方圣恩， 張 寶

(1.福州大學(xué)土木工程學(xué)院 福州，350108) (2.福州大學(xué)土木工程防震減災(zāi)信息化國家地方聯(lián)合工程研究中心 福州，350108)

引 言

結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測與安全狀態(tài)評估的核心內(nèi)容之一是基于靜動力響應(yīng)測試數(shù)據(jù)來識別結(jié)構(gòu)可能存在的損傷[1]，但工程結(jié)構(gòu)中總是存在不確定性因素，導(dǎo)致確定性損傷識別方法實(shí)用性不強(qiáng)[2]。為此，在概率統(tǒng)計框架下考慮上述不確定性因素，量化參數(shù)的不確定性[3]，建立概率損傷識別過程，是近幾年的研究熱點(diǎn)。具體來說，可以采用隨機(jī)有限元[4]，通過對模型參數(shù)攝動式的隨機(jī)模擬來獲取參數(shù)的概率統(tǒng)計特征；也可以基于統(tǒng)計模式識別[5]，基于響應(yīng)時程數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征構(gòu)建表征結(jié)構(gòu)狀態(tài)的統(tǒng)計模式向量，通過比較不同狀態(tài)下的模式向量在特征空間的距離來判斷損傷；或者利用貝葉斯公式建立貝葉斯推斷過程[6]，基于結(jié)構(gòu)參數(shù)先驗(yàn)分布和當(dāng)前實(shí)測信息不斷更新參數(shù)后驗(yàn)概率分布，建立概率損傷指標(biāo)來判斷結(jié)構(gòu)是否發(fā)生損傷?？梢哉f，概率統(tǒng)計理論在損傷識別實(shí)用化進(jìn)程中非常重要。對幾何尺寸大、構(gòu)件數(shù)目和種類繁多、材料性能復(fù)雜的土木工程結(jié)構(gòu)而言，大樣本量的實(shí)測數(shù)據(jù)在測試時間和成本上難以接受，且工程上更關(guān)心的是結(jié)構(gòu)參數(shù)和響應(yīng)的上下界，因此經(jīng)典區(qū)間分析(classic interval analysis,簡稱CIA)的優(yōu)勢就得到了利用[7-8]。

可以由包含不確定性的實(shí)測響應(yīng)數(shù)據(jù)得到結(jié)構(gòu)健康特征量，并以區(qū)間量或區(qū)間向量的形式來表示[8]。將結(jié)構(gòu)不確定性量用有界區(qū)間數(shù)表示，通過區(qū)間修正方法得到完好與損傷結(jié)構(gòu)的區(qū)間模型，根據(jù)損傷存在可能性指標(biāo)判斷結(jié)構(gòu)各單元損傷情況[9]，其單元剛度參數(shù)上下界可以由一階泰勒級數(shù)展開式來表示[10]。區(qū)間建模技術(shù)可以有效提取結(jié)構(gòu)損傷特征，與自適應(yīng)神經(jīng)模糊推斷系統(tǒng)相結(jié)合，可實(shí)現(xiàn)對結(jié)構(gòu)損傷的快速診斷[11]。但是，傳統(tǒng)的區(qū)間算法容易發(fā)生區(qū)間擴(kuò)張，使估計的參數(shù)區(qū)間范圍大于真實(shí)區(qū)間，造成識別結(jié)果精度不足。為此，文獻(xiàn)[12]提出了模態(tài)區(qū)間分析(modal interval analysis,簡稱MIA)方法，通過定義邏輯謂詞和語義函數(shù)進(jìn)行區(qū)間分析，用不規(guī)范區(qū)間考慮了變量之間的相關(guān)性，從而得出參數(shù)的精確區(qū)間包絡(luò)線，可以與響應(yīng)面法相結(jié)合用于區(qū)間參數(shù)的識別[13]。

約束滿足問題(constraint satisfaction problem,簡稱CSP)[14-15]用于損傷識別時需要測量節(jié)點(diǎn)或截面的轉(zhuǎn)角位移，雖然通過解析冗余度(analytical redundancy reduction,簡稱ARR)可以剔除轉(zhuǎn)角未知量，但無法實(shí)現(xiàn)損傷定位。筆者提出的改進(jìn)解析冗余度方法可以僅用相對容易測量的位移或振型來判斷結(jié)構(gòu)是否發(fā)生損傷并定位，分析過程無需構(gòu)建結(jié)構(gòu)數(shù)值模型并進(jìn)行模型修正，屬于一種無模型的損傷識別方法。為了進(jìn)一步考慮損傷識別中的不確定性，筆者將MIA和ARR相結(jié)合，提出模態(tài)區(qū)間約束條件和模態(tài)區(qū)間中心預(yù)處理方法，通過對比結(jié)構(gòu)損傷前后參數(shù)區(qū)間約束條件變化情況，實(shí)現(xiàn)損傷定位。最后，用一根試驗(yàn)鋼梁驗(yàn)證了所提出方法的可行性。

1 經(jīng)典和模態(tài)區(qū)間分析

1.1 經(jīng)典區(qū)間算法

區(qū)間寬度W和區(qū)間中心O定義為

(1a)

(1b)

區(qū)間四則運(yùn)算與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)運(yùn)算法有顯著區(qū)別[7]，函數(shù)f(x)的區(qū)間運(yùn)算過程通常都會發(fā)生區(qū)間擴(kuò)張現(xiàn)象，即估計的f(x)區(qū)間大于真實(shí)區(qū)間。例如：一元函數(shù)f1(x)=x(10-x)和f2(x)=10x-x2，二者在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)上完全一樣，但若x為區(qū)間數(shù)xI=[4,6]，則由區(qū)間運(yùn)算可得f1(xI)=[16,36]，f2(xI)=[4,44]，而準(zhǔn)確的區(qū)間解為[24,25]，為前述計算的兩個區(qū)間所包含，即發(fā)生了區(qū)間擴(kuò)張現(xiàn)象，對f2(xI)來說更嚴(yán)重。原因有兩方面：a.函數(shù)區(qū)間分析過程中，表達(dá)式中同一變量xI的兩次出現(xiàn)被看作是兩個完全獨(dú)立的變量，從而產(chǎn)生了區(qū)間擴(kuò)張；b.不同的函數(shù)表達(dá)式導(dǎo)致不同的擴(kuò)張結(jié)果，這是由于區(qū)間的弱分配律和區(qū)間包含特性所致，且擴(kuò)張程度會隨著區(qū)間變量和運(yùn)算次數(shù)增多而變大。

1.2 模態(tài)區(qū)間分析

MIA[12]可以看作是CIA和模態(tài)邏輯理論的有機(jī)結(jié)合，利用模態(tài)邏輯謂詞對區(qū)間進(jìn)行語義學(xué)解釋，從而得到符合模態(tài)邏輯語義解釋的區(qū)間分析方法。若I(R):={[a,b]|a,b∈R,a≤b}，引入存在量詞E和全局量詞U，則模態(tài)區(qū)間的規(guī)范化表示為

(2)

其中：([a,b],E)為“規(guī)范區(qū)間”或“存在區(qū)間”；([a,b],U)為“不規(guī)范區(qū)間”或“全局區(qū)間”。

可見，通過引入邏輯謂詞，使模態(tài)區(qū)間也具有絕對值相同、符號相反的區(qū)間(像實(shí)數(shù)那樣)，這是CIA所不具備的。具體應(yīng)用上，MIA通過對偶算子Dual實(shí)現(xiàn)規(guī)范到不規(guī)范區(qū)間的變換，即Dual([a,b])=[b,a]，由此延伸出MIA中的兩個理論。

f*(X′)=C(X′D)=f**(X′)

(3)

其中：f*和f**為語義函數(shù)。

2) 部分強(qiáng)制最優(yōu)理論：若C(X)只對X′中的部分X完全單調(diào)，則對于完全單調(diào)的部分，若X′D中的任一變量與X′的單調(diào)性不一致，則將該單一變量在函數(shù)中作對偶。對于不完全單調(diào)的部分，對X′不規(guī)范區(qū)間向量中除一個變量外的其余所有變量作對偶，將X′D轉(zhuǎn)化為X′DT*，并對所計算結(jié)果取并集，由此計算出的結(jié)果將是近似區(qū)間解

f*(X′)?

(4)

可見，MIA與CIA的運(yùn)算規(guī)則類似，但MIA的四則運(yùn)算法則中存在不規(guī)范區(qū)間，并在分析過程用不規(guī)范區(qū)間考慮了變量之間的相關(guān)性，有效避免了區(qū)間擴(kuò)張，這也是MIA和CIA最大不同之處。仍以函數(shù)f2(x)=10x-x2在變量x=[4,6]時為例，CIA的計算結(jié)果為[4,44]，而MIA應(yīng)用強(qiáng)制最優(yōu)理論的計算結(jié)果為精確解[24,25]，由此可見后者有效解決了區(qū)間擴(kuò)張問題。限于篇幅，此處不再詳細(xì)介紹MIA，具體理論可參見文獻(xiàn)[12]。

2 不確定性損傷識別

2.1 約束滿足問題及改進(jìn)解析冗余度

CSP是人工智能領(lǐng)域的一個重要基本問題[16]，由一個變量集合和一個約束集合組成。經(jīng)典CSP通過一個三元組[X,D,C]定義

(5)

其中：X為CSP中變量集合；D為X中各變量的取值域集合；C為約束條件集合，可以定義為函數(shù)方程及不等式等。

若找到賦值X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn，使C中所有約束條件都滿足，則集合{x1,x2,…,xn}就是該CSP的一個解。損傷識別問題中，當(dāng)一個或多個Ci(x)無法滿足時，就稱為發(fā)生了不一致，表示為

?x∈X{(C1(x))∨…∨(Cm(x))}

(6)

結(jié)構(gòu)靜力分析時，可將結(jié)構(gòu)剛度方程寫成矩陣的形式

其中：Δt和Δθ分別為節(jié)點(diǎn)平動和轉(zhuǎn)動位移；Ktt和Kθθ對應(yīng)平動和轉(zhuǎn)動的部分剛度矩陣；交叉項(xiàng)為Ktθ=Kθt；Pt和Pθ為作用在結(jié)構(gòu)上的集中荷載和力矩。

結(jié)構(gòu)參數(shù)變量均包含在剛度(子)矩陣K中，即認(rèn)為損傷引起的參數(shù)變化反映為剛度的降低。式(7)分解為方程組時就形成了CSP，每個方程代表1個約束條件。為消除難以實(shí)測的Δθ，ARR法以包含了Δt，Δθ的部分約束方程為基礎(chǔ)，假定Δt為已知量來表示Δθ，形成以Δθ為因變量的轉(zhuǎn)換方程，再代入剩余的CSP方程組中，最終得到只含Δt的方程組[15]。由于轉(zhuǎn)換后方程組仍包含了與損傷單元相關(guān)的方程，使所構(gòu)造的CSP只能用于判斷整體結(jié)構(gòu)是否發(fā)生損傷，無法進(jìn)行損傷定位。

為此，筆者提出了IARR方法，預(yù)先假定可能損傷單元，通過消除與Δθ相關(guān)的方程組，剔除了與假定損傷單元相關(guān)的方程，同時補(bǔ)充了與損傷單元無關(guān)的方程來形成新的CSP求解方程組

(8a)

(8b)

將式8(b)求解結(jié)果代入式8(a)中，得到不包含Δθ方程組子集KtΔt=Pt，以此作為約束關(guān)系集合，將結(jié)構(gòu)損傷識別問題就變成一個只包含可測量Δt的CSP，展開式為

(9)

表1 結(jié)構(gòu)約束條件滿足情況

Tab.1 Satisfaction of structural constraints conditions

結(jié)構(gòu)狀態(tài)約束條Cx()¨Cx()無損TCx()=0)T(¨Cx()=0)假定單元發(fā)生損傷TCx()=0)F(¨Cx()≠0)其余單元發(fā)生損傷FCx()≠0)T(¨Cx()=0)

2.2 結(jié)合MIA的不確定性損傷識別

實(shí)際工程結(jié)構(gòu)參數(shù)x往往帶有不確定性，滿足某一概率分布或處于一定取值范圍，后者可用區(qū)間數(shù)xI表示，此時相應(yīng)的CSP約束條件方程也擴(kuò)展成區(qū)間形式，通過MIA計算判斷約束條件是否滿足，即約束區(qū)間值是否包含0值。和表1類似，結(jié)構(gòu)區(qū)間約束條件如表2所示。

表2 結(jié)構(gòu)區(qū)間約束條件滿足情況

Tab.2Satisfaction of structural interval constraints conditions

結(jié)構(gòu)狀態(tài)約束條CxI()¨CxI()無損T(0CxI())T(0∈¨CxI())假定單元發(fā)生損傷T(0CxI())F(0?¨CxI())其余單元發(fā)生損傷F(0CxI())T(0∈¨CxI())

除了結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性，實(shí)際測試中還存在儀器系統(tǒng)誤差、測量噪聲、環(huán)境溫濕度變化及人為因素等不確定性因素，部分因素難以量化。分析過程若考慮過多的不確定性組合，會導(dǎo)致求解的結(jié)構(gòu)響應(yīng)區(qū)間范圍變得很大，使結(jié)構(gòu)發(fā)生較大程度損傷時才能被識別，無法體現(xiàn)“早發(fā)現(xiàn)、早處理”的目標(biāo)。分析中未考慮的不確定性因素也會使響應(yīng)區(qū)間發(fā)生“偏差”，表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)無損傷時響應(yīng)區(qū)間不包含零值。為了在簡化問題的同時避免上述“偏差”，筆者采用區(qū)間中心O(式(1))預(yù)處理結(jié)構(gòu)在無損狀態(tài)下的響應(yīng)區(qū)間

(10)

其中：上標(biāo)u表示無損(undamaged)。

(11)

具體的不確定性損傷識別流程如圖1所示。

圖1 不確定性損傷識別流程Fig.1 Flow chart of uncertainty-based damage identification

3 鋼梁試驗(yàn)算例

實(shí)際工程中監(jiān)測處于交通生命線上橋梁結(jié)構(gòu)的健康狀態(tài)是十分必要的，而主梁又是橋梁主體結(jié)構(gòu)中最關(guān)鍵和最常受損的構(gòu)件。為結(jié)合工程實(shí)際并驗(yàn)證所提出的不確定性損傷識別方法，筆者實(shí)測了一根薄壁矩形截面鋼梁，幾何尺寸如圖2所示。鋼材實(shí)測屈服強(qiáng)度為343 MPa，抗拉極限為450 MPa，彈性模量為202 GPa。試驗(yàn)通過在鋼梁截面上切口來模擬損傷，采用千斤頂靜力加載方式得到鋼梁的撓度，作為目標(biāo)響應(yīng)。

3.1 鋼梁計算模型和約束條件

靜載試驗(yàn)時鋼梁兩端邊界條件為簡支，在距左端支座1/3梁長處施加豎直向下的集中荷載P。試驗(yàn)前先建立鋼梁的計算模型，將梁劃分為6個識別區(qū)域(梁段)，每個梁段對應(yīng)的約束條件如圖3所示。梁段劃分長度根據(jù)識別精度要求來確定，剛開始可以先粗劃分，確定可能發(fā)生損傷的梁段后，再針對此梁段進(jìn)行細(xì)化分，以準(zhǔn)確定位損傷。彈性模量E、豎向撓度d及外荷載P為隨機(jī)變量：E的區(qū)間范圍根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果設(shè)為[190,210] GPa；d的不確定性根據(jù)千分表的精度設(shè)為±0.001 mm；P的不確定性力根據(jù)千斤頂?shù)牧鞲衅骶仍O(shè)為±100 N。

限于篇幅，算例中假定梁段4發(fā)生損傷并建立該梁段的CSP，相應(yīng)的求解方程組和約束條件如表3所示。其中，支座處豎向位移為0，故相應(yīng)的約束條件C1，C13和豎向撓度變量d1，d13恒為0，不在圖表中列出。得到的約束條件方程為

其中：E，d及P為區(qū)間變量(為簡化表示，不作上標(biāo)I)。

圖2 試驗(yàn)鋼梁示意圖(單位：mm)Fig.2 Schematic diagram of experimental steel beam (unit: mm)

圖3 鋼梁梁段劃分及約束條件Fig.3 Segment division and corresponding constraints of steel beam

項(xiàng)目內(nèi)容假定損傷梁段④轉(zhuǎn)角變量θ2,θ4,θ6,θ8,θ10,θ12,θ14豎向位移變量d3,d5,d7,d9,d11用于求解的方程組C2,C4,C5,C6,C11,C12,C14與損傷單元無關(guān)的約束條件方程C3與損傷單元有關(guān)的約束條件方程C7,C8,C9,C10

3.2 試驗(yàn)過程

試驗(yàn)加載系統(tǒng)由反力架、支座、油壓千斤頂及力傳感器等組成，如圖4所示。按圖2將梁劃分為6段，除支座外的分段梁截面下共布置5個千分表。試驗(yàn)中鋼梁在第4梁段中間截面轉(zhuǎn)角處采用切割方式模擬單損傷(圖4右上角)，分為3種損傷程度逐步增加的工況，切割寬度均為0.8 cm，長度分別為1，2和3 cm。值得注意的是，切割寬度僅為該梁段長度(300 mm)的2.7%，3種切口對箱梁截面慣性矩降低的程度分別為1.4%，2.1%和2.7%?？梢?，對鋼梁來說是很小的損傷，目的是為了增加識別的難度。

圖4 試驗(yàn)鋼梁靜力加載及損傷模擬Fig.4 Static loading and damage simulation of experimental steel beam

試驗(yàn)前首先進(jìn)行預(yù)加載，以檢查測量系統(tǒng)的穩(wěn)定性并壓實(shí)梁與支座、加載系統(tǒng)間的縫隙。正式加載時荷載步為1 kN，逐步加載至4 kN后維持該荷載，并記錄鋼梁在無損狀態(tài)下的撓度數(shù)據(jù)。然后，在預(yù)定位置切割，每個工況切割完畢后，記錄鋼梁在受損狀態(tài)下的撓度。

3.3 損傷識別結(jié)果

結(jié)合梁計算模型和實(shí)測撓度數(shù)據(jù)進(jìn)行了不確定性損傷識別過程，如表4所示。表中不僅列出與損傷梁段4相關(guān)的4個約束條件C7～C10，也將無損梁段1，2的約束條件C3進(jìn)行對比。約束條件值為T說明無損傷，為F時說明發(fā)生損傷。由表4可見：a.P<4 kN的無損狀態(tài)下，C3,C7～C10均為T，表示梁未發(fā)生損傷，與實(shí)際情況相符;b.P=4 kN、切割長度為1 cm時，C3,C7～C10均為T，未能識別出該工況的損傷，可能是由于損傷程度太小所致;c.P=4 kN、切割長度為2 cm時，C10為F，說明梁存在損傷，損傷位置為第4或第5梁段(因?yàn)镃10為這兩段共同的約束條件)；d.P=4 kN、切割長度增加到3 cm時，C8和C10均變?yōu)镕，說明梁的損傷在增大，且此時可以確認(rèn)損傷位置處于第4段。

表4 靜力損傷試驗(yàn)約束條件滿足情況

Tab.4 Scenarios of damages in static test

荷載/kN切口寬度/cm切口長度/cm切割梁段約束條件方程C3C7C8C9C10梁狀態(tài)2———TTTTT無損3———TTTTT無損4———TTTTT無損40.8140.8240.83④TTTTT無損TTTTF損傷TTFTF損傷

4 結(jié) 論

1) 通過引入模態(tài)邏輯謂詞，MIA能有效處理約束條件方程在CIA運(yùn)算過程中單一變量多次出現(xiàn)所導(dǎo)致的區(qū)間擴(kuò)張現(xiàn)象，大幅提高了區(qū)間估計精度。

2) IARR法可以消除約束條件方程中難以測量的轉(zhuǎn)角，使分析過程僅需要易于測量的撓度。同時通過調(diào)整約束條件方程的子集構(gòu)成，使損傷定位得以實(shí)現(xiàn)。

3) 試驗(yàn)梁難免存在測量誤差及系統(tǒng)參數(shù)不確定性的影響，但由于采用了區(qū)間中心預(yù)處理方法，使所提出方法具有一定的抗干擾能力。

4) 總體上，MIA，IARR與CSP的有機(jī)結(jié)合，能夠?qū)Σ淮_定性因素影響下鋼梁的小損傷進(jìn)行定位，具有較好的理論和實(shí)用意義。