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        非自治半線性退化隨機拋物方程的動力學(xué)行為

        2019-08-31 07:19:14李曉軍
        關(guān)鍵詞:定義

        楊 瀟, 李曉軍

        (河海大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 南京211100)

        1 預(yù)備知識

        考慮在DN上帶有Wiener型乘積噪聲的非自治半線性退化拋物方程

        其中,DNRN(N≥2)是一個具有光滑邊界DN的有界區(qū)域,λ 是正常數(shù),g(t,x)∈L2loc(R;L2(DN)),ω是定義在概率空間上的雙邊實值 Wiener過程.非線性f∈C1(R,R),滿足:

        其中,l>0,αi,βi>0,i=1,2.對于方程(1)中非負可測的擴散系數(shù)σ(x),σ:DN→R+∪0,假設(shè)滿足:

        使得

        對于確定的半線性退化拋物方程的動力學(xué)已有大量的研究,如文獻[1-3].由于退化擴散系數(shù)的出現(xiàn),退化拋物方程動力學(xué)行為的研究有別于傳統(tǒng)的方法,主要表現(xiàn)在解的正則性估計與緊吸引集或吸收集的得到.自然界的許多現(xiàn)象帶有隨機性,帶隨機項的拋物方程動力學(xué)行為研究也備受關(guān)注(如文獻[4-8]).文獻[4]研究了非退化帶乘積噪聲拋物方程隨機吸引子的存在性,文獻[9-10]研究了帶可加噪聲自治的退化拋物方程吸引子的存在性與正則性.

        本文在有界域上研究帶乘積噪聲的非自治退化系統(tǒng)(1)隨機吸引子的存在性.首先,通過Ornstein-Uhlenbeck變換,將方程(1)轉(zhuǎn)化為一帶隨機參數(shù)的方程.其次,通過限制非自治項的增長和在(2)和(3)式之下,說明D-拉回吸收集的存在性.最后,通過在權(quán)空間中解的正則性估計,得到緊的吸引集.

        令‖·‖和(·,·)表示在L2(DN)上的范數(shù)和內(nèi)積,‖·‖p表示Lp(DN)上的范數(shù).

        1.1 函數(shù)空間 假設(shè)N≥2,α∈(0,2),令

        令空間D1,20(DN,σ)是C∞0按下列范數(shù)的閉包

        D10,2(DN,σ)上的內(nèi)積定義為:

        按此內(nèi)積定義的空間 D10,2(DN,σ)是一個 Hilbert空間,由文獻[11-12]有以下結(jié)論.

        引理1.1 假設(shè)DN是RN上的有界集,N≥2,且σ滿足條件(h),則有:

        1)D10,2(DN,σ)L2α*(DN)是連續(xù)的;

        2)當p∈[1,2α*)時,D10,2(DN,σ)Lp(DN)是緊的.

        1.2 隨機動力系統(tǒng) 以下敘述中關(guān)于隨機動力系統(tǒng)的相關(guān)概念與理論,可參考文獻[5-6,13].

        令Q是一個非空集,(Ω,F(xiàn),P)是一個概率空間.(X,‖·‖X)是一可分的Hiblert空間,其上的Borelσ-代數(shù)為 B(X).對任意的t∈R,σt:Q→Q是一映射,稱(Q,{σt}t∈R)為一參數(shù)動力系統(tǒng),若對任意的s、t∈R,有σs+t=σsοσt,σ0是Q 上的恒同映射.類似地,θ:R×Ω→Ω是(B(R)×F,F(xiàn))-可測的,θ0在Ω上恒同映射,且對任意的s、t∈R,有θs+t=θsοθt和θtp=p,稱(Ω,F(xiàn),P,{θt}t∈R)為度量動力系統(tǒng).

        定義1.2 令(Q,{σt}t∈R)和(Ω,F(xiàn),P,{θt}t∈R)分別為參數(shù)動力系統(tǒng)和度量動力系統(tǒng),映射

        稱為X 上定義在(Q,{σt}t∈R)和(Ω,F(xiàn),P,{θt}t∈R)上的隨機余圈,如果對于任意的q∈Q,w∈Ω和任意的s,t∈R+,有:是可測;

        (ii)φ(0,q,w,·)是X 上的恒同映射;

        稱為隨機余圈φ在X中的連續(xù)余圈,如果對于任意的q∈Q,w∈Ω 和t∈R+,φ(t,q,w,·)在X 中是連續(xù)的.

        令D表示X中非空子集組成的集合

        為確保拉回吸引子的唯一性,引入下面概念:稱D是包含閉,若對任意的

        如果

        那么

        定義1.5 令D是X的非空子集族組成的集合.稱φ是X上D-拉回漸近緊,如果對任意的q∈Q,ω∈Ω,當xn∈B(σ-tnq,θ-tnω),其中

        且tn→∞時,序列在X中有收斂子列.

        定義1.6 令A(yù)={A(q,ω):q∈Q,ω∈Ω}∈D,稱A是φ的D-拉回吸引子,如果:

        (i)A關(guān)于F在Ω中是可測的,且對任意的q∈Q,ω∈Ω,A(q,ω)是緊的;

        (ii)A是不變的,即對任意的q∈Q,ω∈Ω,φ(t,q,ω,A(q,ω))=A(σtq,θtω),t≥0;(iii)A吸引D中任意集合,即

        公司生技部、安監(jiān)部、人資部、市場部等部門負責(zé)人,公司黨校(教育培訓(xùn)評價中心)分管培訓(xùn)負責(zé)人,各地市級供電單位,云南電科院、建設(shè)分公司、帶電作業(yè)分公司、送變電工程公司等分管生產(chǎn)和安監(jiān)的相關(guān)負責(zé)人,以及各供電局縣級供電企業(yè)分管生產(chǎn)的負責(zé)人共計80多人參加會議。

        其中d(·,·)是X上的Hausdorff半距離.

        定理1.7 令D是X的非空子集族組成的集合,且是包含閉的.φ 是X 上定義在(Q,{σt}t∈R)和(Ω,F(xiàn),P,{θt}t∈R)上的連續(xù)余圈,則φ有唯一的 D-拉回吸引子A存在當且僅當φ在D上有一個閉可測的D-拉回吸收集

        K={K(q,ω):q∈Q,ω∈Ω},

        2 方程(1)的變換系統(tǒng)

        下面通過Ornstein-Uhlenbeck變換將方程(1)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的含隨機參數(shù)的非自治方程.

        定義作用于(Ω,F(xiàn),P)的群{θt}t∈R:

        由文獻[5-6,14]知,其穩(wěn)定解為

        其中u是方程(1)的解,則v是

        的解,其初值條件為

        由文獻[14]中引理3.1可知,e-bz*(ω)是緩增的.設(shè)方程(1)中的λ滿足

        則由遍歷定理[15]可知

        運用經(jīng)典的Galerkin方法[16]可知,如果g(t,x)∈Ll2oc(R;L2(DN)),f 滿足(2)和(3)式時,方程(8)和(9)在L2(DN)中存在唯一的弱解v(·,τ,ω,vτ),且對任意關(guān)于t≥τ,解關(guān)于初值vτ連續(xù)依賴.對t∈R+,τ∈R,ω∈Ω和uτ∈L2(DN),定義

        則φ是方程(1)在L2(DN)生成的連續(xù)隨機余圈.令B是L2(DN)中的有界非空子集,‖B‖=suupB‖u‖L2(DN).假

        ∈設(shè)D={D(τ,ω):τ∈R,ω∈Ω}是L2(DN)的一族有界非空子集,且滿足:對任意的τ∈R,ω∈Ω,有

        令D表示L2(DN)中滿足(13)式的有界非空子集組成的集合,即

        顯然D是包含閉的.

        對非自治外力項g(x,t),假設(shè)

        3 隨機吸引子的存在性

        對方程(8)的解進行一致估計,證明D-拉回吸收集的存在性和余圈φ的漸近緊性,從而得到隨機吸引子的存在性.

        引理3.1 假設(shè)(2)、(3)及(15)式成立,則對任意的 D={D(τ,ω):τ∈R,ω∈Ω}∈D,存在T=T(τ,ω,D)>0,當t≥T 時,有

        其中vτ-t∈D(τ-t,θ-τω).

        證明 將(8)式與v在L2(DN)中作內(nèi)積,可得

        注意到,由(2)~(4)式、H?lder不等式以及Young不等式,可得:

        由(17)~(19)式有

        在[τ-t,τ]和t>0對(21)式應(yīng)用Gronwall引理可得

        在(22)式中,用θ-τω 代替ω 得

        由于e-2bz*(θtω)是緩增的,故對任意的ε1>0,存在T1=T1(ε1,ω),有

        由(11)式可得,對任意的ε2,存在T2=T2(ε2,ω),有令ε=ε=1γ珔,對t>T=max{T,T},有

        124312

        應(yīng)用(15)和(24)~(26)式有

        故對任意的τ∈R,ω∈Ω和D∈D,存在T=T(τ,ω,D)>0,使得t≥T時,有

        引理3.2 假設(shè)(2)、(3)和(15)式成立,則對任意的τ∈R,ω∈Ω,D={D(τ,ω):τ∈R,ω∈Ω}∈D,存在T′=T(τ,ω,D)≥1,使得當t≥T′時,有

        其中,r>max{T3,T′}.

        證明 將(21)式在[0,t],t>0上應(yīng)用 Gronwall引理,有

        在(28)式中首先用T4代替t,T4>T3,再用θ-tω 代替ω,有

        故對充分大的t,t>T4,應(yīng)用(24)式得(29)式兩邊同乘以e34(T4-t)γ珔得

        (20)式在[T4,t]上應(yīng)用Gronwall引理,t>T4+T3,用θ-tω 代替ω 并應(yīng)用(30)式得

        在(31)式中,用t代替T4,t+r代替t,其中r>T3,有

        注意到,對t≤s≤t+r,有

        由于‖v0(θ-t-rω)‖2是緩增的,故存在T′(D,ω)>0,當r>max{T3,T′},由(32)和(33)式可得

        引理3.3 假設(shè)(2)、(3)和(15)式成立,則對任意的τ∈R,ω∈Ω,D={D(τ,ω):τ∈R,ω∈Ω}∈D,存在T″=T″(τ,ω,D)≥1,使得當t≥T″時,有

        證明 將(8)式與 Av=-div(σ(x)▽v)在L2(DN)中作內(nèi)積,有

        注意到

        由(34)~(36)式可得取t≥T′,且s∈(t,t+r),這里T′與r同引理3.2,對(37)式在(s,t+r)上積分,有

        用θ-t-rω 代替ω 有

        對(39)式中s在(s,t+r)上積分有

        由引理3.2可得

        至此,有下面主要結(jié)果.

        定理3.4 假設(shè)(2)、(3)、(8)和(9)式成立,則由系統(tǒng)(1)生成的隨機動力系統(tǒng)φ于L2(DN)上存在唯一的隨機吸引子A.

        證明 由引理3.1可知,在假設(shè)(8)和(9)成立下,φ于L2(DN)中存在緩增的拉回吸收集.由引理3.3可知,φ是拉回漸近緊的,故應(yīng)用定理1.7,結(jié)論成立.

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