華 凱，范留明，2，車軍鵬

(1.西安理工大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，陜西西安710048；2.西安理工大學(xué)陜西省黃土力學(xué)與工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安710048)

在場地地震反應(yīng)研究中，通常假定場地地層是水平無限大成層介質(zhì)，將入射地震波簡化為從基巖垂直向上傳播的體波。事實(shí)上，越來越多的研究表明，地震波并非以垂直方式透過基巖入射至近地場，而是以斜入射的方式透過基巖入射至自由表面。特別是對于淺源地震，將地震波入射視為垂直入射與實(shí)際不符[1]。按照所研究對象的不同，大致可將地震波斜入射作用下的動力反應(yīng)問題分為兩大類[2]，一類是工程場地或復(fù)雜地形的地震反應(yīng)問題[3-6]，另一類是大型建(構(gòu))筑物的地震響應(yīng)問題[7-10]。無論哪一類問題，地震波的入射角都成為了研究場地地震反應(yīng)一個(gè)不得不考慮的問題。這個(gè)問題本質(zhì)上是一個(gè)二維空間問題，地震波垂直入射實(shí)際上是地震波斜入射入射角等于0°的一個(gè)特殊情況。二維場地反應(yīng)分析方法主要分為頻域和時(shí)域兩種方法。其中傳遞矩陣法和剛度矩陣法是頻域分析法中典型的兩種方法。如果考慮土體本構(gòu)關(guān)系的非線性行為時(shí)，就需要使用時(shí)域數(shù)值分析方法。非線性方法雖然更接近實(shí)際，但因其參數(shù)選擇較為困難，工程應(yīng)用并不是十分廣泛。本文基于以上兩種方法存在的問題，提出射線傳播理論的場地反應(yīng)分析方法，該方法原理清晰、計(jì)算簡捷、適用性強(qiáng)。從研究現(xiàn)狀看[11-17]，其他學(xué)者采用不同的方法對斜入射地震波作用下的地表響應(yīng)或地表建筑響應(yīng)進(jìn)行了相應(yīng)研究，研究成果均表明地震波斜入射時(shí)地表響應(yīng)比垂直入射地表響應(yīng)有所增強(qiáng)。但對于地震動其他特性的研究相對較少。為此，本文以均勻場地為例，在推求得到場地反應(yīng)理論解的基礎(chǔ)上，詳細(xì)地研究了地震波入射角對地震動幅值大小、持續(xù)時(shí)間、運(yùn)動軌跡的影響。

1 斜入射波作用下的場地響應(yīng)

斜入射地震波作用下的場地振動與垂直入射情況有很大不同，從動力學(xué)角度而言，前者較后者復(fù)雜得多。為了能夠找到一種精確計(jì)算場地反應(yīng)的模型，下面以單層均勻場地為例，假定基巖面為無限大水平面，推求其在斜入射地震波作用下場地反應(yīng)的理論解。在推導(dǎo)過程中，把場地地層看作為均勻彈性介質(zhì)，與基巖共同構(gòu)成雙層彈性介質(zhì)模型；把來自基巖的地震波看作成從無限遠(yuǎn)處發(fā)射的平面波，把沿著不同傳播路徑到達(dá)地面同一點(diǎn)處地震波按照到達(dá)時(shí)間先后進(jìn)行疊加運(yùn)算，形成地震時(shí)程，則此地震時(shí)程就是斜入射地震波作用下場地振動的理論解。為了解決這一問題，首先應(yīng)該清楚地震波是如何在場地中傳播的。

1.1 地震波的傳播路徑

按照地震學(xué)原理，當(dāng)?shù)卣鸩▊鞑ブ翉椥越缑鏁r(shí)，不僅發(fā)生反射現(xiàn)象，而且產(chǎn)生波型轉(zhuǎn)換，各類體波的振幅關(guān)系由Zoeppritz方程確定。因此，無論是哪一種類型的入射波，場地中必然同時(shí)存在P波(縱波)和S波(橫波)兩種體波，其傳播路徑遵從Snell定律，據(jù)此可以得到P波傾斜入射情況下場地地震波的傳播路徑(見圖1)，采用同樣的方法，可以得到S波傾斜入射情況下場地地震波的傳播路徑。不過，應(yīng)該特別強(qiáng)調(diào)的是，本文所指的S波是SV波，而不是SH波。

圖1 地震波在單層場地中的傳播Fig.1 Seismic wave propagation in single layer

由圖1可見，基巖面(場地地層與基巖的接觸面)以及地面都是彈性波阻抗界面，地震波在此處將發(fā)生波型轉(zhuǎn)換現(xiàn)象(因基巖中的轉(zhuǎn)換波與計(jì)算無關(guān)，故未在圖上表示出來)。圖中，實(shí)線表示P波，點(diǎn)劃線表示S波，箭頭表示傳播方向，地震學(xué)中稱之為地震射線。為了敘述方便，將向上傳播的地震波稱為上行波，例如，A1B1，A2B2，B1O，B2O，……，這些射線都是向地面方向傳播的上行波；O1B1，O2B1，O2B2，……，則是向基巖方向傳播的下行波。研究發(fā)現(xiàn)，地震波在地層中的傳播具有如下特點(diǎn)。

1) 到達(dá)地面觀測點(diǎn)O的地震波有兩種傳播路徑。其一是入射波透過基巖面后直接到達(dá)地面，這些路徑僅有A1B1O和A2B2O兩條，其地震射線均是上行波。其二是入射波透過基巖面后，經(jīng)過地面和基巖面反射之后到達(dá)地面，這種路徑有無限多條，例如，A3B3O1B1O，A6B6O3B2O，A9B9O6B5O3B2O，其地震射線既有上行波，又有下行波。

2) 到達(dá)地面觀測點(diǎn)O的射線與地面或基巖面的交點(diǎn)數(shù)量分布有明顯規(guī)律性，從右向左，地震射線與地面的交點(diǎn)數(shù)量依次分別為3，5，7，…，與基巖面的交點(diǎn)數(shù)量依次分別為2，4，6，…。

3) 在場地地層中，同類型的上(下)行波射線彼此平行。由于平面波只有一個(gè)入射方向，假定地面與基巖面水平，則按照Snell定律，無論P(yáng)波或S波，上行波射線互相平行，下行波射線也互相平行。

4) 在場地地層中，同類型波射線長度相等。由2)可知，同類型的上行波或下行波射線與垂直界面方向夾角相等，而場地地層厚度不變，因此根據(jù)幾何學(xué)原理可知，其射線長度必然相等。

1.2 地震波的到達(dá)時(shí)間

地震波的到達(dá)時(shí)間是指來自基巖的入射波到達(dá)地面某觀測點(diǎn)的時(shí)間，由傳播路徑所決定，包括地震波在每條路徑上的傳播時(shí)間和地震波斜入射造成的延遲時(shí)間兩部分。下面以A1B1O和A2B2O路徑為例，說明其計(jì)算過程。

1) 傳播時(shí)間

(1)

式中：h1是場地地層厚度，h2是假定計(jì)算面距離基巖面的距離，vs1是場地地層的橫波速度，vp2是基巖的縱波速度，θ是來自基巖的地震波的入射角，β是場地地層中橫波傳播方向與垂線的夾角。

(2)

式中：vp1是場地底層的縱波速度，α是場地地層中橫波傳播方向與垂線的夾角(見圖1)。

2) 延遲時(shí)間

正如斜射陽光以不同時(shí)間達(dá)到地面情況一樣，傾斜入射地震波到達(dá)基巖面的時(shí)間也因其位置不同而不同，由此造成的時(shí)差稱為延遲時(shí)間。由于假定震源位于無限遠(yuǎn)處，不能確定地震波到達(dá)基巖面的絕對時(shí)間，因此計(jì)算中采用相對延遲時(shí)間。

(3)

(4)

據(jù)Snell定律，有：

(5)

式中：p是射線參數(shù)。

將式(5)分別代入式(3)～(4)，可得：

(6)

(7)

3) 到達(dá)時(shí)間

地震波到達(dá)地面O點(diǎn)的時(shí)間等于傳播時(shí)間與延遲時(shí)間之和，據(jù)式(3)～(4)及式(6)～(7)可得：

(8)

(9)

為了方便表達(dá)，定義：

(10)

(11)

(12)

綜合式(8)～(12)，可得到地震波到達(dá)O點(diǎn)的時(shí)間表達(dá)式：

(13)

(14)

表1 傳播路徑及達(dá)到時(shí)間(S波)

表2 傳播路徑及達(dá)到時(shí)間(P波)

Tab.2 Seismic ray and arrival time (P wave)

序號i傳播路徑到達(dá)時(shí)間tip1A2B2Ot0 + tp2A4B4O2B2Ot0 + 2ts+ tp3A5B5O2B2Ot0 + ts+ 2tp4A5B5O3B2Ot0 + ts+ 2tp5A6B6O3B2Ot0 + 3tp6A8B8O5B4O2B2Ot0 + 4ts+ tp7A9B9O5B4O2B2Ot0 + 3ts+ 2tp8A9B9O6B4O2B2Ot0 + 3ts+ 2tp9A10B10O6B4O2B2Ot0 + 2ts+ 3tp10A9B9O6B5O2B2Ot0 + 3ts+ 2tp

1.3 地震場地響應(yīng)的理論解

1) 傳播路徑的響應(yīng)函數(shù)

見圖1，假定來自基巖的地震波函數(shù)為f(t)，則按照某一路徑到達(dá)地面O點(diǎn)的地震波函數(shù)稱之為該傳播路徑的地震波響應(yīng)函數(shù)(簡稱響應(yīng)函數(shù))，其表達(dá)式為：

(15)

(16)

表3 傳播路徑及響應(yīng)振幅(S波)

Tab.3 Seismic ray and source response (S wave)

序號i 傳播路徑響應(yīng)振幅Ais1A1B1OTps2A3B3O1B1OTpsRss1Rss23A4B4O1B1OTppRps1Rss24A4B4O2B1OTpsRsp1Rps25A5B5O2B1OTppRpp1Rps26A7B7O4B3O1B1OTpsRss1Rss2Rss1Rss27A8B8O4B3O1B1OTppRps1Rss2Rss1Rss28A8B8O5B3O1B1OTpsRsp1Rps2Rss1Rss29A9B9O5B3O1B1OTppRpp1Rps2Rss1Rss210A8B8O5B4O1B1OTpsRss1Rsp2Rps1Rss2

表4 傳播路徑及響應(yīng)振幅(P波)

Tab.4 Seismic ray source response (P wave)

序號i傳播路徑 響應(yīng)振幅Aip1A2B2OTpp2A4B4O2B2OTpsRss1Rsp23A5B5O2B2OTppRps1Rsp24A5B5O3B2OTpsRsp1Rpp25A6B6O3B2OTppRpp1Rpp26A8B8O5B4O2B2OTpsRss1Rss2Rss1Rsp27A9B9O5B4O2B2OTppRps1Rss2Rss1Rsp28A9B9O6B4O2B2OTpsRsp1Rps2Rss1Rsp29A10B10O6B4O2B2OTppRpp1Rps2Rss1Rsp210A9B9O6B5O2B2OTpsRss1Rsp2Rps1Rsp2

在獲取這些系數(shù)后，就可以計(jì)算各條傳播路徑響應(yīng)函數(shù)的振幅。例如i= 3時(shí)，S波響應(yīng)函數(shù)所對應(yīng)的傳播路徑是A4B4O1B1O，表明入射P波經(jīng)過基巖面，形成同類型P波，透射系數(shù)為Tpp；經(jīng)過地面反射，形成轉(zhuǎn)換S波，反射系數(shù)為Rps1；再經(jīng)過基巖面反射，最終形成S波后抵達(dá)地面，反射系數(shù)為Rss2。因此，響應(yīng)振幅就等于此三個(gè)系數(shù)的乘積TppRps1Rss2。以此類推，可以計(jì)算得到任意一條路徑的響應(yīng)振幅。

2) 場地響應(yīng)的理論解

(17)

(18)

按照矢量合成方法，可將us，up表示成為水平地震動時(shí)程ux和垂直地震動時(shí)程uy：

(19)

式中：

(20)

雖然上述推求計(jì)算場地響應(yīng)的理論解的方法是針對傾斜入射P波提出來的，但是同樣適用于傾斜入射S波。所不同的是，在應(yīng)用上述方法計(jì)算傾斜入射S波時(shí)，為了保證入射S波轉(zhuǎn)換的P波不發(fā)生折射現(xiàn)象，入射角θ須滿足：

(21)

2 模型算例

2.1 地震場地模型

為了驗(yàn)證上述斜入射場地響應(yīng)理論解法是否正確，選取文獻(xiàn)[16]模型進(jìn)行驗(yàn)算，以便對比分析。此模型場地土厚度50 m，密度1 000 kg/m3，P波速度346 m/s，S波速度200 m/s；下臥層為半無限空間基巖，密度1 500 kg/m3，P波速度866 m/s，S波速度500 m/s。P波入射角60°，S波入射角30°，地震入射波的計(jì)算面位于地下100 m。

2.2 計(jì)算結(jié)果

采用上述方法編寫了計(jì)算機(jī)程序，并對模型進(jìn)行了計(jì)算。震源波函數(shù)采用位移形式，位移時(shí)程見圖2。時(shí)間間隔取0.001 s，地震路徑n取65 536 條，計(jì)算結(jié)果見圖3和圖4，與文獻(xiàn)[16]的理論解非常接近。而且通過對比特征點(diǎn)數(shù)值，發(fā)現(xiàn)兩者誤差不超過5%，表明此理論算法是正確可靠的。

圖2 入射波位移時(shí)程Fig.2 Time history of displacement of incident wave

圖3 P波60°角入射時(shí)地面位移時(shí)程Fig.3 Time history of displacement on ground surface under P wave of 60°angle incidence

3 地震動特性

3.1 地震動的幅值大小

當(dāng)來自基巖的地震波進(jìn)入場地地層后，在地面與基巖面之間多次往復(fù)傳播，使地面振動持時(shí)較入射波持時(shí)長。由于地面與基巖面的反射系數(shù)的絕對值都不大于1，所以地面位移呈現(xiàn)隨時(shí)間逐漸減少趨勢。但是，與垂直入射情況不同的是，無論傾斜入射波是P波還是S波，都會同時(shí)形成水平方向和垂直方向的振動(見圖3和圖4)，其大小與入射角有密切關(guān)系。

表5分別列出了P波與S波入射角與最大位移的關(guān)系。由于S波大于臨界角(35.26°)時(shí)會出現(xiàn)折射波，所以入射角大于40°的最大位移值未在表中列出。

表5 最大位移(絕對值)與入射角的關(guān)系

Tab.5 Maximum displacement and incident angle

入射角/(°)最大位移(入射P波)水平方向垂直方向最大位移(入射S波)水平方向垂直方向003.1583.1580100.4963.1113.0950.493200.9592.9722.9120.933301.3622.7552.6601.247401.6792.476501.8812.155601.9401.803701.7781.414

由表5可見，除70°入射角外，總體而言，最大水平位移(絕對值)隨P波入射角的增大而增大，隨S波入射角的增大而減?。蛔畲蟠怪蔽灰?絕對值)則相反，隨P波入射角的增大而減小，隨S波入射角的增大而增大。

3.2 地震動的持續(xù)時(shí)間

位移隨時(shí)間的變化不僅與地震波型有關(guān)，而且還與入射角有密切關(guān)系。為此，采用對比地震動持時(shí)(持續(xù)時(shí)間的簡稱，下同)的方法，研究位移隨時(shí)間的變化特性。

地震動持時(shí)的定義種類較多，本文采用位移相對幅值定義持時(shí)[15]，其具體定義是位移絕對值第一次和最后一次達(dá)到或超過最大位移絕對值的1%所經(jīng)歷的時(shí)間，這一定義方式能夠較好地反映位移隨時(shí)間衰減的快慢程度。

表6分別列出了P波與S波入射角與地震動持時(shí)的關(guān)系，其中S波大于臨界角的持時(shí)未在表中列出。表6中雖然存在個(gè)別異常情況，例如P波入射角等于20°時(shí)的水平及垂直方向的持時(shí)、50°時(shí)垂直方向的持時(shí)。但是，總體上地震動持時(shí)隨入射角的增大而減小。出現(xiàn)個(gè)別異常情況，可能與相對幅值的定義方式有關(guān)，由于這種定義方式具有很大的主觀性，不能完全涵蓋地震動情況。

表6 地震動持時(shí)與入射角的關(guān)系

3.3 地震動的運(yùn)動狀態(tài)

當(dāng)?shù)卣鸩ㄒ詢A斜方式入射至場地地層后，由于地層界面及地面對地震波類型轉(zhuǎn)換作用，使場地內(nèi)同時(shí)存在P波與S波兩種不同類型的振動，S波所引起的地面振動狀態(tài)與單一的體波振動有顯著差異，下面借用相圖分析法進(jìn)行研究。

相圖是相軌線圖的簡稱，反映了系統(tǒng)狀態(tài)變量隨時(shí)間變化的動態(tài)特性。圖5是S波分別以10°，20°和30°入射時(shí)引起的地面振動的相圖，其中橫坐標(biāo)x為水平位移，縱坐標(biāo)y為相同時(shí)刻的垂直位移，軌線上任一點(diǎn)表示在xoy平面上的運(yùn)動狀態(tài)，其箭頭表示振動狀態(tài)隨時(shí)間變化的先后順序。

圖5 S波入射時(shí)地面振動軌跡Fig.5 Movement trajectory on groundsurface under S wave of incidence

由圖5可見，地面振動軌跡為復(fù)雜旋轉(zhuǎn)曲線，與Rayleigh面波的某些特征有一定程度類似，總體上表現(xiàn)為水平正向位移(x> 0)偏大的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，相軌線圖的形狀及其構(gòu)成的輪廓受入射角影響顯著。

1) 當(dāng)θ= 10°時(shí)，相軌線圖形呈扁平狀，其中在x> 0一側(cè)的軌跡輪廓呈“辣椒形”，最大水平位移與最大垂直位移之比為6.3(見圖5(a))，表明在小入射角情況下，轉(zhuǎn)換P波能量很小，垂直方向振動很弱，地面振動以水平振動為主，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動不明顯。

2) 當(dāng)θ= 20°時(shí)，相軌線圖形在水平方向收縮變短，而在垂直方向拉長變寬。其中，在x> 0一側(cè)的軌跡輪廓接近“尖刀形”，最大水平位移與最大垂直位移之比為3.1(見圖5(b))，表明隨著入射角增大，轉(zhuǎn)換P波能量增強(qiáng)，引起的垂直方向振動隨之增大。地面振動仍然以水平振動為主，但是旋轉(zhuǎn)運(yùn)動特征增強(qiáng)。

3) 當(dāng)θ= 30°時(shí)，轉(zhuǎn)換P波能量繼續(xù)增強(qiáng)，引起的垂直方向振動進(jìn)一步增大，相軌線圖的輪廓面積增大明顯，最大水平位移與最大垂直位移之比為2.1(見圖5(c))。表明當(dāng)入射角接近臨界角時(shí)， 雖然地面振動表現(xiàn)為水平偏強(qiáng)、垂直偏弱的特征，但是旋轉(zhuǎn)運(yùn)動特征卻非常顯著。

4 結(jié) 論

斜入射地震波作用下的場地響應(yīng)與垂直入射情況不同，前者的動力學(xué)問題及動力特性較后者更為復(fù)雜。在斜入射地震波作用下，地震入射角與地震動特性關(guān)系密切，對地震動的幅值大小、持時(shí)、運(yùn)動狀態(tài)有顯著影響，是有別于垂直入射作用下地震響應(yīng)的一個(gè)重要參數(shù)。研究發(fā)現(xiàn)，隨著入射角的增大，場地地震動特性有如下變化。

1) 入射P波引起的水平位移與入射S波引起的垂直位移通常會增大。

2) 地震動持時(shí)變短，尾振(接近于地震結(jié)束部分的振動,像小尾巴一樣)減小。

3) 水平與垂直方向的振動幅值越來越接近，地震相軌線構(gòu)成的輪廓面積增大，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動特征愈加明顯。

上述結(jié)論是入射角小于臨界角情況下得到的。當(dāng)入射角大于臨界角時(shí)，將出現(xiàn)地震波沿場地地面或地層界面滑行現(xiàn)象。在這種情況下，場地的振動特性與入射角的關(guān)系更為復(fù)雜，有待進(jìn)一步研究。