張厚超, 王 安

(平頂山學院 數學與統(tǒng)計學院, 河南 平頂山 467000)

1 預備知識

非線性Sobolev-Galpern型濕氣遷移方程[1]可以用來描述壤中的濕氣遷移現象,該方程具有如下形式

(1)

其中,x=(x,y),Ω?R2為邊界分段光滑的有界凸多邊形區(qū)域,a(u)=a(x,t;u),b(u)=b(x,t;u),f(u)=f(x,t;u)是已知函數.為了討論問題的需要,假設方程(1)中的系數滿足:

(H1) 存在正常數a0、a1、b0、b1、c0、c1、e0、e1,使得?x∈Ω,u∈R,t∈(0,T]有

a0≤a(u)≤a1,b0≤b(u)≤b1,

c0≤c(t)≤c1,e0≤e(t)≤e1.

(H2)a(u)、b(u)、f(u)關于u滿足Lipschitz條件,即存在正常數L,成立

|φ(x,t;u1)-φ(x,t;u2)|≤L|u1-u2|,

?u1,u2∈R,φ=a,b,f.

(H3) 方程(1)的精確解u∈C2(Ω)×(0,T]且存在唯一.

Sobolev-Galpern型濕氣遷移方程具有深刻的物理背景,廣泛應用在土壤中的濕氣遷移、不同介質中的熱傳導以及流體穿過裂縫巖石的滲透理論中，引起了廣泛關注[2-6].文獻[2]討論了多維濕氣遷移方程一類解的漸近性和Blow-up;文獻[3]將Riemann函數及不動點理論有效結合起來,研究了一維濕氣遷移方程的初邊值問題古典解的存在唯一性;文獻[4-6]分別研究了問題(1)有限差分法和譜方法;文獻[7]將質量集中法與Crouzeix-Raviart型非協(xié)調線性三角形元相結合,得到了與普通有限元方法相同的u的H1模的最優(yōu)誤差估計;文獻[8]將非協(xié)調三角形Carey元應用于非線性Sobolev-Galpern型濕氣遷移方程的有限元逼近格式,利用單元特性和誤差估計技巧,得到了能量模的最優(yōu)誤差估計及相應的L2模的收斂結果.對此方程的非協(xié)調混合有限元方法,目前還未見詳細報道.

眾所周知,混合有限元方法具有對空間要求光滑度較低,并能同時得到原始變量和中間變量的誤差估計等優(yōu)勢.最早的混合元格式是由文獻[9]提出的,隨后文獻[10]對此格式進行了修正,使總體自由度有所減少，且保證與文獻[8]有相同收斂階，然而文獻[9-10]的論證較為復雜.為了克服以上困難,文獻[11-12]針對二階橢圓問題提出了另一種混合元格式,且進行了收斂性分析,這種格式較之傳統(tǒng)混合元,具有諸如它的空間對匹配更容易滿足離散的LBB條件、自由度少,且可以避免對矢量有限元空間的試探函數進行散度運算等優(yōu)點.目前,這種格式已經被廣泛應用于二階橢圓[13]、拋物方程[14]和Sobolev方程[14-15]等問題的高精度分析.近年來,文獻[16-17]在矩形網格下研究了其混合有限元方法格式,得到了相關變量的超逼近和超收斂結果及高精度的外推解.然而,上述分析都是在矩形網格剖分下,針對協(xié)調有限元進行的分析.

本文的主要目的是利用非協(xié)調的線性三角形元及P0×P0元,對方程(1)構造了一個新的混合元格式.和傳統(tǒng)的混合元比較,它具有較少的自由度以及LBB條件自動滿足等優(yōu)點.直接利用單元的性質,得到了原始變量u的H1模意義下和中間變量p=-(a(u)▽ut+b(u)▽u)的L2模意義下的最優(yōu)誤差估計.

2 新混合元格式

定義混合有限元空間為

Vh={vh;vh|K∈P1(K),

wh|K∈P0(K)P0(K),?K∈Γh},

(2)

引入u的向量函數P=-(a(u)▽ut+b(u)▽u),則方程(1)可表示為

c(t)ut+e(t)▽·u+▽·p=-f(u),

(x,t)∈Ω×(0,T],

p=-(a(u)▽ut+b(u)▽u),

(x,t)∈Ω×(0,T],

u(x,t)=0, (x,t)∈?Ω×(0,T],

u(x,0)=u0(x), (x,t)∈Ω.

(3)

相應的(3)式對應的弱形式為:求{u,p}:(0,T]→H01(Ω)×(L2(Ω))2,使得

相對應的有限元逼近為:求{uh,ph}:(0,T]→Vh×Wh,使得

定理 2.1問題(5)的解存在且唯一.

一方面,注意到▽Vh?Wh,在(5)式(a)中取vh=φj,同時在(5)式(b)中取ωh=▽φj,可得

(6)

其中

A=((c(t)φi,φj))N1×N1,

B=((▽φi,Ψj))N1×N2,

E=((e(t)▽·φi,φj))N1×N1,

F=(f1,f2,…,fN1)′,

H(t)=(h1(t),h2(t),…,hN1(t))′,

G(t)=(g1(t),g2(t)…,gN2(t))′,

將(6)式(a)和(6)式(b)兩式相加,再由(6)式(c),得初值問題

(7)

由假設(H1)知,矩陣A、C是對稱正定矩陣,從而A+C可逆,由假設(H2)可知,F是Lipschitz連續(xù)的,根據文獻[18]知,初值問題(7)的解存在且唯一.另一方面,在(5)式(b)中取wh=Ψj,得

其中

K=-((ψi,ψj))N2×N2.

由于K是可逆的,則有

(8)

將(7)式的唯一解H(t)代入到(8)式,可知G(t)存在且唯一.證畢.

3 誤差分析

為了給出相應的最優(yōu)誤差估計,首先引入下面引理.

引理 3.1[19]對P∈(H1(Ω))2,v∈Vh,則有

(9)

這里,n=(nx,ny)為?K的單位外法線方向,C代表與h無關的常數.

定理 3.1設u和uh分別是(1)和(5)式的解,當u∈H01(Ω)∩W2,∞(Ω),ut∈H2(Ω)∩W1,∞(Ω),p∈H1(Ω)時,有

‖u-uh‖1,h≤Ch{‖u‖2+

(10)

‖p-ph‖0≤Ch{‖u‖2+‖ut‖2+|p|1+

(11)

注意到(▽vh,ρ)=0,(ρ,wh)=0,上面誤差方程可寫成

一方面,在(12)式(a)中取vh=ξt,在(12)式(b)中取wh=▽ξt,然后兩式相加得

(c1ξt,ξt)+(a(uh)▽ξt,▽ξt)=

-(e(t)▽·ξ,ξt)-(e(t)▽·η,ξt)-

(c(t)ηt,ξt)-(b(uh)▽ξ,▽ξt)-

(b(uh)▽η,▽ξt)+((c1-c(t))ξt,ξt)-

((b(u)-b(uh))▽u,▽ξt)-((a(uh)-

a(u))▽ut,▽ξt)+((f(uh)-f(u)),ξt)+

(13)

下面依次估計Ai,i=1,2,…,10.

注意到,?ξ∈H1(Ω),因此由Schwarz不等式得

|A1|+|A2|≤

C(‖▽·ξ‖0+‖▽·η‖0)‖ξt‖0≤

C(‖ξ‖1,h+‖η‖1,h)‖ξt‖0.

利用假設(H1),則有

|A3|+|A6|≤C(‖ξt‖0+‖ηt‖0)‖ξt‖0,

|A4|+|A5|≤C(‖ξ‖1,h+‖η‖1,h)‖ξt‖1,h.

根據a(u)、b(u)及f(u)滿足假設(H2),可得

|A7|≤C‖u-uh‖0‖u‖L∞(H1)‖ξt‖1,h≤

C(‖η‖0+‖ξ‖0)‖ξ‖1,h,

|A8|≤C‖u-uh‖0‖ut‖L∞(H1)‖ξt‖1,h≤

C(‖η‖0+‖ξ‖0)‖ξ‖1,h,

|A9|≤C‖u-uh‖0‖ξt‖0≤

C(‖η‖0+‖ξ‖0)‖ξt‖0.

根據引理3.1得

|A10|≤Ch‖p‖1‖ξt‖1,h.

將上述對Ai,i=1,2,…,10的估計代入到(13)式,根據文獻[16]知,?vh∈Vh,‖vh‖0≤C‖vh‖1,h,則有

(14)

‖ξt‖1,h≤Ch(‖ut‖1+‖u‖2+|p|1).(15)

|p|1)2ds]1/2.

(16)

在(12)式(b)中,取w=θ,可得

(b(uh)▽ξ,θ)-(a(uh)▽ηt,θ)-

(b(uh)▽η,θ)-(ρ,θ)-((a(u)-

a(uh))▽ut,θ)-

(17)

根據假設(H1),采用類似于A4、A5的估計方法,則有

‖η‖1,h+‖ηt‖1,h)‖θ‖0.

(18)

由單元插值的定義,可得

G5=0.

(19)

由假設(H2),類似于A7、A8的估計,可得

|G6|+|G7|≤C‖u-uh‖0‖θ‖0≤

C(‖ξ‖0+‖η‖0)‖θ‖0.

(20)

將(15)、(16)式以及(18)～(20)式代入到(17)式,可得

‖θ‖0≤Ch{‖u‖2+‖ut‖2+|p|1+

由(16)和(21)式及三角不等式得

‖u-uh‖1,h≤Ch{‖u‖2+

‖p-ph‖0≤Ch{‖u‖2+‖ut‖2+|p|1+

證畢.

致謝平頂山學院青年科研基金(PXY-QNJJ-2019009)對本文給予了資助，謹致謝意.