張紀(jì)強(qiáng)， 賈靜麗

(1.安徽三聯(lián)學(xué)院 基礎(chǔ)部，合肥 230601; 2.安徽文達(dá)信息工程學(xué)院 計(jì)算機(jī)工程系，合肥 230032)

1 泛函微分方程含義

泛函微分方程，被稱為時(shí)滯微分方程、微分差分方程，是對各種具有復(fù)雜變元的微分方程和帶有各種滯后量的積分微分方程等的抽象和概況。相較于常微分方程，它對客觀世界的描述更加精確和細(xì)致，在現(xiàn)代化的科學(xué)研究中具有重要的作用。

世界上第一個(gè)泛函微分方程是Condorcet[1]在1771年討論Euler提出的古典幾何學(xué)問題(是否存在一種曲線，經(jīng)過平移和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)后還能與漸縮線重合)時(shí)導(dǎo)出的。這個(gè)泛函微分方程為

自第一個(gè)泛函微分方程出現(xiàn)后，眾多數(shù)學(xué)家[2-3]都對這類泛函微分方程進(jìn)行過研究，但是鑒于其復(fù)雜性，并沒有實(shí)質(zhì)性的研究成果。隨著廣泛課題研究的出現(xiàn)，泛函微分方程獲得了全面實(shí)質(zhì)性的發(fā)展，并且在不斷的發(fā)展中建立了幾大方向。在現(xiàn)階段研究中，一般有滯后型、中立型、超前型這幾種。

20世紀(jì)50年代后，學(xué)者們[4-5]開始大量研究泛函微分方程的穩(wěn)定性。在泛函微分方程中，穩(wěn)定性是其中一項(xiàng)重要內(nèi)容。

2 中立型泛函微分方程的穩(wěn)定性

中立型泛函微分方程，可以簡寫為NFDE，它分為有界滯量的中立型泛函微分方程和無窮延滯的中立型泛函微分方程。

有界滯量的中立型泛函微分方程[6]可以表示為

在對中立型泛函微分方程的穩(wěn)定性研究方面，巴爾巴辛的V函數(shù)是基于n階線性微分系統(tǒng)來構(gòu)造的，對NFDE的穩(wěn)定性研究是有效的。其他學(xué)者則采用類比法構(gòu)建V函數(shù)對三到五階非線性微分系統(tǒng)開展研究[7-9]。

如對于Lyapunov泛函微分方程來說，有穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性3種情況。

令x′=f(x,t)中的平衡態(tài)為x0=0，如果存在正定函數(shù)V(x,t)有連續(xù)一階偏導(dǎo)，且滿足兩個(gè)條件：

(1)V′(x,t)是非正定函數(shù)，那么該函數(shù)的平衡態(tài)具有一致穩(wěn)定性；

(2) 如果Rn是正定函數(shù)V(x,t)的定義域Ω，對于?t0和?x(t0)≠0，當(dāng)t>t0時(shí)，V′(x,t)不恒等于0，則該函數(shù)的平衡態(tài)具有一致漸進(jìn)穩(wěn)定性；

對于上述函數(shù)，如果滿足下列條件：

①V′(x,t)是負(fù)定函數(shù)，那么該函數(shù)的平衡態(tài)具有一致漸進(jìn)穩(wěn)定性；

② 當(dāng)x→∞時(shí)，V(x,t)→∞，則該函數(shù)的平衡態(tài)具有大范圍一致漸進(jìn)穩(wěn)定性。

對于中立型泛函微分方程，無論是一階還是二階，甚至五階都可以采用類比方法構(gòu)建V函數(shù)求解方程的穩(wěn)定性，這是常見且有效的方法。如Sun Y G[10]就證明了一個(gè)非線性多時(shí)滯的中立型泛函微分方程具有穩(wěn)定性;武卉[11]也在基于Sun Y G的研究基礎(chǔ)上證明了非自治非線性三階中立型泛函微分方程的零解具有漸近穩(wěn)定性特征。

中立型泛函微分方程本身包含很多種類，對于不同類別的NFDE還可以采用不同的方法進(jìn)行研究。除了構(gòu)建V函數(shù)以外，有的學(xué)者還采用了Lyapunov泛函和Razumikhin技巧、Lyapunov泛函和上鞅收斂定理、Runge-Kutta法、線性θ-法等對中立型的泛函微分的穩(wěn)定性進(jìn)行研究，并取得了較好成效。

3 非線性泛函微分方程的穩(wěn)定性

Barwell[12]對線性模型方程的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，基于方程式(1)提出了P-穩(wěn)定和GP-穩(wěn)定，并驗(yàn)證了Euler法具有GP-穩(wěn)定性。

(1)

Torelli[13]將原有的線性方程模型的穩(wěn)定性研究拓展到非線性剛延遲微分方程處置問題中，基于方程式(2)提出了GRN-和RN-穩(wěn)定性，同時(shí)驗(yàn)證了向后的Euler法具有GRN-穩(wěn)定。

(2)

這里f滿足下面條件：

Torelli的研究與后來的學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)要實(shí)現(xiàn)RN-穩(wěn)定非常困難，其條件非?？量?。

李壽佛[14]在有限維歐式空間中探討了一般形式的非線性剛性Volterra泛微分方程的初值問題，構(gòu)建了B-穩(wěn)定的新理論，從而為非線性剛性的常微分、延遲微分和積分微分方程等奠定了統(tǒng)一的數(shù)值方法穩(wěn)定性的理論基礎(chǔ)，然而對于中立型泛函微分方程，B-理論并不適用。

(3)

其中，a,b,τ為常數(shù)，取值范圍為-∞

針對條件：

以及

通過求解方程式(3)，采用一般線性法和Runge-Kutta法建立了B-穩(wěn)定，新B理論的建立為非線性剛體積分微分方程的穩(wěn)定性研究提供了統(tǒng)一的理論基礎(chǔ)。

以上的研究都是以單邊Lipschitz和內(nèi)積范數(shù)為條件的，都是探討有限維內(nèi)空間中的初值問題。然而，現(xiàn)實(shí)科學(xué)工程中許多問題都是剛性問題，這導(dǎo)致使用內(nèi)積范數(shù)時(shí)，最小單邊的Lipschitz常數(shù)往往會(huì)取巨大的正值，這在一定程度上影響了其使用，對此，李壽佛[14]還進(jìn)一步對Banach空間X中的一類Volterra泛函微分方程類D(α,β,μ1,μ2)進(jìn)行了研究，并驗(yàn)證了漸進(jìn)穩(wěn)定結(jié)果和理論解的穩(wěn)定性。

(4)

方程式(4)還需要滿足以下條件：

文立平[15]進(jìn)一步研究了Dλ*(α,β,μ1,μ2)和Dλ*,δ(α,β,μ1,μ2)，并提出了θ-法、對角隱式和顯式Runge-Kutta、線性多步法等的穩(wěn)定性。

Banach空間是具有范數(shù)并對范數(shù)完備的一個(gè)向量空間，它是由波蘭的斯特凡·巴拿赫等人于1920—1922年期間提出來的，并以他的名字來命名。隨著計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展，對泛函微分方程的研究有了突破性的進(jìn)展，特別是對Banach空間中的泛函微分方程的研究。當(dāng)前，許多關(guān)于無限維泛函微分方程的研究都是在Banach空間下進(jìn)行的。在Banach空間下，非線性泛函微分方程通常可以用θ-法、對角隱式和顯式Runge-Kutta、一般線性多步法等方法進(jìn)行穩(wěn)定性分析。

4 隨機(jī)時(shí)滯泛函微分方程的穩(wěn)定性

隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，許多領(lǐng)域的工程系統(tǒng)都存在時(shí)滯現(xiàn)象，系統(tǒng)的狀態(tài)往往受到之前的時(shí)間影響，即某個(gè)時(shí)間的狀態(tài)會(huì)對該時(shí)間點(diǎn)后的狀態(tài)產(chǎn)生影響。由此，存在隨機(jī)時(shí)滯微分方程：

dx(t)=f(x(t),x(t-τ))dt+

g(x(t),x(t-τ))dW(t)，t≥0

(5)

當(dāng)函數(shù)依賴系統(tǒng)滯后項(xiàng)時(shí)，產(chǎn)生中立型隨機(jī)時(shí)滯微分方程：

d[x(t)-G(x(t-τ))]=f(x(t),x(t-τ)(dt+
g(x(t),x(t-τ))dW(t),t≥0

(6)

其中，中立項(xiàng)為G(x(t-τ))，G(0)=0。

1982年，Nosov he和Kolmanovskii[16]進(jìn)一步拓展更廣泛的中立型隨機(jī)泛函微分方程，可以表示為

d[x(t)-G(xt)]=f(x(t),xt)dt+
g(x(t),xt)dW(t)，t≥0

(7)

其中xt=x(t+θ),-τ≤θ≤0。

在中立型隨機(jī)泛函微分方程的穩(wěn)定性研究方面，Mao[17-18]利用Razumukhin技術(shù)驗(yàn)證了中立型隨機(jī)泛函微分方程的均方指數(shù)穩(wěn)定性；Liao[19]也驗(yàn)證了中立型隨機(jī)時(shí)滯微分方程的理論解具有指數(shù)穩(wěn)定性特征；Luo等[20]指出局部Lipschitz條件，驗(yàn)證了方程理論解具有指數(shù)均方穩(wěn)定性特征。

Huang[21]驗(yàn)證了隨機(jī)時(shí)滯微分方程(式(5))的分步θ-法和θ-法均具有穩(wěn)定性。

fT(t,u,v)Qf(t,u,v)≤K1uTQu+K2vTQv

(t,u,v)∈R+×Rd×Rd

其中，K1,K2為常數(shù)，Q是正定矩陣，對于有界步長，θ-法具有均方漸近穩(wěn)定性，分步θ-法具有均方指數(shù)穩(wěn)定性。

Liu[22]驗(yàn)證了式(6)即中立型隨機(jī)時(shí)滯微分方程的分步θ-法和θ-法具有穩(wěn)定性。方程式(6)中，令

fT(t,u,v)Qf(t,u,v)≤K1uTQu+K2vTQv

(t,u,v)∈R+×Rd×Rd

對于任意的步長來說，分步θ-法具有均方指數(shù)穩(wěn)定性。對于有界步長，θ-法都具有均方漸近穩(wěn)定性。

Zhou[23]利用非負(fù)半鞅收斂定理對方程式(7)進(jìn)行了研究，當(dāng)BEM符合單邊的Lipschitz條件，BEM法具有幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性。事實(shí)上，式(7)是很難得出其解析解的，因此Zhou等[24]的數(shù)值方法的穩(wěn)定性研究是非常必要的。許多學(xué)者對式(7)開展不同數(shù)值方法的穩(wěn)定性研究，如Zong等[24]對BHM法和EM法的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定和矩指數(shù)穩(wěn)定性進(jìn)行了探討；Yu[25]探討了的BEM和EM法的指數(shù)穩(wěn)定性和幾乎必然漸近穩(wěn)定性；Wang[26]探討了BEM法的均方漸近穩(wěn)定性。

5 結(jié)束語

泛函微分方程的種類有很多，其數(shù)值方法的穩(wěn)定性研究是泛函微分方程的研究重點(diǎn)。本文只選取了中立型泛函微分方程、非線性泛函微分方程和隨機(jī)時(shí)滯泛函微分方程的穩(wěn)定性進(jìn)行了概括性綜述。不同類型的泛函微分方程采用的數(shù)值方法有相似的方法，但也有一些區(qū)別。如中立型泛函微分方程可以Lyapunov泛函和Razumikhin技巧、Lyapunov泛函和上鞅收斂定理、Runge-Kutta法進(jìn)行穩(wěn)定性研究。對于非線性泛函微分方程可以采用θ-法、對角隱式和顯式Runge-Kutta法、一般線性多步法等進(jìn)行研究。對于隨機(jī)時(shí)滯泛函微分方程則可以采用θ-法、Euler-Maruyama法、θ-分步法、Backward Euler-Maruyama法等進(jìn)行穩(wěn)定性分析。無論哪種方法，都旨在為泛函微分方程的穩(wěn)定性研究提供可靠的理論保障。