舒孝珍， 胡春華， 王成強

(1．成都師范學院數(shù)學學院，四川成都611130; 2．西南財經(jīng)大學經(jīng)濟數(shù)學學院，四川成都611130)

1 預備知識

主要研究非線性四階微分方程系統(tǒng)的等價積分方程

邊值條件為

隨著塑料薄膜和人造纖維材料日益增長的工業(yè)應用，研究者們對黏彈性流體產(chǎn)生了極大興趣［1－4］．然而，已有文獻針對的僅僅是二維流體和熱傳導等問題的研究．在黏彈性流體問題中，文獻［5］研究了不穩(wěn)定的三維駐點流體．對于四階微分方程系統(tǒng)(1)和(2)的研究，文獻［6］通過使用同倫分析法獲得了一些研究成果．

在文獻［7－11］的研究中，四階微分方程系統(tǒng)(1)和(2)被用來描述受限于拉伸表面的不可壓縮的黏彈性三維流體;而在本文中，將使用一個積分方程來描述它．對于四階微分方程(1)和(2)，當k=，方程有一個精確解

2 f″(η)在無窮處的極限

引理 2．1 對 0≤K＜1，f(η)是方程(1)和(2)的解時，若 f″(η)＜0，η∈［0，+∞)，則 f″(η)嚴格遞增且=0．

證明 由 f″(η)＜0，η∈［0，+∞)，可以得到:

下面證明 f″(η)在［0，+∞)上嚴格遞增．如若不這樣，那么存在 a、b、c(0≤a＜b＜c)滿足

f″(b) ＞ f″(a)， f″(b) ＞ f″(c)．取 η*∈(a，c)滿足

f″(η*)=max{f″(η):η∈［a，c］}，

與 fiv(η*)≤0 矛盾．因此，f″(η)在［0，+∞)上嚴格遞增，結論成立．

假設存在0≤η1＜η2滿足f″(η1)=f″(η2)，那么f″(η)在 η∈(η1，η2)時是一個常量，因此f(η)=0，并且由方程(1)和(2)可知，當 η∈(η1，η2)時有這和 f″(η1)=f″(η2)矛盾．因此，f″(η)在［0，+∞ )上嚴格遞增，結論成立．

因為 f″(η)在［0，+∞)嚴格單調遞增且有上界0，所以存在．由=0 可得(η)=0．

注2．1 引理2．1說明遠離拉伸平面的流體幾乎不受剪切力的影響．

3 軸對稱流體方程的等價積分方程

利用引理2．1，并且引入一個新的自由變量t和一個新函數(shù)ω(t)，可以把四階微分方程系統(tǒng)(1)和(2)轉化為一個與之等價的奇異積分方程．

定理3．1 若f(η)是方程(1)和(2)的一個解且滿足 f″(η)＜0(η≥0)，令 η=g(t)是 t=f'(η)的反函數(shù)，ω(t)=f″(g(t))，那么 ω(t)滿足積分方程

證明 引入一個新的自由變量t=f'(η)和一個新函數(shù) ω(t)=f″(η)，因為 f″(η)＜0(η≥0)，所以 t=f'(η)在［0，+∞)上嚴格單調遞增．因此 t=f'(η)的反函數(shù)η=g(t)在(0，1］上也嚴格單調遞增，且有 g(0)=+∞，g(1)=0，于是成立

對(5)式關于t求導得

對(6)式關于t求導得

對(7)式關于t求導得

由t=f'(g(t))，得到

且有

對(9)式兩端進行由t到1的積分，可得

因為

可得

把(5)～(8)和(11)式代入方程(1)和(2)得到

由此可得

對(13)式兩端進行由0到t的積分得到

因此

由引理2．1有:

把(15)～(17)式代入(14)式得到

對(19)式兩端進行從0到t的積分得到

于是，可以得到:

由以上各式可得

定理 3．2 假設 ω(t)(t∈(0，1］)是方程(4)的一個負解，令

定義函數(shù)其中，函數(shù)t=h(η)是 η=g(t)的反函數(shù)．于是f(η)滿足方程(1)和(2)，且 f(η)滿足

證明 在定理3．1 中，令 ω(t)(t∈(0，1］)是方程(4)的一個負解，注意到

對 0 ≤ s≤ t，∫t

0 sω(s)ds≤ 0 和 ∫1tω(

s s)ds≤ 0，由(26)式得到

因為當 s≤t時，ω(s)≥ω(t)．于是當 s≤t時有

由此，當0≤t≤1時，有2

即得

令

顯然，g(t)在(0，1］上嚴格單調遞增，且

令t=h(η)是η=g(t)的反函數(shù)，定義函數(shù)

由(30)式，可得 f'(η)=h(η)，且

由(29)式，可知

對(31)式求關于η的導數(shù)，可得

對(32)式求關于η的導數(shù)，可得

對(33)式求關于η的導數(shù)，可得

對(4)式求關于t的導數(shù)，可得

對(35)式求關于t的導數(shù)，可得

在(36)式的兩端同時乘以ω(t)，得到

把 t=f'(η)代入(37)式，并且由(32)～(34)式得

下面證明

令

由(32)式得

且有

故 C=0．因此，可知

把(39)式代入(38)式中可得

滿足四階微分方程系統(tǒng)(1)和(2)且

一般情況下，直接探究四階微分方程系統(tǒng)(1)和(2)的解的存在性以及解的性質比較困難，本文建立了與之等價的積分方程，因而可以通過研究積分方程的解及其性質來探求四階微分方程的解及其性質．