董 娜, 馮 宇, 吳愛國, 韓學(xué)爍

(天津大學(xué) 電氣自動化與信息工程學(xué)院, 天津 300072)

0 引 言

無模型自適應(yīng)控制(MFAC: Model-Free Adaptive Control)[1]是指控制器的設(shè)計僅利用受控系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù), 控制器中不包含受控過程數(shù)學(xué)模型的任何信息的控制理論與方法。無模型自適應(yīng)控制方法簡單, 計算負(fù)擔(dān)小, 容易實現(xiàn), 與傳統(tǒng)的自適應(yīng)方法相比, MFAC在受控對象、 假設(shè)和分析方法上都完全不同。而且MFAC的穩(wěn)定性分析僅需要偽偏導(dǎo)數(shù)(PPD: Pseudo Partial Derivative)的保號性和估計算法的有界性, 這一點也與傳統(tǒng)自適應(yīng)控制有本質(zhì)不同[2]。

預(yù)測控制是一種基于模型的先進(jìn)控制技術(shù), 它源自于工業(yè)實際的要求, 是工業(yè)應(yīng)用中除PID(Proprotion Integral Differential)外應(yīng)用最廣的控制方法, 也是國內(nèi)外控制領(lǐng)域討論的熱點問題[3]?，F(xiàn)有的預(yù)測控制方法有很好的控制效果和魯棒性, 但其中大多數(shù)控制對象是線性系統(tǒng), 關(guān)于非線性等復(fù)雜系統(tǒng)的預(yù)測控制問題還沒有很好地解決[4]。

由于MFAC是以復(fù)雜系統(tǒng)途徑設(shè)計的控制方法, 因而控制復(fù)雜對象時,表現(xiàn)出其優(yōu)良控制品質(zhì)[5-6]。針對未知的復(fù)雜系統(tǒng), 考慮到預(yù)測控制和無模型自適應(yīng)控制的各自優(yōu)點, 將二者研究綜合, 提出了無模型自適應(yīng)預(yù)測控制算法。與基于模型的自適應(yīng)預(yù)測控制方法相比, 具有更強(qiáng)的魯棒性和更廣泛的應(yīng)用性, 但無模型自適應(yīng)預(yù)測控制算法在控制非線性大時滯等復(fù)雜對象時的動態(tài)性能仍不太理想[7-8]。

隨著我國經(jīng)濟(jì)社會的不斷發(fā)展, 人們需要更加舒適的環(huán)境。在現(xiàn)實社會中, 空調(diào)發(fā)揮著相當(dāng)重要的作用, 如在餐飲、 醫(yī)藥等各個領(lǐng)域使用的很頻繁, 但是隨之而來的是能源大量消耗問題和空調(diào)的優(yōu)化控制問題。在建筑能耗里, 制冷設(shè)備的能源消耗占很大比例, 在夏天的用電高峰期可占據(jù)城市用電量的33%左右, 由此可見, 制冷系統(tǒng)的節(jié)能和優(yōu)化控制問題是目前現(xiàn)在需重視的一個問題。制冷機(jī)組的控制研究是空調(diào)系統(tǒng)控制研究的一個重要方面, 并且成為國內(nèi)外研究的重點之一。

對于溴化鋰制冷系統(tǒng), 雖然PID方法應(yīng)用較多, 但其局限性較為明顯, 如對被控對象模型依賴率高, 且控制時間長, 穩(wěn)定性差等, PID算法還對環(huán)境變化有很大的慣性, 現(xiàn)有的PID算法難以實現(xiàn)類似溴化鋰制冷系統(tǒng)這種大時滯系統(tǒng)的有效控制。針對溴化鋰制冷系統(tǒng)的優(yōu)化控制仍有很大的上升空間[9-11]。

針對上述問題, 筆者對無模型自適應(yīng)預(yù)測控制算法做出兩點改進(jìn)： 1) 現(xiàn)有MFAPC(Model-Free Adaptive Predictive Control)僅考慮了控制誤差, 然而, 歷史輸出誤差對當(dāng)前控制信號也存在一定影響。因此, 筆者在無模型自適應(yīng)算法的控制輸入準(zhǔn)則函數(shù)中引入了控制誤差和, 由于有了更精確的數(shù)據(jù)迭代關(guān)系, 控制效果更加理想。2) 改善了MFAPC參數(shù)估計過程, 將兩個參數(shù)L1,L2引入MFAPC參數(shù)估計控制方案。在采用泛模型代替非線性系統(tǒng)時, 相鄰采樣時刻的偽偏導(dǎo)數(shù)變化量ΔΦ(k)不能變化太大, 否則系統(tǒng)輸出不穩(wěn)定。需合理控制系統(tǒng)中偽偏導(dǎo)數(shù)Φ(k)的變化速率, 且由于其控制輸入準(zhǔn)則函數(shù)推導(dǎo)結(jié)果的分式分母易為0。加入L1、L2參數(shù)發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)得出的控制律與原來的MFAPC作仿真比較后會得到更穩(wěn)定的控制效果。同時減少了參數(shù)并優(yōu)化了算法, 達(dá)到了更佳的控制效果。

筆者減少了MFAPC需要調(diào)試的參數(shù)數(shù)目, 優(yōu)化了控制率過程與參數(shù)估計過程, 提高了函數(shù)的靈活性和可調(diào)性。同時使算法更加便捷。選取了典型的二階大時滯系統(tǒng)和非線性時滯系統(tǒng), 時變信號系統(tǒng), 溴化鋰制冷系統(tǒng)等復(fù)雜系統(tǒng), 分別使用改進(jìn)的MFAPC算法、 基本MFAPC算法進(jìn)行仿真實驗比較研究。仿真結(jié)果表明, 改進(jìn)的無模型自適應(yīng)預(yù)測控制算法具有更佳的控制性能, 更快的響應(yīng)速度, 控制效果較之原MFAPC更加理想[12-13], 且能更好地控制溴化鋰制冷機(jī)組。

1 無模型自適應(yīng)預(yù)測控制算法

對一個離散系統(tǒng), 假定{[u(k-1),y(k)]}和{[u(k),y(k+1)]}是相鄰采樣時刻的觀測數(shù)據(jù), 且u(k)≠u(k-1)。系統(tǒng)緊格式動態(tài)線性化數(shù)據(jù)模型為

y(k+1)-y(k)=φ(k)*(u(k)-u(k-1)),Δy(k+1)=φ(k)Δu(k)

(1)

其中φ(k)是偽偏導(dǎo)數(shù)。

經(jīng)典無模型自適應(yīng)預(yù)測控制算法的總體方案如下。

由式(1)可給出一步向前預(yù)測方程

y(k+1)=y(k)+φ(k)Δu(k)

(2)

由式(2)可推出N步向前預(yù)測方程如下

通過推導(dǎo), 得到無模型預(yù)測控制率

u(k)=u(k-1)+gTΔUNu(k)

(4)

無模型自適應(yīng)預(yù)測控制算法偽偏導(dǎo)數(shù)

(5)

2 改進(jìn)的無模型自適應(yīng)預(yù)測控制算法

2.1 控制算法

考慮到歷史輸出誤差對MFAPC的當(dāng)前控制信號也存在影響, 因而筆者設(shè)計控制器時, 在控制輸入準(zhǔn)則函數(shù)中引入了控制誤差和[14-16], 推導(dǎo)設(shè)計過程如下。

對一般離散非線性系統(tǒng),e(k)是實際輸出值與設(shè)定輸出值產(chǎn)生的誤差, 則有

e(k)=y*(k)-y(k)

(6)

其中y*表示設(shè)定輸出值。將式(1)代入式(6)可得

e(k+1)-e(k)=y*(k+1)-y(k+1)-(y*(k)-y(k))=

y*(k+1)-y*(k)-(y(k+1)-y(k))=Δy*(k+1)-φ(k)Δu(k)

(7)

(8)

式(8)又可寫為

E(k+1)=E(k)+Te(k)

(9)

結(jié)合式(6), 式(8)可得

(10)

利用預(yù)測誤差信息可對系統(tǒng)輸入進(jìn)行校正, 并且將k步之前的誤差采用和的形式進(jìn)行中和, 可避免誤差逐漸變大, 改善系統(tǒng)的控制效果。

令ω(k)=[E(k),e(k)]Τ, 則式(10)可簡化為如下形式

ω(k+1)=Aω(k)+B(k)ΔU(k)+CΔy*(k+1)

(11)

其中各參數(shù)表示如下

由式(11)可推出

ω(k+2)=Aω(k+1)+B(k+1)Δu(k+1)+CΔy*(k+2)=

A2ω(k)+AB(k)Δu(k)+…+CΔy*(k+1)

(12)

ω(k+Nu)=ANμω(k)+…+Δy*(k+Nμ)

(13)

其中Nυ為控制時域常數(shù), 令W(k)=[ω(k+1),…,ω(k+Nu)]T, 則式(13)可化為

W(k)=Mω(k)+N(k)ΔU(k)+HΔY*(k)

(14)

其中M=[A,A2,…,ANμ]T,p=Nμ-1。

考慮如下輸入準(zhǔn)則函數(shù)

(15)

ΔU(k)=-(NT(k)N(k)+λI)-1NT(k)(Mω(t)+HΔY*(k))

(16)

則改進(jìn)的無模型自適應(yīng)預(yù)測控制算法控制率的求取函數(shù)為

u(k)=u(k-1)+gTΔU(k)

(17)

其中g(shù)=[1,0,…,0]T。

2.2 參數(shù)估計算法

由于未知參數(shù)偽偏導(dǎo)數(shù)φ未知, 筆者對參數(shù)估計過程進(jìn)行改進(jìn)。

取目標(biāo)函數(shù)

minJ[Φ(k)]=L1[y*(k)-y(k)]2+L2[θ1(k)Φ(k)-θ2(k)Φ(k-1)]2

(18)

將式(1)代入式(18)得

minJ[Φ(k)]=L1[y*(k)-y(k-1)-Φ(k-1)Δu(k-1)]2+

L2[θ1(k)Φ(k)-θ2(k)Φ(k-1)]2

(19)

對Φ(k)求導(dǎo)得

(-Δu(k-1))+2L2[θ1(k)Φ(k)-θ2(k)Φ(k-1)]

(20)

定義θ(k)=[θ1(k),…,θnp(k)]T。再令式(20)=0, 得控制律如下

(21)

綜上, 結(jié)合控制率算法和參數(shù)估計推導(dǎo)過程, 提出了一種改進(jìn)的無模型自適應(yīng)預(yù)測控制算法。

3 穩(wěn)定性證明

對上述提出的改進(jìn)MFAPC算法進(jìn)行穩(wěn)定性證明如下。

(22)

可得

(23)

整理得

(24)

對式(24)兩邊取絕對值, 并利用不等式運算法則, 得

(25)

(26)

和我兩年前在奧地利格拉茨Sch?ckl山上所感受到的越野體驗不同的是，Sch?ckl山上那些崎嶇的碎石山路需要的是精準(zhǔn)控制油門踏板每一毫米的行程，以及差速器鎖的使用時機(jī)；而在紅山軍馬場的積雪中，這樣的動作在去除了差速器鎖操作的復(fù)雜流程后，控制油門踏板行程的動作被快進(jìn)了數(shù)倍，雙手操作方向盤的動作也同樣被快進(jìn)了不少。雖然沒有在Sch?ckl山最終登上頂峰一覽眾山時的那種豪邁，但事后通過無人機(jī)實時傳回的畫面，看著積雪中猶如印象派畫作一般的車轍痕跡，我也頗有一種完成了一樁要事的成就感。

定理1 對于非線性系統(tǒng), 若滿足假設(shè)條件1～3, 則當(dāng)Δu(k)≠0時, 一定會存在一個量Φ(k), 使

y(k+1)=f(y(k),…,y(k-ny),u(k),…,u(k-nu))

(27)

可表示為

Δy(k+1)=Φ(k)Δu(k)

(28)

并且Φ(k)對任意時刻k有界。利用式(21), 式(22)可得如下不等式

(29)

假設(shè)1 系統(tǒng)式y(tǒng)(k+1)=f(y(k),…,y(k-ny),u(k),…,u(k-nu))為輸入輸出可觀且可控的, 即對于系統(tǒng)的某一有界期望輸出信號y*(k+1), 肯定會存在一個可行且有界的輸入信號, 使系統(tǒng)在此輸入信號的作用下其輸出能達(dá)到系統(tǒng)的期望輸出。

假設(shè)2 除有限時刻點外,f(·)關(guān)于當(dāng)前的控制輸入信號u(k)其偏導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的。

假設(shè)3 除有限時刻外, 系統(tǒng)式y(tǒng)(k+1)=f(y(k),…,y(k-ny),u(k),…,u(k-nu))是滿足廣義利普希茨條件的, 即對任意的k和Δu(k)≠0有

|Δy(k+1)|≤b|Δu(k)|

Δy(k+1)=y(k+1)-y(k),Δu(k)=u(k)-u(k-1)

(30)

b為常數(shù)。

4 經(jīng)典系統(tǒng)仿真研究

圖1 線性系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線Fig.1 Linear system step response curve

為驗證筆者提出的改進(jìn)MFAPC算法的有效性, 分別使用改進(jìn)的MFAPC算法、 原有的MFAPC算法進(jìn)行仿真實驗研究, 取典型的線性系統(tǒng), 非線性系統(tǒng)、 跟蹤時變信號系統(tǒng)等復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行仿真實驗。

引入線性系統(tǒng)如下

(31)

仿真實驗各參數(shù)表示如下： 仿真步數(shù)K=1 500,L1=0.625,λ=2.6,η=3。則改進(jìn)MFAPC算法、 MFAPC控制算法的Matlab仿真比較結(jié)果如圖1, 表1所示。

引入非線性系統(tǒng)

y(k+1)=y(k)y(k-1)(y(k)-2.5)

(32)

MFAPC控制算法和改進(jìn)MFAPC算法的Matlab仿真比較結(jié)果如圖2, 表2所示。仿真步數(shù)K=1 500,L1=0.625,λ=3,η=4.5。

引入時變信號

(33)

MFAPC控制算法和改進(jìn)MFAPC算法的Matlab仿真比較結(jié)果如圖3, 表3所示。仿真步數(shù)K=1 000,L1=0.625,λ=5,η=3。

圖2 非線性系統(tǒng)方波響應(yīng)曲線 圖3 系統(tǒng)跟蹤時變信號曲線 Fig.2 Square wave response curve of nonlinear system Fig.3 System tracking time-varying signal curve

表1 線性系統(tǒng)階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)步數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)誤差

表2 非線性系統(tǒng)方波響應(yīng)的調(diào)節(jié)步數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)誤差

由圖1, 表1可見, 改進(jìn)MFAPC對設(shè)定的期望輸出值有較好的逼近效果。對比經(jīng)典MFAPC, 控制效果更為出色, 控制系統(tǒng)穩(wěn)定, 調(diào)節(jié)時間更短。從標(biāo)準(zhǔn)誤差上看, 其誤差也相比經(jīng)典MFAPC更小。

表3 系統(tǒng)跟蹤時變信號的調(diào)節(jié)步數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)誤差

由圖2, 表2可見, 從非線性系統(tǒng)的方波響應(yīng)曲線結(jié)果可得到以下結(jié)論： 雖然改進(jìn)的MFAPC跟蹤期望輸出信號速度和經(jīng)典MFAPC相差不大, 但控制過程中, 進(jìn)行了3次跳變, 而從3次躍變的跳變點對比結(jié)果看出, 改進(jìn)的MFAPC的控制效果更加出色。而且從標(biāo)準(zhǔn)誤差結(jié)果看出, 改進(jìn)MFAPC的誤差也較小, 從而體現(xiàn)了改進(jìn)方法的優(yōu)越性。如圖3, 表3所示, 對時變系統(tǒng), 兩種無模型算法均能很好地控制對象。但改進(jìn)的MFAPC響應(yīng)速度快, 擬合期望輸出曲線效果好。對于時變系統(tǒng)的3個子系統(tǒng)均能進(jìn)行很好地控制, 而且控制過程中過度平穩(wěn)。由此體現(xiàn)出該改進(jìn)算法的良好控制性能。

5 溴化鋰制冷系統(tǒng)仿真研究

5.1 溴化鋰制冷系統(tǒng)簡述

制冷機(jī)組的各個器件都是不太穩(wěn)定的, 很容易隨環(huán)境的變化而改變工況狀態(tài)。目前制冷系統(tǒng)應(yīng)用較多的方法是PID方法, 但有其局限性, 當(dāng)受控對象是強(qiáng)耦合, 大時滯, 非線性的對象時, PID的輸出效果就有所欠佳。而制冷系統(tǒng)就是這樣復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。

圖4 溴化鋰制冷機(jī)組工作原理示意圖Fig.4 Schematic diagram of the working principle of lithium bromide refrigeration unit

筆者所涉及的實際系統(tǒng)為溴化鋰吸收式制冷機(jī)組, 通常由發(fā)生器, 冷凝器、 蒸發(fā)器、 吸收器, 溶液熱交換器和溶液泵等部件組成, 在高度真空的條件下, 各部件內(nèi)充滿溴化鋰溶液運行。

在制冷機(jī)運行過程中, 當(dāng)溴化鋰水溶液在發(fā)生器內(nèi)受到熱媒水加熱后, 溶液中的水不斷汽化;水蒸氣進(jìn)入冷凝器, 被冷卻水降溫后凝結(jié); 隨著水的不斷汽化, 發(fā)生器內(nèi)的溶液濃度不斷升高, 進(jìn)入吸收器; 當(dāng)冷凝器內(nèi)的水通過節(jié)流閥進(jìn)入蒸發(fā)器時, 急速膨脹而汽化, 并在汽化過程中大量吸收蒸發(fā)器內(nèi)冷媒水的熱量, 從而達(dá)到降溫制冷的目的; 在此過程中, 低溫水蒸氣進(jìn)入吸收器, 被吸收器內(nèi)的濃溴化鋰溶液吸收, 溶液濃度逐步降低, 由溶液泵送回發(fā)生器, 完成整個循環(huán)。其原理示意圖如圖4所示, 且方形框圖內(nèi)為擬控制冷凍水回路。

5.2 溴化鋰制冷系統(tǒng)控制策略

溴化鋰制冷機(jī)組常通過控制冷凍水供水溫度提高機(jī)組能效比。提高冷凍水供水溫度, 不僅能減小制冷機(jī)組結(jié)晶的風(fēng)險, 還可同時提高制冷機(jī)組的制冷量和能效比。制冷機(jī)組安全運行對冷凍水供水溫度的最低限制有兩個條件要求： 冷凍水供水溫度不應(yīng)低于0 ℃, 保證冷凍水不會結(jié)冰； 制冷機(jī)組不會結(jié)晶。

圖5為溴化鋰制冷機(jī)組各機(jī)組參數(shù)間關(guān)系, 圖6為筆者改進(jìn)算法在溴化鋰制冷機(jī)組中的控制策略。從圖5可知, 溴化鋰機(jī)組有3條循環(huán)回路。

圖5 溴化鋰機(jī)組參數(shù)間耦合關(guān)系示意圖Fig.5 Schematic diagram of the coupling relationship between parameters of lithium bromide unit

1) 熱水循環(huán)回路。由熱水鍋爐, 發(fā)生器熱水水泵等組成。熱水為發(fā)生器提供持續(xù)的熱量驅(qū)動, 使水蒸氣從溴化鋰溶液中蒸發(fā)。熱水泵頻率增加, 熱水流量增大。當(dāng)需求負(fù)荷降低時, 降低熱水流量或降低熱水入口溫度都可以減少發(fā)生器中流量, 從而降低制冷機(jī)組的制冷量。

2) 冷卻水循環(huán)回路。由吸收器、 冷凝器、 冷卻塔和膨脹閥等構(gòu)成。冷卻水帶走冷凝器和吸收器多余的熱量, 釋放到空氣中, 保證制冷系統(tǒng)工作繼續(xù)進(jìn)行。當(dāng)需求負(fù)荷降低時, 減小冷卻水泵頻率或提高冷卻水入口溫度都可以降低機(jī)組的制冷量。

3) 冷凍水循環(huán)回路。由蒸發(fā)器、 空調(diào)、 冷凍水泵和冷凍水箱構(gòu)成。冷凍水帶走蒸發(fā)器的冷量, 從而為空調(diào)房供冷。筆者選用冷凍水循環(huán)回路作為控制回路。

從圖6可知, 溴化鋰機(jī)組控制策略如下： 控制器通過筆者所提出的改進(jìn)無模型自適應(yīng)預(yù)測控制算法控制溴化鋰制冷機(jī)組的冷凍水供水溫度。使其達(dá)到期望要求, 從而使冷凍水經(jīng)過冷凝器, 蒸發(fā)器及吸收器的化學(xué)工藝流程, 最后反饋到空調(diào)房間, 達(dá)到制冷目的。

圖6 溴化鋰機(jī)組控制策略示意圖Fig.6 Schematic diagram of control strategy for lithium bromide unit

5.3 仿真研究

為更好地進(jìn)行仿真研究比較筆者所提出的算法, 引進(jìn)了經(jīng)典算法PID算法與基本MFAPC算法共同仿真。針對溴化鋰制冷系統(tǒng), 筆者選用經(jīng)過SVM支持向量機(jī)建立的模型[20], 模型形式如下

Tcho(k+1)=f(Thi(k-d), Fh(k-d), Tci(k-d),

Fc(k-d), Tchi(k-d), Tcho(k-1), Tcho(k))

(33)

其中PID控制參數(shù)：kp=10;ki=0.10;kd=15; 改進(jìn)MFAPC控制參數(shù)：η=4;μ=2;ρ=0.5;λ=0.1;L2=0.6; 其中冷凍水初始溫度設(shè)定為2 ℃, 期望冷凍水供水溫度為8 ℃。仿真如圖7, 表4所示。

圖7 溴化鋰機(jī)組控制仿真圖Fig.7 Lithium bromide unit control simulation diagram

表4 溴化鋰制冷機(jī)組系統(tǒng)仿真研究的調(diào)節(jié)步數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)誤差

可以看出, 在控制溴化鋰制冷系統(tǒng)時： 引入兩個可變參數(shù)的改進(jìn)無模型自適應(yīng)預(yù)測控制算法的快速性均好于原始的無模型自適應(yīng)控制和經(jīng)典PID控制算法。改進(jìn)的算法能有效地調(diào)節(jié)控制參數(shù), 并更加快速地控制冷凍水供水溫度, 使其迅速達(dá)到所期望的控制值。

6 結(jié) 語

通過上述4個實驗驗證, 在使用系統(tǒng)仿真模型時, 由改進(jìn)MFAPC控制的系統(tǒng)穩(wěn)定, 調(diào)節(jié)時間更短。標(biāo)準(zhǔn)誤差較小, 且控制時變系統(tǒng)時, 在控制過程中也過渡平穩(wěn)。在實際溴化鋰系統(tǒng)控制中, 改進(jìn)的無模型自適應(yīng)預(yù)測控制算法快速性和穩(wěn)定性均較為出色, 可有效的對溴化鋰系統(tǒng)的冷凍水回路進(jìn)行控制, 上述實驗同時驗證了新型改進(jìn)控制算法的有效性。