王宏偉, 李廷先, 袁 偉

(1. 安陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 河南 安陽(yáng) 455000; 2. 安陽(yáng)師范學(xué)院 物理與電氣工程學(xué)院, 河南 安陽(yáng) 455000)

在研究淺液層中的重力毛細(xì)波和等離子體中的磁聲傳播問(wèn)題時(shí),Kawahara[1]得到了如下一類(lèi)五階KdV方程

ut+uxxx+uxxxxx+uux=0,

(1)

其中u=u(x,t)是未知函數(shù).(1)式的Cauchy問(wèn)題的研究已經(jīng)取得了大量的成果.Cui等[2]首先在Hs(R)(s>-1)上證明了(1)式局部解的適定性,Wang等[3]利用Kenig等[4]KdV雙線性估計(jì)方法改進(jìn)了結(jié)果,把局部適定性結(jié)論推進(jìn)到Hs(R)(s≥-7/5),隨后,文獻(xiàn)[5-6]通過(guò)一類(lèi)[k;Z]乘子范數(shù)估計(jì),在Hs(R)(s>-7/4)上證明了局部解的適定性,用I能量方法在Hs(R)(s≥-7/4)上證明了整體解的適定性.關(guān)于方程(1)初邊值問(wèn)題研究還沒(méi)有相關(guān)結(jié)果.

色散波方程初邊值問(wèn)題的研究工作,最早的成果是由Fokas[7]、Bona等[8]、Colliander等[9]得到的.近年來(lái),這類(lèi)問(wèn)題逐漸成為色散波方程研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)問(wèn)題,可參見(jiàn)文獻(xiàn)[10-12].本文將研究如下一類(lèi)五階線性KdV方程的初邊值問(wèn)題

(2)

利用Fokas[7]的一致變換方法(UTM),得到方程(2)解的一個(gè)積分表達(dá)式,為后續(xù)局部和整體適定性問(wèn)題的研究奠定了基礎(chǔ).

1 顯式解的推導(dǎo)過(guò)程

假定v(x,t)=eikx-ω(k)t是方程vt+vxxx+vxxxxx=0的一個(gè)解,代入方程可以得到五階線性KdV方程的色散關(guān)系式ω(k)=i(k5-k3).下面分4步來(lái)推導(dǎo)方程(2)的顯式解.

1.1 將方程(2)寫(xiě)成散度形式設(shè)u(x,t)是方程(2)的解,則

(e-ikx+ω(k)tu)t=ω(k)e-ikx+ω(k)tu+e-ikx+ω(k)tut=

ω(k)e-ikx+ω(k)tu+e-ikx+ω(k)t(-uxxx-uxxxxx+f)=

(ω(k)u+f)e-ikx+ω(k)t-[e-ikx+ω(k)t(uxx+uxxxx)]x-

ike-ikx+ω(k)t(uxx+uxxxx)=

(ω(k)u+f)e-ikx+ω(k)t-[e-ikx+ω(k)t(uxx+uxxxx)]x-

[ike-ikx+ω(k)t(ux+uxxx)]x-

k2e-ikx+ω(k)t(ux+uxxx)=e-ikx+ω(k)tf-

[e-ikx+ω(k)t(uxxxx+ikuxxx+(1-k2)uxx)]x-

[e-ikx+ω(k)t(ik(1-k2)ux+k2(k2-1)u)]x. (3)

(3)式就是和(2)式等價(jià)的散度形式的方程,把它稱為局部關(guān)系等式.

1.2 利用格林公式得到整體關(guān)系等式將(3)式兩邊在區(qū)域R={x≥0,0

ik(1-k2)ux+k2(k2-1)u))xdtdx=0.

使用格林公式有

ik(1-k2)ux+k2(k2-1)u)dt=0,

即

(1-k2)uxx(0,s)+ik(1-k2)ux(0,s)+

k2(k2-1)u(0,s))dt.

定義函數(shù)u(x,t)關(guān)于空間變量在半直線上的Fourier變換為

k∈C-={k∈C:Imk≤0}.

為了書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便,定義函數(shù)

k∈C,i=0,1,…,4,

則有如下整體關(guān)系等式

(1-k2)g2(ω(k),T)+ik(1-k2)g1(ω(k),T)+

k2(k2-1)g0(ω(k),T)=

(4)

把上式中的T替換為t,并令

G(k,t)=g4(ω(k),t)+ikg3(ω(k),t)+

(1-k2)g2(ω(k),t)+ik(1-k2)g1(ω(k),t)+

k2(k2-1)g0(ω(k),t),

(5)

得到

(6)

1.3 構(gòu)造合適的積分路徑定義區(qū)域

D={k:Re(ω(k))<0},

D+=D∪C+,D-=D∪C-.

用kR、kI分別表示k的實(shí)部和虛部,則k=kR+ikI,

圖1

根據(jù)Fokas[7]的UTM方法和整體關(guān)系等式(6),得到

(7)

1.4 消去未知量在u(x,t)表達(dá)式(11)中,φ(x)、f(x,t)是已知的,因此第一、二項(xiàng)可以直接計(jì)算得到.在后三項(xiàng)中,積分路徑是已知的,被積函數(shù)G(k,t)是未知的.由G(k,t)的表達(dá)式(5)可知,g0、g1、g2可根據(jù)已知的邊界條件ψ0、ψ1、ψ2得到,下面用g0、g1、g2來(lái)表示g3、g4.

解方程k5-k3=μ5(k)-μ3(k),除μ(k)=k之外,可以得到4個(gè)解μi(k),i=1,2,3,4,它們的表達(dá)式可以用Matlab得到,且滿足

iμ1(k)g3(ω,t)+(1-μ1(k)2)g2(ω,t)+

iμ1(k)(1-μ1(k)2)g1(ω,t)+

μ1(k)2(μ1(k)2-1)g0(ω,t)-

iμ2(k)g3(ω,t)+(1-μ2(k)2)g2(ω,t)+

iμ2(k)(1-μ2(k)2)g1(ω,t)+

μ2(k)2(μ2(k)2-1)g0(ω,t)-

聯(lián)立以上2式得

g4(ω,t)=

iμ1μ2(μ1+μ2)g1(ω,t)+

g3(ω,t)=

G1(k,t)=g41(k,t)+ikg31(k,t)+

(1-k2)g2(ω(k),t)+ik(1-k2)g1(ω(k),t)+

k2(k2-1)g0(ω(k),t),

(8)

則

g4(ω,t)=

iμ2μ3(μ2+μ3)g1(ω,t)+

g3(ω,t)=

同理,令

g42(k,t)=g4(ω,t)-

G2(k,t)=g42(k,t)+ikg32(k,t)+

(1-k2)g2(ω(k),t)+ik(1-k2)g1(ω(k),t)+

k2(k2-1)g0(ω(k),t),

(9)

則

g4(ω,t)=

iμ3μ4(μ3+μ4)g1(ω,t)+

g3(ω,t)=

同理,令

g43(k,t)=g4(ω,t)-

G3(k,t)=g43(k,t)+ikg33(k,t)+

(1-k2)g2(ω(k),t)+ik(1-k2)g1(ω(k),t)+

k2(k2-1)g0(ω(k),t),

(10)

則

2 結(jié)論

下面總結(jié)給出本文的主要結(jié)論.

定理 1五階線性KdV方程在半直線上的初邊值問(wèn)題(2)的顯式積分解由下式給出

(11)

致謝安陽(yáng)師范學(xué)院大學(xué)生創(chuàng)新基金(ASCX/2018-Z111)對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.