廖群英

（四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都610066）

1 引言和主要結(jié)果

熟知正整數(shù)n的歐拉函數(shù)φ（n）定義為序列1，2，…，n中與n 互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)［1］．該函數(shù)是RSA公鑰密碼體制得以建立的重要數(shù)學(xué)工具之一［2］．

另一方面，早在1637年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出了如下的猜想：當(dāng)n≥3時(shí)，方程

沒(méi)有正整數(shù)解（x，y，z）．而要證明費(fèi)馬大定理，實(shí)際上只需證明x4＋y4＝z4和xp＋yp＝zp（p是奇素?cái)?shù)）均無(wú)正整數(shù)解．費(fèi)馬本人證明了n＝4的情形，而對(duì)于n為奇質(zhì)數(shù)的情形的費(fèi)馬大定理的證明進(jìn)展相當(dāng)緩慢．之后，數(shù)學(xué)家們稱(chēng)方程

沒(méi)有正整數(shù)解為費(fèi)馬大定理第一情形，而方程

沒(méi)有正整數(shù)解為費(fèi)馬大定理的第二情形．20世紀(jì)初，文獻(xiàn)［3］證明了：若pq2（p）且pq3（p），則費(fèi)馬大定理第一情形成立，其中

1938年，Lehmer［4］證明了

即對(duì)任意n∈｛2，3，4，6｝，若

成立，則費(fèi)馬大定理第一情形成立，從而Lemher同余式在證明費(fèi)馬大定理中起到至關(guān)重要的作用，其中p是奇質(zhì)數(shù)，?」表示下取整函數(shù)．為將Lehmer同余式從模奇質(zhì)數(shù)的平方推廣至模任意整數(shù)的平方，文獻(xiàn)［5－6］引入了廣義歐拉函數(shù)的概念．

定義1．1［5－6］正整數(shù)n的廣義歐拉函數(shù)定義為

即φe（n）等于序列1，2，…，中與n互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，其中e為正整數(shù)．容易證明

其中［·］是高斯取整函數(shù)，μ（n）是麥比烏斯函數(shù)，

從而研究廣義歐拉函數(shù)的計(jì)算公式及其性質(zhì)，對(duì)于

推廣的Lehmer同余式的研究提供了理論參考．

命題1．1［7］設(shè)，其中pi為質(zhì)數(shù)且gcd（pi，3）＝1（1≤i≤t），則

命題1．2［8］設(shè)，其中pi為質(zhì)數(shù)且gcd（pi，2）＝1（1≤i≤t），則

命題1．3［8］設(shè)n＝2α3βn1＞6，其 中n1＝，pi為質(zhì)數(shù)且gcd（pi，6）＝1（1≤i≤t），則

當(dāng)e＝5或e≥7時(shí)，命題1．1～1．3的方法和技巧對(duì)于廣義歐拉函數(shù)φe（n）的計(jì)算公式的確定是無(wú)效的，因此上述3個(gè)命題也是迄今為止關(guān)于廣義歐拉函數(shù)計(jì)算公式的最好結(jié)果．欲給出一般情形下廣義歐拉函數(shù)的準(zhǔn)確計(jì)算公式，需要尋求新的方法和技巧．

命題1．3中當(dāng)62｜n時(shí)

因此，一個(gè)很自然的問(wèn)題如下．

問(wèn)題1．1 對(duì)任意整數(shù)n以及n的正因數(shù)e，是否都有φe（n）＝φ（n）／e呢？

本文利用廣義歐拉函數(shù)的定義和初等數(shù)論的方法和技巧，基本解決了上述問(wèn)題．具體地講，設(shè)正整數(shù)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為其中p1，…，pt為不同的質(zhì)數(shù)．對(duì)n的絕大部分正因數(shù)e，完全確定了相應(yīng)的廣義歐拉函數(shù)φe（n）的準(zhǔn)確計(jì)算公式．即證明了如下主要結(jié)果．

定理1．1 設(shè)正整數(shù)

其中p1，…，pt為不同的質(zhì)數(shù)，正整數(shù)αi≥1（i＝1，2，…，t），則對(duì)n的正因數(shù)

有

注記1．1 在定理1．1中取p1＝3且α1≥2，則得命題1．1公式中的第2種情形；取p1＝2，α1≥2，則得命題1．2公式中的第2種情形；取p1＝2，p2＝3且α1，β1≥1時(shí)，得命題1．3公式中的第4種情形．

另一方面，文獻(xiàn)［7－8］還討論了φe（n）（e＝2，3，4，6）的奇偶性，給出相應(yīng)的φe（n）為奇數(shù)的充分必要條件．基于定理1．1，本文給出當(dāng)e為n的一些特殊正因數(shù)時(shí)，相應(yīng)的φe（n）為偶數(shù)的等價(jià)刻畫(huà)．

定理1．2 1）條件同定理1．1，則φe（n）為偶（奇）數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)φ（n）／e為偶（奇）數(shù)．特別地，當(dāng)e為正奇數(shù)時(shí)，φe（n）為偶數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)n≥3．

2）對(duì)任意正整數(shù)n，φ2（n）為偶數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)n至少含有3個(gè)不同的質(zhì)因數(shù)，或者以下條件之一成立：

1）n＝2α，α≥3；

2）n＝2αpβ，p為奇質(zhì)數(shù)，α≥2或者α＝1且4｜p－1；

3）n為奇數(shù)且含有2個(gè)不同的奇質(zhì)因數(shù)，或者n＝pα且p＝4k＋1為奇質(zhì)因數(shù)．

2 主要結(jié)果的證明

在證明主要結(jié)果之前，先給出如下引理．引理2．1［1］正整數(shù)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為

其中p1，…，pt為不同的質(zhì)數(shù)，則n的歐拉函數(shù)

定理1．1的證明 注意到，由n＝pα11…ptαt，以及e為n的正因數(shù)，可知必有

因此，由定義1．1可知φe（n）等于不超過(guò)

且與n互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)．注意到任意的βi≤αi－1，故對(duì)任意正整數(shù)k≤n／e有因此由引理2．1可得

這就完成了定理1．1的證明．

2）當(dāng)n＝2時(shí)，φ2（2）＝1／2不是整數(shù)．因此n≥3，此時(shí)φ（n）為偶數(shù)且φ2（n）＝φ（n）／2．從而φ2（n）為偶數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)4｜φ（n）．又由n＝pα11…ptαt以及引理2．1可知

故若t≥3，即至少有2個(gè)pi為奇質(zhì)數(shù)，此時(shí)必有4｜φ（n）．若t＝1，2，則有以下2種情形．

情形一 若n為偶數(shù)，不妨設(shè)p1＝2．

若t＝1，即n＝2α，則4｜φ（n）當(dāng)且僅當(dāng)8｜n，即α≥3，此即為1）．

若t＝2，即n＝2α1pα22，其中p2為奇質(zhì)數(shù)，此時(shí)

故當(dāng)α1＝1時(shí)，4｜φ（n）當(dāng)且僅當(dāng)4｜p2－1；而當(dāng)α1≥2時(shí)，顯然有4｜φ（n）．此即為2）．

情形二 若n為奇數(shù)，則pi（i＝1，2）均為奇質(zhì)數(shù)，從而2｜pi－1．故當(dāng)t＝1時(shí)，即n＝pα11時(shí)，4｜φ（n）當(dāng)且僅當(dāng)4｜p1－1；而當(dāng)t＝2時(shí)，顯然有4｜φ（n）．此即為3）．

這就完成了定理1．2的證明．

3 結(jié)束語(yǔ)

本文推廣了Cai等［7－8］的部分結(jié)果，利用初等數(shù)論與組合的方法和技巧，完全確定了一類(lèi)廣義歐拉函數(shù)的計(jì)算公式，即給出當(dāng)e為n的一些特殊類(lèi)型的正因數(shù)時(shí)，φe（n）的準(zhǔn)確計(jì)算公式．最后討論了φe（n）的奇偶性．

要特別說(shuō)明的是，當(dāng)正整數(shù)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為

時(shí)，熟知n的任意正因數(shù)形如

而定理1．1中的正因數(shù)e的表達(dá)式中所有指數(shù)βi≤αi－1．這是因?yàn)楦鶕?jù)定義1．1可知φe（n）為整數(shù)，要使得φe（n）＝φ（n）／e，則φ（n）／e也必須要為整數(shù)．當(dāng)某個(gè)βi＝αi時(shí)，比如β1＝α1，則由定理1．1的證明可知，此時(shí)如果p1＝max｛p1，…，pt｝，則上面式子的右邊不是整數(shù)，從而矛盾．

比如當(dāng)n＝50＝2·52時(shí)，容易計(jì)算出φ（50）＝20．如果e＝5，直接計(jì)算知道從1到n／e＝10中與50互質(zhì)的整數(shù)恰有4個(gè)，即1，3，7，9．另一方面，由定理1．1的公式也可得出但是，如果e＝52＝25，直接計(jì)算知道從1到＝2中與50互質(zhì)的整數(shù)恰有1個(gè)，從而

4／5甚至都不是整數(shù)．