胡 峰, 孫 言, 梅茂飛, 桑萃萃, 楊家敏

(1. 徐州工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理科學(xué)學(xué)院, 江蘇 徐州 221018； 2. 蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050;3. 中國(guó)工程物理研究院 激光聚變研究中心， 四川 綿陽(yáng) 621900)

高電離態(tài)離子性質(zhì)的研究在高電離態(tài)原子、X射線、慣性約束聚變、磁約束聚變、天體和等離子體物理研究中有著重要的意義和廣泛的應(yīng)用價(jià)值.等離子體中高電離態(tài)離子光譜一直作為等離子狀態(tài)診斷的重要工具被廣泛應(yīng)用,因此提供精確的光譜數(shù)據(jù)顯得尤為重要.Ti元素目前作為示蹤元素在激光等離子體中有重要的應(yīng)用,可以將Ti和Cr合金片埋于黑腔內(nèi)壁上,通過(guò)測(cè)量2種元素離子的譜線強(qiáng)度,推導(dǎo)出等離子體的溫度和密度關(guān)系[1].類鋁Ti離子光譜的實(shí)驗(yàn)與理論研究較少，F(xiàn)roese等[2]用多組態(tài)Hartree-Fock方法(MCHF)計(jì)算了Ti X離子的能級(jí)、能級(jí)壽命與躍遷幾率；Santana等[3]用Multireference Mller-Plesset perturbation(MPPT)方法研究了Ti X離子的特性；隨后,Singh等[4]用同樣的方法研究了Ti X(增加了相關(guān)組態(tài))；Aggarwal等[5]用基于多組態(tài)Dirac-Fock方法(MCDF)的程序包GRASP和組態(tài)相互作用方法的程序包Flexible Atomic code (FAC)[6]研究了Ti X相關(guān)能級(jí)、波長(zhǎng)等相關(guān)數(shù)據(jù).實(shí)驗(yàn)只有Tr?bert等[7]用重離子存儲(chǔ)環(huán)研究了Ti X的能級(jí)壽命.

上述提到理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在一定的差距,并不能夠獲取較為精確的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.因此本文利用多組態(tài)Dirac-Hartree-Fock方法(MCDHF)的程序包GRASP2K[8-9],通過(guò)考慮電子關(guān)聯(lián)效應(yīng),去獲得更加精確的數(shù)據(jù)和理解差距產(chǎn)生的原因.

1 計(jì)算方法

1.1 波函數(shù)和能級(jí)本文所用的MCDHF方法在文獻(xiàn)[10-12]中已有詳細(xì)描述，在該方法中,一個(gè)核電荷數(shù)為Z、具有N個(gè)電子的原子或離子體系的Dirac-Coulomb 哈密頓量為(原子單位)

(1)

用Hi表示第i個(gè)電子的Dirac哈密頓量

(2)

(3)

其中，n是主量子數(shù)，m是磁量子數(shù)，k為Dirac量子數(shù),Pnk(r)和Qnk(r)分別為相對(duì)論徑向波函數(shù)的大小分量,χkm為自旋函數(shù).

N電子體系的組態(tài)波函數(shù)|Γr(PJM)〉是所有單電子旋-軌波函數(shù)組成的N階Slater行列式波函數(shù)|Ψp〉的線性組合,即

(4)

在MCDF 方法中,任一原子態(tài)α的波函數(shù)|α(PJM)〉由具有相同P、J和M量子數(shù)的組態(tài)波函數(shù),|Γr(PJM)〉線性組合而成,即

(5)

其中，nc是組態(tài)波函數(shù)的個(gè)數(shù),Cr(α)為組態(tài)混合系數(shù).

對(duì)角化由原子波函數(shù)(5)式構(gòu)造的哈密頓矩陣,則可得到相關(guān)原子態(tài)的能量和組態(tài)混合系數(shù).對(duì)于其他高階效應(yīng),如Breit修正和主要的量子動(dòng)力學(xué)效應(yīng),可作為微擾處理.

1.2 電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)在具體計(jì)算過(guò)程中,主要是通過(guò)逐漸增加基矢數(shù)目來(lái)考慮更多的組態(tài)相互作用,直至得到收斂的結(jié)果.可以把組態(tài)相互作用分為2類：價(jià)電子之間的相互作用 (Valence-Valence Correlation)稱為VV關(guān)聯(lián)效應(yīng),原子實(shí)內(nèi)的電子與價(jià)電子之間的相互作用( Core-Valence Correlation)稱為CV關(guān)聯(lián)效應(yīng).一般來(lái)說(shuō)，只考慮VV關(guān)聯(lián)效應(yīng)就能得到比較精確的結(jié)果，但是對(duì)于電子數(shù)目比較多的體系，如果要得到比較精確的結(jié)果，CV關(guān)聯(lián)效應(yīng)是必須考慮的[13]，在本文計(jì)算中為了得到比較精確的結(jié)果，對(duì)這2種關(guān)聯(lián)效應(yīng)都進(jìn)行了考慮.

1.3 計(jì)算步驟文獻(xiàn)[8-9]已經(jīng)詳細(xì)介紹了電子關(guān)聯(lián)作用,這里只簡(jiǎn)單地介紹主要部分.為了更好解釋如何考慮電子關(guān)聯(lián)效應(yīng),考慮以下2個(gè)步驟：

1) 運(yùn)行Dirac-Fock初步得到1s22s22p63s2的徑向波函數(shù).在這一步里,選用Thomas-Fermi模型勢(shì)作為計(jì)算的初始波函數(shù).在自洽場(chǎng)計(jì)算中,對(duì)所有的軌道都進(jìn)行了優(yōu)化.

2) 設(shè)置n=1-2為閉殼層,也就是說(shuō)主量子數(shù)為1和2的軌道上的電子是封閉的,既不允許這些電子向其他軌道躍遷也不允許其他軌道的電子躍遷到這2個(gè)軌道.允許n=3的軌道一個(gè)電子可以躍遷到n=4,5,6,7軌道上,且任意分布,這樣就考慮了VV關(guān)聯(lián)效應(yīng),其擴(kuò)展的軌道形式為

1s22s22p6nln′l′.

而對(duì)于CV關(guān)聯(lián)效應(yīng)來(lái)說(shuō),此時(shí)考慮2種情況,一種是2p軌道上一個(gè)電子不受限制,或者另一種是2s上一個(gè)電子不受限制.要求對(duì)于一個(gè)雙激發(fā),一個(gè)電子必須來(lái)自原子實(shí)中的2p(2s)軌道,另一個(gè)電子必須來(lái)自價(jià)電子.這樣原子實(shí)n=2軌道電子和價(jià)電子之間的CV關(guān)聯(lián)效應(yīng)就考慮進(jìn)去了,其擴(kuò)展的軌道形式為:

1s22snl2p6n′l′n″l″, 1s22s22p5nln′l′n″l″ .

2 結(jié)果與討論

為了更好的解釋VV和CV電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)的影響,在表1中列出了2種方法計(jì)算出的3s23p和3s3p2的能級(jí),結(jié)果包含了量子電動(dòng)力學(xué)效應(yīng)和Breit修正,其中量子電動(dòng)力學(xué)效應(yīng)考慮自能和真空極化2種修正.實(shí)驗(yàn)值采用美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)局原子與分子數(shù)據(jù)庫(kù)的數(shù)據(jù)作為參考[14].從表1可以看出,考慮了電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)之后,當(dāng)前計(jì)算精度有了較大的提高,與實(shí)驗(yàn)值更加符合.例如能級(jí)9和10,在只考慮VV關(guān)聯(lián)效應(yīng)時(shí),與實(shí)驗(yàn)值的偏差在1.207%和1.228%;而考慮CV關(guān)聯(lián)效應(yīng)后,偏差縮小到了0.095%和0.084%.為了進(jìn)一步展示考慮CV關(guān)聯(lián)效應(yīng)帶來(lái)的影響,在圖1中對(duì)比了不同理論值與實(shí)驗(yàn)值的差異.

圖 1 理論計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值的比較

其中GRASP1和GRASP2的數(shù)據(jù)是來(lái)自文獻(xiàn)[5],基于MCDF方法分別考慮530個(gè)能級(jí)和1 387個(gè)能級(jí)給出的計(jì)算結(jié)果,FAC1和FAC2同樣來(lái)自文獻(xiàn)[5],是基于組態(tài)相互作用分別考慮1 387個(gè)能級(jí)和12 139個(gè)能級(jí)給出的計(jì)算結(jié)果.MCHF的計(jì)算結(jié)果來(lái)自文獻(xiàn)[2].從圖1可以看出,當(dāng)前計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值的最大偏差只有0.603%,而GRASP和FAC的偏差達(dá)到了2.180%和1.751%.結(jié)果表明,考慮電子關(guān)聯(lián)效應(yīng),尤其是內(nèi)殼層的電子,對(duì)于計(jì)算結(jié)果影響是比較大的.

表 1 類鋁鈦離子3s23p和3s3p2能級(jí)

注：a 偏差=|VV值-實(shí)驗(yàn)值|/實(shí)驗(yàn)值*100；b偏差=|CV值-實(shí)驗(yàn)值|/實(shí)驗(yàn)值*100.

同時(shí)可以看出隨著考慮能級(jí)數(shù)量的增加,計(jì)算結(jié)果越接近實(shí)驗(yàn)值,但是通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)理論計(jì)算的3s23p2P3/2的值與實(shí)驗(yàn)值都有較大的差距,當(dāng)前計(jì)算結(jié)果和文獻(xiàn)[4]的結(jié)果都顯示3s23p2P3/2組態(tài)混合貢獻(xiàn)為0.98,按照組態(tài)混合的貢獻(xiàn)應(yīng)該得到很好的結(jié)果,之所以出現(xiàn)差距原因可能是由于早期計(jì)算結(jié)果沒有考慮能級(jí)混合的影響.

等離子體中發(fā)射的譜線可以用來(lái)診斷電子溫度和密度[1],因此準(zhǔn)確的波長(zhǎng)對(duì)于研究等離子體的狀態(tài)是必不可少的.同時(shí)為了驗(yàn)證當(dāng)前計(jì)算的可信性,在表2中給出了類鋁鈦離子躍遷波長(zhǎng)的理論計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)值,其中表2中的本文計(jì)算結(jié)果是考慮電子關(guān)聯(lián)也即CV關(guān)聯(lián)效應(yīng)的結(jié)果.同時(shí)表2也列出了文獻(xiàn)[2]的MCHF計(jì)算結(jié)果和文獻(xiàn)[4]的組態(tài)相互作用計(jì)算結(jié)果,實(shí)驗(yàn)值同樣選取NIST給出的參考值[14].從表2可以看出,當(dāng)前本文計(jì)算值與文獻(xiàn)[14]實(shí)驗(yàn)值符合較好,比值在0.995～1.007,這樣的不確定度與實(shí)驗(yàn)可能產(chǎn)生的偏差相一致,從而驗(yàn)證了當(dāng)前計(jì)算的精確性.同時(shí)看出當(dāng)前計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值的偏差在-0.035～0.467 nm,要好于文獻(xiàn)[2]的-0.422～0.607 nm.文獻(xiàn)[4]的計(jì)算結(jié)果部分優(yōu)于本文,但是計(jì)算結(jié)果不夠完整,考慮躍遷數(shù)量明顯偏少.

對(duì)于從能級(jí)i態(tài)到j(luò)態(tài)躍遷的電偶極振子強(qiáng)度(fij)和躍遷幾率(Aji)的關(guān)系可以用下面的公式來(lái)定義[15]：

(6)

其中,m和e分別是電子質(zhì)量和電荷,c是光速,λji是躍遷波長(zhǎng)(nm),ωi和ωj分別是下能級(jí)i和上能級(jí)j的權(quán)重.對(duì)于電偶極躍遷來(lái)說(shuō),躍遷幾率和振子強(qiáng)度可以給出如下的形式：

(7)

其中S是線強(qiáng)度,單位為原子單位a.u..

表3給出了類鋁鈦離子3s23p—3s3p2躍遷幾率,同時(shí)也給出了來(lái)自文獻(xiàn)[2,4-5]不同計(jì)算方法計(jì)算結(jié)果.其中文獻(xiàn)[2,4]都采用了2種不同方法計(jì)算了躍遷幾率，可以看出其計(jì)算值與本文計(jì)算值、實(shí)驗(yàn)值符合很好.需要說(shuō)明的是文獻(xiàn)[4]報(bào)道的

3s23p2P3/2— 3s3p22P1/2

躍遷幾率為8.3×109s-1,該值明顯偏小.本文計(jì)算的

3s23p2P3/2— 3s3p22D3/2

躍遷幾率為1.2×108s-1,與實(shí)驗(yàn)值的偏差達(dá)到了26%,但是與文獻(xiàn)[2，4]的計(jì)算值相當(dāng),說(shuō)明該躍遷幾率的實(shí)驗(yàn)值是有爭(zhēng)議的,需要在今后的實(shí)驗(yàn)中做進(jìn)一步的測(cè)量.

表 2 類鋁鈦離子的波長(zhǎng)

注：*比值=本文值/實(shí)驗(yàn)值[14].

表 3 類鋁鈦離子3s23p—3s3p2躍遷幾率

表4給出了類鋁鈦離子3s23p—3s3p2振子強(qiáng)度,同時(shí)也給出了來(lái)自文獻(xiàn)[2,5]不同計(jì)算方法計(jì)算結(jié)果.需要說(shuō)明的是,振子強(qiáng)度不是一個(gè)可以直接測(cè)量值,可以通過(guò)(6)式進(jìn)行換算,因此為了驗(yàn)證當(dāng)前振子強(qiáng)度計(jì)算的精確度,引入一個(gè)代表原子結(jié)構(gòu)計(jì)算中總的長(zhǎng)度規(guī)范下的振子強(qiáng)度(fgl)與速度規(guī)范下的振子強(qiáng)度(fgv)的比值，即fgl/fgv.該比值代表的是原子結(jié)構(gòu)計(jì)算中的2種不同規(guī)范(長(zhǎng)度規(guī)范和速度規(guī)范),一般認(rèn)為2種規(guī)范的比值越接近于1,表明計(jì)算結(jié)果越精確[16].從表4可以看出當(dāng)前計(jì)算的比值在0.97～1.07區(qū)間,明顯好于文獻(xiàn)[4]的0.88～1.66,表明當(dāng)前振子強(qiáng)度的計(jì)算是真實(shí)可信的.為了豐富類鋁鈦離子3s23p—3s3p2的躍遷數(shù)據(jù),在表5和6中分別給出了電四極、磁偶極與磁四極的躍遷數(shù)據(jù),因?yàn)楫?dāng)前并沒有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作為比對(duì),因此本文的計(jì)算結(jié)果可以作為辨識(shí)這些譜線的參考.

表 4 類鋁鈦離子3s23p—3s3p2振子強(qiáng)度

注：a比值為文獻(xiàn)值[4] 中的fgl/fgv;b比值為本文值fgl/fgv.

表 5 類鋁鈦離子3s23p—3s3p2磁偶極與電四極躍遷的能量、躍遷幾率與振子強(qiáng)度

表 6 類鋁鈦離子3s23p—3s3p2磁四極躍遷的能量、躍遷幾率與振子強(qiáng)度

3 結(jié)論

利用多組態(tài)Dirac-Hartree-Fock方法詳細(xì)計(jì)算了類鋁鈦離子的3s23p和3s3p2組態(tài),以及兩能級(jí)之間的電偶極、電四極、磁偶極與磁四極躍遷的波長(zhǎng)、躍遷幾率和振子強(qiáng)度.結(jié)果表明考慮電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)后,當(dāng)前CV關(guān)聯(lián)效應(yīng)的結(jié)果與已有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果及理論結(jié)果符合很好.這些結(jié)果對(duì)于理解類鋁鈦離子不同效應(yīng)有重要的意義,同時(shí)對(duì)于分析已有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和指導(dǎo)未來(lái)的實(shí)驗(yàn)也有重要的意義.需要指出的是當(dāng)前計(jì)算結(jié)果是在重點(diǎn)考慮3s23p和3s3p2組態(tài)基礎(chǔ)上給出的,因此可以看出本文的一些計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值仍有一定的差距,因此在今后的計(jì)算中,需要考慮更多的組態(tài)以獲得更好的結(jié)果.