石賢可， 溫盛軍

(1.中原工學(xué)院 電子信息學(xué)院， 河南 鄭州450007； 2.中原工學(xué)院 中原彼得堡航空學(xué)院， 河南 鄭州 450007)

多軸同步收放卷系統(tǒng)是工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)中經(jīng)常使用的電氣控制系統(tǒng)，收放卷系統(tǒng)在鋼鐵廠(chǎng)、造紙廠(chǎng)、印刷廠(chǎng)、紡織漂染廠(chǎng)、食品廠(chǎng)、燃料電池廠(chǎng)應(yīng)用廣泛，涉及軋制、拉拔、壓花、涂層、印染、清洗以及卷繞等工序，其作用是控制卷材的張力，使其保持穩(wěn)定[1]。曾有學(xué)者利用動(dòng)力學(xué)建模方法得出了多軸同步收放卷系統(tǒng)開(kāi)卷機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，并認(rèn)為，多軸同步收放卷系統(tǒng)張力控制的關(guān)鍵是解決速度對(duì)張力影響較大的問(wèn)題[2-3]。陳耀等針對(duì)PID (Proportion Integration Differentiation)算法不能解決控制模型突變時(shí)動(dòng)態(tài)響應(yīng)不佳問(wèn)題，設(shè)計(jì)了模糊PID控制器[4]。馬文明等研究了內(nèi)?？刂扑惴ㄔ诙噍S同步張力控制系統(tǒng)中的應(yīng)用[5]。智能控制算法在多軸同步張力控制系統(tǒng)中的應(yīng)用，從不同程度上解決了張力控制系統(tǒng)存在的問(wèn)題。

本文通過(guò)推導(dǎo)多軸同步收放卷系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)基于模型參考自適應(yīng)算法的張力控制器，試圖解決以PID算法為張力控制器時(shí)系統(tǒng)啟動(dòng)、升減速階段存在的張力波動(dòng)過(guò)大問(wèn)題；并且將該控制器應(yīng)用于收放卷系統(tǒng)，采集相關(guān)數(shù)據(jù)，觀察收放卷系統(tǒng)升減速階段的張力變化，以確定該控制器的應(yīng)用效果。

1 多軸同步收放卷系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)模型

1.1 多軸同步收放卷系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

圖1所示為典型的多軸同步收放卷系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。在收放卷系統(tǒng)運(yùn)行中，放卷裝置的卷徑不斷減小,收卷裝置的卷徑不斷增大。通過(guò)收卷與放卷，物料按圖1所示從右至左通過(guò)工藝區(qū)。對(duì)物料按相關(guān)工藝處理時(shí),常常要求張力是恒定的，如薄膜行業(yè)的有些加工工藝就要求收卷和放卷環(huán)節(jié)張力恒定。放卷環(huán)節(jié)，物料拉著放卷電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)，且放卷電機(jī)輸出相應(yīng)的制動(dòng)轉(zhuǎn)矩而充當(dāng)阻力，使物料的張力發(fā)生變化；收卷環(huán)節(jié)，收卷電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩充當(dāng)卷繞動(dòng)力，也會(huì)使物料的張力發(fā)生變化。

在圖2所示的西門(mén)子多軸同步收放卷系統(tǒng)樣機(jī)中，左中為收卷軸，右上為放卷軸，中間有兩個(gè)隨動(dòng)輥和一個(gè)夾緊裝置，左上為張力傳感器(用于測(cè)量卷材的張力)，編碼器則緊鄰張力傳感器(用于測(cè)量卷材的線(xiàn)速度)。該系統(tǒng)以西門(mén)子CPU-315T為控制器，S120為變頻器，用于控制左右兩臺(tái)伺服電機(jī)，協(xié)同完成收卷和放卷過(guò)程，并使張力恒定。

1.2 多軸同步收放卷系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1.2.1 收卷環(huán)節(jié)的動(dòng)力學(xué)分析

這里以收卷環(huán)節(jié)為研究對(duì)象。收卷電機(jī)工作在轉(zhuǎn)矩模式下(見(jiàn)圖3)。圖3中：Md為電機(jī)軸(或稱(chēng)減速器)輸出轉(zhuǎn)矩；D為收卷卷徑；D0為卷輥直徑；ω為開(kāi)卷輥的角速度；v為卷材線(xiàn)速度；b為卷材寬度。收卷環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)力矩方程為:

圖1 典型的多軸同步收放卷系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

圖2 西門(mén)子多軸同步收放卷系統(tǒng)樣機(jī)

(1)

圖3 收卷電機(jī)的轉(zhuǎn)矩工作模式

假定在系統(tǒng)加速瞬間，卷材轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jk不變且收卷卷徑D不變，則可推導(dǎo)出:

(2)

這里，v=D·ω/2。

由式(2)可知,卷材張力T主要受卷材線(xiàn)速度v(可測(cè)量)、收卷卷徑D(可測(cè)量)的影響,且張力是關(guān)于卷材線(xiàn)速度及其導(dǎo)數(shù)、收卷卷徑平方及其四次方的多項(xiàng)式。由此可見(jiàn)，收放卷系統(tǒng)是一個(gè)多輸入多輸出系統(tǒng)，具有參數(shù)不確定性，并極易受卷材線(xiàn)速度的影響[6]。式(2)中不可直接測(cè)量的參數(shù)為電機(jī)卷輥軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J0和摩擦系數(shù)Bf，其他參數(shù)均可直接測(cè)量或由計(jì)算得出。通過(guò)辨識(shí)方法辨識(shí)圖4所示電機(jī)及減速器相關(guān)參數(shù)可知，J0=5×10-5kg·m2，對(duì)應(yīng)于圖4中P1498[0]。

在收放卷系統(tǒng)中減速器的減速比為50∶1，假若減速器無(wú)功率消耗，輸入功率與輸出功率相當(dāng)，則減速器輸入速度與輸出速度比為50∶1，減速器輸入轉(zhuǎn)矩與輸出轉(zhuǎn)矩之比為1∶50。這里以電子膠片為實(shí)驗(yàn)卷材，可測(cè)量或計(jì)算出如下相關(guān)參數(shù)：D0=0.076 m，b=0.035 m，Bf=1.9，ρ=1 380 kg/m3。

圖4 電機(jī)及減速器相關(guān)參數(shù)

1.2.2 伺服電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩分析

本文采用西門(mén)子S120變頻器驅(qū)動(dòng)西門(mén)子伺服電機(jī)。S120變頻器與電機(jī)之間采用DRIVE-CLIQ型智能通信電纜。伺服電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩用雙閉環(huán)PID來(lái)控制。變頻器驅(qū)動(dòng)的電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩模型為一階系統(tǒng)，其轉(zhuǎn)矩階躍響應(yīng)曲線(xiàn)如圖5所示。

圖5 變頻器驅(qū)動(dòng)的電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩階躍響應(yīng)曲線(xiàn)

圖5中，參數(shù)r1515為總的轉(zhuǎn)矩設(shè)定值,r80為電機(jī)當(dāng)前的轉(zhuǎn)矩值。對(duì)于給定的系統(tǒng)轉(zhuǎn)矩值,電機(jī)可快速輸出相應(yīng)的轉(zhuǎn)矩。以轉(zhuǎn)矩設(shè)定Mdr為輸入變量，實(shí)際電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩Mdk為輸出變量，考慮到該收放卷系統(tǒng)裝有減速比為50∶1的減速器，假定無(wú)功率損耗，功率相同情況下轉(zhuǎn)矩與速度成反比，則系統(tǒng)實(shí)際輸出的轉(zhuǎn)矩與電機(jī)輸出的轉(zhuǎn)矩之比為50∶1。根據(jù)一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)特征，可將S120變頻器控制西門(mén)子伺服電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩模型近似為:

(3)

式(2)中只有第一項(xiàng)中的Md是張力系統(tǒng)的可控輸入，而它又是減速器的輸出轉(zhuǎn)矩。故可將式(2)第一項(xiàng)與變頻器控制伺服電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩模型式(3)結(jié)合起來(lái)，推導(dǎo)出如下收放卷系統(tǒng)張力模型：

(4)

式(2)中后兩項(xiàng)與轉(zhuǎn)矩Md無(wú)關(guān), 可看作系統(tǒng)的擾動(dòng)，即

(5)

1.3 卷材線(xiàn)速度與張力耦合性分析

從式(2)可以看出，卷材張力受卷材線(xiàn)速度影響較大。但是，卷材的張力反過(guò)來(lái)是否對(duì)卷材線(xiàn)速度產(chǎn)生影響呢？這并不確定。

放卷電機(jī)工作在速度模式下，其轉(zhuǎn)速與卷材線(xiàn)速度之間具有確定的數(shù)學(xué)關(guān)系。根據(jù)電機(jī)工作原理，可將卷材張力波動(dòng)對(duì)放卷電機(jī)轉(zhuǎn)速造成的干擾看作放卷電機(jī)負(fù)載的擾動(dòng)。矢量控制電機(jī)的調(diào)速系統(tǒng)為雙閉環(huán)(速度環(huán)和轉(zhuǎn)矩環(huán))調(diào)速系統(tǒng)，抗干擾能力較強(qiáng)[7]。由此可推斷，卷材張力的波動(dòng)并不影響放卷電機(jī)的轉(zhuǎn)速，從而不會(huì)影響卷材的線(xiàn)速度。在電機(jī)運(yùn)行時(shí)間為13 500 ms時(shí)，對(duì)電機(jī)施加較大的負(fù)載擾動(dòng)，矢量控制電機(jī)的調(diào)速系統(tǒng)中轉(zhuǎn)矩環(huán)及時(shí)輸出相應(yīng)轉(zhuǎn)矩來(lái)平衡該擾動(dòng)，電機(jī)轉(zhuǎn)矩曲線(xiàn)會(huì)發(fā)生波動(dòng)，但在速度模式下工作的電機(jī)轉(zhuǎn)速并未發(fā)生波動(dòng)(見(jiàn)圖6)。這表明，卷材的張力變化對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)速的影響極小，對(duì)卷材線(xiàn)速度的影響也極小。

注：上方曲線(xiàn)為電機(jī)的轉(zhuǎn)速曲線(xiàn)，下方曲線(xiàn)為電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩曲線(xiàn)。圖6 受負(fù)載干擾時(shí)電機(jī)轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩曲線(xiàn)

2 基于模型參考自適應(yīng)算法的多軸同步張力控制器設(shè)計(jì)

自適應(yīng)控制器具有魯棒性較好的特點(diǎn)。本文以文獻(xiàn)[8]中基于李雅普諾夫穩(wěn)定理論設(shè)計(jì)的模型參考自適應(yīng)方法為基礎(chǔ)，提出了圖7所示狀態(tài)空間方程描述的模型參考自適應(yīng)系統(tǒng)。其中Kp、KU為系統(tǒng)的控制器。控制器的任務(wù)是找到Kp、KU的自適應(yīng)律，使系統(tǒng)輸出跟隨參考模型的輸出。

圖7 狀態(tài)空間方程描述的模型參考自適應(yīng)系統(tǒng)

因李雅普諾夫穩(wěn)定性是在時(shí)域中判定的，故可將控制模型等價(jià)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間方程。轉(zhuǎn)換后狀態(tài)矩陣為：

(6)

參考模型應(yīng)選取動(dòng)態(tài)和靜態(tài)響應(yīng)特性較好的。時(shí)間常數(shù)較小的一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)具有良好的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)特性。本文選取的控制系統(tǒng)參考模型為：

(7)

式(6)轉(zhuǎn)換后所得狀態(tài)空間方程為：

(8)

根據(jù)文獻(xiàn)[8]可確定下列自適應(yīng)律：

(9)

式中，ΓP和ΓU的取值具有一定的隨機(jī)性，可通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定[9]?？紤]到ΓP和ΓU取值的隨機(jī)性，可將ΓPBsT和ΓUBsTP分別等價(jià)為任意值kp和ku。因此，本文收放卷系統(tǒng)模型參考自適應(yīng)控制器的自適應(yīng)律(一階系統(tǒng)，而非矩陣形式)為：

(10)

kp和ku為任意正數(shù)，可根據(jù)實(shí)驗(yàn)確定。圖8所示為基于模型參考自適應(yīng)算法的收放卷系統(tǒng)張力控制器的框圖。

圖8 基于模型參考自適應(yīng)算法的收放卷系統(tǒng)張力控制器框圖

3 實(shí)驗(yàn)、仿真與應(yīng)用

3.1 PID控制器實(shí)驗(yàn)

將以PID算法設(shè)計(jì)的速度控制器和張力控制器應(yīng)用于收放卷系統(tǒng)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。圖9所示為基于PID算法的收放卷系統(tǒng)運(yùn)行實(shí)驗(yàn)結(jié)果。從圖9可以看出，在多軸同步張力控制系統(tǒng)中, PID控制器啟動(dòng)階段出現(xiàn)的超調(diào)較大，約為7.6%，升速階段和減速階段的張力波動(dòng)過(guò)大，約為11%。

3.2 基于模型參考自適應(yīng)算法的張力控制器仿真

針對(duì)式(10)的自適應(yīng)律，在Simulink中可搭建基于模型參考自適應(yīng)算法的張力控制器仿真系統(tǒng)(見(jiàn)圖10)。

圖11所示為基于模型參考自適應(yīng)算法的張力控制器，從啟動(dòng)到穩(wěn)定以及在20 s時(shí)突然升速而在40 s時(shí)減速的仿真結(jié)果。從圖11可以看出，基于模型參考自適應(yīng)算法的張力控制器可以較好地抵抗速度變化對(duì)其輸出造成的干擾，具備較好的動(dòng)態(tài)性能。

3.3 基于模型參考自適應(yīng)算法的張力控制器應(yīng)用

OPC(OLE for Process Control)通信協(xié)議是一種工業(yè)通信標(biāo)準(zhǔn)，解決了未公開(kāi)通信協(xié)議的工控軟件之間的通信難題。該協(xié)議包含OPC服務(wù)器和OPC客戶(hù)端兩部分，工業(yè)控制軟件商提供工控軟件的OPC服務(wù)器，而用戶(hù)可通過(guò)OPC客戶(hù)端軟件與OPC服務(wù)器實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的交換[10]。

由于PLC編程軟件不適合編寫(xiě)較為復(fù)雜的控制算法，而MATLAB軟件具有可方便實(shí)現(xiàn)高級(jí)算法的優(yōu)勢(shì)，因此本文采用MATLAB軟件編寫(xiě)自適應(yīng)張力控制算法，并通過(guò)PLC實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)控制。這就要求MATLAB與PLC兩款軟件以通信方式交換數(shù)據(jù)。本文參考文獻(xiàn)[11]，采用了OPC通信方式。圖12所示為基于模型參考自適應(yīng)算法的張力控制器OPC通信集成系統(tǒng)。在該集成系統(tǒng)中，MATLAB作為OPC客戶(hù)端軟件，Kepware作為OPC服務(wù)器軟件。在Kepware軟件中建立需要讀寫(xiě)的PLC變量，在MATLAB軟件中編寫(xiě)自適應(yīng)律并選擇合適的自適應(yīng)律參數(shù)，即可實(shí)現(xiàn)MATLAB軟件與PLC軟件的數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)交互。

圖9 基于PID算法的收放卷系統(tǒng)運(yùn)行實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖10 基于模型參考自適應(yīng)算法的張力控制器仿真系統(tǒng)

圖11 基于模型參考自適應(yīng)算法的張力控制器仿真結(jié)果

通過(guò)應(yīng)用，采集運(yùn)行數(shù)據(jù)，可得圖13所示的基于模型參考自適應(yīng)算法的張力控制器應(yīng)用結(jié)果。

根據(jù)圖13可計(jì)算出，系統(tǒng)啟動(dòng)階段的超調(diào)量約為5.9%，加減速?gòu)埩Σ▌?dòng)在7%左右?？蛇M(jìn)一步計(jì)算出如下結(jié)果:與PID控制器相比，基于模型參考自適應(yīng)控制算法的張力控制器使收放卷系統(tǒng)的啟動(dòng)階段張力超調(diào)量減小約1.7個(gè)百分點(diǎn)，升速減速階段張力波動(dòng)量減小約4個(gè)百分點(diǎn)。

圖12 基于模型參考自適應(yīng)算法的張力控制器OPC通信集成系統(tǒng)

圖13 基于模型參考自適應(yīng)算法的張力控制器應(yīng)用結(jié)果

4 結(jié)語(yǔ)

本文利用動(dòng)力學(xué)建模方法建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)該模型設(shè)計(jì)模型參考自適應(yīng)張力控制器，并將該控制器應(yīng)用于收放卷系統(tǒng)。通過(guò)MATLAB仿真可知，該控制器具有良好的動(dòng)態(tài)性能和抗干擾性。從應(yīng)用該控制器的收放卷系統(tǒng)運(yùn)行數(shù)據(jù)可看出，該控制器較PID控制器減小了收放卷系統(tǒng)的張力超調(diào)量(約為1.7個(gè)百分點(diǎn))和升速減速階段的張力波動(dòng)量(約為4個(gè)百分點(diǎn))。