(x+y)ψ，不難驗(yàn)證 q是 X 上的 c－距離．取

對(duì)任意具有可比性的 x，y∈X，取 u=q(x，y)，于是定理2．1的條件均滿足，所以映射f有唯一的不動(dòng)點(diǎn) x=(0，0)，且 q(0，0)=0．

致謝昭通學(xué)院校級(jí)科研項(xiàng)目(2018xj10)對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意．