楊 瀟， 李曉軍

（河海大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京211100）

1 預(yù)備知識(shí)

考慮在DN上帶有Wiener型乘積噪聲的非自治半線性退化拋物方程

其中，DNRN（N≥2）是一個(gè)具有光滑邊界DN的有界區(qū)域，λ 是正常數(shù)，g（t，x）∈L2loc（R；L2（DN）），ω是定義在概率空間上的雙邊實(shí)值 Wiener過程．非線性f∈C1（R，R），滿足：

其中，l＞0，αi，βi＞0，i＝1，2．對(duì)于方程（1）中非負(fù)可測(cè)的擴(kuò)散系數(shù)σ（x），σ：DN→R＋∪0，假設(shè)滿足：

使得

對(duì)于確定的半線性退化拋物方程的動(dòng)力學(xué)已有大量的研究，如文獻(xiàn)［1－3］．由于退化擴(kuò)散系數(shù)的出現(xiàn)，退化拋物方程動(dòng)力學(xué)行為的研究有別于傳統(tǒng)的方法，主要表現(xiàn)在解的正則性估計(jì)與緊吸引集或吸收集的得到．自然界的許多現(xiàn)象帶有隨機(jī)性，帶隨機(jī)項(xiàng)的拋物方程動(dòng)力學(xué)行為研究也備受關(guān)注（如文獻(xiàn)［4－8］）．文獻(xiàn)［4］研究了非退化帶乘積噪聲拋物方程隨機(jī)吸引子的存在性，文獻(xiàn)［9－10］研究了帶可加噪聲自治的退化拋物方程吸引子的存在性與正則性．

本文在有界域上研究帶乘積噪聲的非自治退化系統(tǒng)（1）隨機(jī)吸引子的存在性．首先，通過Ornstein－Uhlenbeck變換，將方程（1）轉(zhuǎn)化為一帶隨機(jī)參數(shù)的方程．其次，通過限制非自治項(xiàng)的增長(zhǎng)和在（2）和（3）式之下，說明D－拉回吸收集的存在性．最后，通過在權(quán)空間中解的正則性估計(jì)，得到緊的吸引集．

令‖·‖和（·，·）表示在L2（DN）上的范數(shù)和內(nèi)積，‖·‖p表示Lp（DN）上的范數(shù)．

1．1 函數(shù)空間 假設(shè)N≥2，α∈（0，2），令

令空間D1，20（DN，σ）是C∞0按下列范數(shù)的閉包

D10，2（DN，σ）上的內(nèi)積定義為：

按此內(nèi)積定義的空間 D10，2（DN，σ）是一個(gè) Hilbert空間，由文獻(xiàn)［11－12］有以下結(jié)論．

引理1．1 假設(shè)DN是RN上的有界集，N≥2，且σ滿足條件（h），則有：

1）D10，2（DN，σ）L2α＊（DN）是連續(xù)的；

2）當(dāng)p∈［1，2α＊）時(shí)，D10，2（DN，σ）Lp（DN）是緊的．

1．2 隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng) 以下敘述中關(guān)于隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的相關(guān)概念與理論，可參考文獻(xiàn)［5－6，13］．

令Q是一個(gè)非空集，（Ω，F(xiàn)，P）是一個(gè)概率空間．（X，‖·‖X）是一可分的Hiblert空間，其上的Borelσ－代數(shù)為 B（X）．對(duì)任意的t∈R，σt：Q→Q是一映射，稱（Q，｛σt｝t∈R）為一參數(shù)動(dòng)力系統(tǒng)，若對(duì)任意的s、t∈R，有σs＋t＝σsοσt，σ0是Q 上的恒同映射．類似地，θ：R×Ω→Ω是（B（R）×F，F(xiàn)）－可測(cè)的，θ0在Ω上恒同映射，且對(duì)任意的s、t∈R，有θs＋t＝θsοθt和θtp＝p，稱（Ω，F(xiàn)，P，｛θt｝t∈R）為度量動(dòng)力系統(tǒng)．

定義1．2 令（Q，｛σt｝t∈R）和（Ω，F(xiàn)，P，｛θt｝t∈R）分別為參數(shù)動(dòng)力系統(tǒng)和度量動(dòng)力系統(tǒng)，映射

稱為X 上定義在（Q，｛σt｝t∈R）和（Ω，F(xiàn)，P，｛θt｝t∈R）上的隨機(jī)余圈，如果對(duì)于任意的q∈Q，w∈Ω和任意的s，t∈R＋，有：是可測(cè)；

（ii）φ（0，q，w，·）是X 上的恒同映射；

稱為隨機(jī)余圈φ在X中的連續(xù)余圈，如果對(duì)于任意的q∈Q，w∈Ω 和t∈R＋，φ（t，q，w，·）在X 中是連續(xù)的．

令D表示X中非空子集組成的集合

為確保拉回吸引子的唯一性，引入下面概念：稱D是包含閉，若對(duì)任意的

如果

那么

定義1．5 令D是X的非空子集族組成的集合．稱φ是X上D－拉回漸近緊，如果對(duì)任意的q∈Q，ω∈Ω，當(dāng)xn∈B（σ－tnq，θ－tnω），其中

且tn→∞時(shí)，序列在X中有收斂子列．

定義1．6 令A(yù)＝｛A（q，ω）：q∈Q，ω∈Ω｝∈D，稱A是φ的D－拉回吸引子，如果：

（i）A關(guān)于F在Ω中是可測(cè)的，且對(duì)任意的q∈Q，ω∈Ω，A（q，ω）是緊的；

（ii）A是不變的，即對(duì)任意的q∈Q，ω∈Ω，φ（t，q，ω，A（q，ω））＝A（σtq，θtω），t≥0；（iii）A吸引D中任意集合，即

公司生技部、安監(jiān)部、人資部、市場(chǎng)部等部門負(fù)責(zé)人，公司黨校(教育培訓(xùn)評(píng)價(jià)中心)分管培訓(xùn)負(fù)責(zé)人，各地市級(jí)供電單位，云南電科院、建設(shè)分公司、帶電作業(yè)分公司、送變電工程公司等分管生產(chǎn)和安監(jiān)的相關(guān)負(fù)責(zé)人，以及各供電局縣級(jí)供電企業(yè)分管生產(chǎn)的負(fù)責(zé)人共計(jì)80多人參加會(huì)議。

其中d（·，·）是X上的Hausdorff半距離．

定理1．7 令D是X的非空子集族組成的集合，且是包含閉的．φ 是X 上定義在（Q，｛σt｝t∈R）和（Ω，F(xiàn)，P，｛θt｝t∈R）上的連續(xù)余圈，則φ有唯一的 D－拉回吸引子A存在當(dāng)且僅當(dāng)φ在D上有一個(gè)閉可測(cè)的D－拉回吸收集

K＝｛K（q，ω）：q∈Q，ω∈Ω｝，

2 方程（1）的變換系統(tǒng)

下面通過Ornstein－Uhlenbeck變換將方程（1）轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的含隨機(jī)參數(shù)的非自治方程．

定義作用于（Ω，F(xiàn)，P）的群｛θt｝t∈R：

由文獻(xiàn)［5－6，14］知，其穩(wěn)定解為

其中u是方程（1）的解，則v是

的解，其初值條件為

由文獻(xiàn)［14］中引理3．1可知，e－bz＊（ω）是緩增的．設(shè)方程（1）中的λ滿足

則由遍歷定理［15］可知

運(yùn)用經(jīng)典的Galerkin方法［16］可知，如果g（t，x）∈Ll2oc（R；L2（DN）），f 滿足（2）和（3）式時(shí)，方程（8）和（9）在L2（DN）中存在唯一的弱解v（·，τ，ω，vτ），且對(duì)任意關(guān)于t≥τ，解關(guān)于初值vτ連續(xù)依賴．對(duì)t∈R＋，τ∈R，ω∈Ω和uτ∈L2（DN），定義

則φ是方程（1）在L2（DN）生成的連續(xù)隨機(jī)余圈．令B是L2（DN）中的有界非空子集，‖B‖＝suupB‖u‖L2（DN）．假

∈設(shè)D＝｛D（τ，ω）：τ∈R，ω∈Ω｝是L2（DN）的一族有界非空子集，且滿足：對(duì)任意的τ∈R，ω∈Ω，有

令D表示L2（DN）中滿足（13）式的有界非空子集組成的集合，即

顯然D是包含閉的．

對(duì)非自治外力項(xiàng)g（x，t），假設(shè)

3 隨機(jī)吸引子的存在性

對(duì)方程（8）的解進(jìn)行一致估計(jì)，證明D－拉回吸收集的存在性和余圈φ的漸近緊性，從而得到隨機(jī)吸引子的存在性．

引理3．1 假設(shè)（2）、（3）及（15）式成立，則對(duì)任意的 D＝｛D（τ，ω）：τ∈R，ω∈Ω｝∈D，存在T＝T（τ，ω，D）＞0，當(dāng)t≥T 時(shí)，有

其中vτ－t∈D（τ－t，θ－τω）．

證明 將（8）式與v在L2（DN）中作內(nèi)積，可得

注意到，由（2）～（4）式、H?lder不等式以及Young不等式，可得：

由（17）～（19）式有

故

在［τ－t，τ］和t＞0對(duì)（21）式應(yīng)用Gronwall引理可得

在（22）式中，用θ－τω 代替ω 得

由于e－2bz＊（θtω）是緩增的，故對(duì)任意的ε1＞0，存在T1＝T1（ε1，ω），有

由（11）式可得，對(duì)任意的ε2，存在T2＝T2（ε2，ω），有令ε＝ε＝1γ珔，對(duì)t＞T＝max｛T，T｝，有

124312

應(yīng)用（15）和（24）～（26）式有

故對(duì)任意的τ∈R，ω∈Ω和D∈D，存在T＝T（τ，ω，D）＞0，使得t≥T時(shí)，有

引理3．2 假設(shè)（2）、（3）和（15）式成立，則對(duì)任意的τ∈R，ω∈Ω，D＝｛D（τ，ω）：τ∈R，ω∈Ω｝∈D，存在T′＝T（τ，ω，D）≥1，使得當(dāng)t≥T′時(shí)，有

其中，r＞max｛T3，T′｝．

證明 將（21）式在［0，t］，t＞0上應(yīng)用 Gronwall引理，有

在（28）式中首先用T4代替t，T4＞T3，再用θ－tω 代替ω，有

故對(duì)充分大的t，t＞T4，應(yīng)用（24）式得（29）式兩邊同乘以e34（T4－t）γ珔得

（20）式在［T4，t］上應(yīng)用Gronwall引理，t＞T4＋T3，用θ－tω 代替ω 并應(yīng)用（30）式得

在（31）式中，用t代替T4，t＋r代替t，其中r＞T3，有

注意到，對(duì)t≤s≤t＋r，有

由于‖v0（θ－t－rω）‖2是緩增的，故存在T′（D，ω）＞0，當(dāng)r＞max｛T3，T′｝，由（32）和（33）式可得

引理3．3 假設(shè)（2）、（3）和（15）式成立，則對(duì)任意的τ∈R，ω∈Ω，D＝｛D（τ，ω）：τ∈R，ω∈Ω｝∈D，存在T″＝T″（τ，ω，D）≥1，使得當(dāng)t≥T″時(shí)，有

證明 將（8）式與 Av＝－div（σ（x）▽v）在L2（DN）中作內(nèi)積，有

注意到

由（34）～（36）式可得取t≥T′，且s∈（t，t＋r），這里T′與r同引理3．2，對(duì)（37）式在（s，t＋r）上積分，有

用θ－t－rω 代替ω 有

對(duì)（39）式中s在（s，t＋r）上積分有

由引理3．2可得

至此，有下面主要結(jié)果．

定理3．4 假設(shè)（2）、（3）、（8）和（9）式成立，則由系統(tǒng)（1）生成的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)φ于L2（DN）上存在唯一的隨機(jī)吸引子A．

證明 由引理3．1可知，在假設(shè)（8）和（9）成立下，φ于L2（DN）中存在緩增的拉回吸收集．由引理3．3可知，φ是拉回漸近緊的，故應(yīng)用定理1．7，結(jié)論成立．