余慧杰，許 飛，張?chǎng)钨?/p>

（上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093）

汽車在行駛過(guò)程中受到各式各樣的路面激勵(lì)，這些激勵(lì)通過(guò)車身地板最終傳遞到座椅上，從而使座椅產(chǎn)生抖動(dòng)和異響。因此，對(duì)汽車座椅骨架固有頻率的研究是改善車輛駕駛舒適性的一個(gè)重要方面。從上個(gè)世紀(jì)以來(lái)，研究人員開始對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的不確定度進(jìn)行了大量的研究，并取得了豐富的成果。P.Langer等[1]提出了一種區(qū)間隨機(jī)方法，證明了幾何不確定性相比材料參數(shù)對(duì)固有頻率的影響更大，但是作者忽略了結(jié)構(gòu)大范圍波動(dòng)可能造成的影響。X.G.Hua等[2]提出一種改進(jìn)的攝動(dòng)方法，利用隨機(jī)性測(cè)量的模態(tài)參數(shù)，對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)識(shí)別，但是這種方法計(jì)算出的結(jié)果準(zhǔn)確度較差，缺乏實(shí)用價(jià)值。Gilles Tondreau等[3]將隨機(jī)子空間識(shí)別法應(yīng)用到固有頻率的不確定性上，證明了在簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)中幾何參數(shù)不確定時(shí)，固有頻率呈現(xiàn)非正態(tài)分布，但是作者研究對(duì)象的結(jié)構(gòu)都是簡(jiǎn)單梁結(jié)構(gòu)，沒(méi)有對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行分析。汽車座椅骨架作為一種結(jié)構(gòu)復(fù)雜、易于測(cè)量的結(jié)構(gòu)，其固有頻率受到多種不確定因素的影響，在工程上對(duì)其研究較少。

基于上述問(wèn)題，本文針對(duì)汽車座椅骨架提出了一種有效的固有頻率的不確定度研究方法。文中先是確定對(duì)座椅骨架固有頻率有重要影響的主要因素，然后基于響應(yīng)面代理模型，對(duì)汽車座椅骨架前3階固有頻率的不確定度進(jìn)行研究，最后，討論設(shè)計(jì)變量不同種分布對(duì)固有頻率的影響。文中形成比較完善的座椅骨架固有頻率不確定度的分析流程與方法。

1 建立有限元模型

對(duì)座椅骨架固有頻率進(jìn)行不確定度分析，首先要建立整椅有限元模型。由于座椅所有結(jié)構(gòu)都由具有一定厚度的板筋件組成（如圖1（a）所示），所以采用抽取中層面的處理方法。在有限元軟件中用殼單元對(duì)薄壁件進(jìn)行數(shù)學(xué)離散，建立詳細(xì)的有限元模型（如圖1（b）所示）。

圖1 座椅骨架模型

有限元模型建立后，通過(guò)對(duì)真實(shí)的座椅骨架進(jìn)行模態(tài)實(shí)驗(yàn)，獲取座椅的振型和固有頻率，修正和完善有限元模型。

2 不確定度模型

研究汽車座椅骨架的固有頻率的不確定度，需要進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)，假設(shè)對(duì)座椅骨架進(jìn)行n次模態(tài)實(shí)驗(yàn)，得到這n次測(cè)量數(shù)據(jù)的平均值，標(biāo)準(zhǔn)不確定度為平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。通過(guò)貝葉斯理論進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，見(jiàn)式（1）

在工程中，常常用測(cè)量均值μ的后驗(yàn)密度函數(shù)h(μ|x)的期望E[h(μ|x)] 來(lái)表示被測(cè)量真值的估計(jì)值，用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示標(biāo)準(zhǔn)不確定度。通過(guò)對(duì)座椅骨架進(jìn)行多次試驗(yàn)，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理得出先驗(yàn)均值μ0和均值的先驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差τ，并設(shè)測(cè)量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，得出

所以均值μ的先驗(yàn)密度函數(shù)為

假設(shè)當(dāng)前測(cè)量樣本為X=（x1,x2…,xn）T，則樣本的均值為

樣本的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值為

則當(dāng)前樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為

將式（3）和式（5）代入式（1）中得出后驗(yàn)分布為

式中：

μ^為被測(cè)量值的估計(jì)；σ為標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

3 座椅頻率的不確定度研究方法

3.1 技術(shù)路線

為了對(duì)汽車座椅骨架固有頻率的不確定度進(jìn)行研究，需要進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，利用試驗(yàn)設(shè)計(jì)對(duì)影響汽車座椅骨架固有頻率的所有因素進(jìn)行篩選，之后利用篩選出來(lái)的設(shè)計(jì)變量構(gòu)建響應(yīng)面代理模型，最后，基于驗(yàn)證后的響應(yīng)面代理模型對(duì)汽車座椅骨架固有頻率的不確定度進(jìn)行研究，并輸出不確定度值。具體技術(shù)路線如圖2所示。

3.2 模態(tài)影響因子篩選

由于影響座椅骨架固有頻率的因素較多，為了能夠?qū)⑵囎喂羌苤兴杏绊懸蛩丶右钥紤]，需要進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，從而篩選出有重要影響的因子重點(diǎn)考察。將座椅模型中的所有參數(shù)，包括各部件的厚度、材料彈性模量、泊松比、密度、彈簧單元6個(gè)方向剛度等作為輸入設(shè)計(jì)變量，使用哈莫斯利設(shè)計(jì)方法進(jìn)行首輪篩選[4]，獲得前3階固有頻率的靈敏度分析圖。圖3給出各參數(shù)對(duì)座椅第1階固有頻率的靈敏度圖，各參數(shù)的斜率越大表示對(duì)固有頻率的影響越大。

通過(guò)篩選，選擇座椅骨架的彈性模量、坐盆左側(cè)板骨架厚度、導(dǎo)軌滾珠Z向旋轉(zhuǎn)剛度3個(gè)影響因子作為設(shè)計(jì)變量，之后進(jìn)行響應(yīng)面擬合。

圖2 不確定度分析流程圖

圖3 第1階固有頻率靈敏度圖

3.3 響應(yīng)面擬合

建立響應(yīng)面代理模型，就是在滿足一定精度條件下，求解可以替代真實(shí)模型的響應(yīng)函數(shù)，進(jìn)而為快速研究不確定性、敏感性及方案優(yōu)化服務(wù)。響應(yīng)面代理模型是基于響應(yīng)值與訓(xùn)練樣本之間的最小二乘法擬合結(jié)果[5]。這個(gè)代理模型適用于表征真實(shí)模型的全局趨勢(shì)，從而忽略局部震蕩誤差。常用的代理模型建模方法有多項(xiàng)式響應(yīng)面法、Kriging法、徑向基函數(shù)法等。在對(duì)汽車座椅進(jìn)行不確定度研究時(shí)，考慮到擬合的精度和效率，采用二次多項(xiàng)式響應(yīng)面模型，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下

公式中：f(x)為待求值；xi、xj為自變量；β0、βi、βij、βii是對(duì)應(yīng)于各自變量的系數(shù)；ε是隨機(jī)誤差，即代理模型中的響應(yīng)值與真實(shí)模型值之間的誤差。根據(jù)訓(xùn)練樣本進(jìn)行建立代理模型時(shí)，基于最小二乘法可求得系數(shù)β，以滿足代理模型與實(shí)際模型之間的響應(yīng)偏差最小化。

在建立響應(yīng)面代理模型時(shí)，采用1200組運(yùn)用哈默斯利采樣算法得到的樣本組合，運(yùn)用最小二乘法方法構(gòu)建出高精度的響應(yīng)面，最終得到3個(gè)設(shè)計(jì)變量與前3階固有頻率之間的響應(yīng)面，之后對(duì)響應(yīng)面進(jìn)行擬合精度檢驗(yàn)，將另一組樣本點(diǎn)代入響應(yīng)面并計(jì)算其誤差，進(jìn)而得到評(píng)價(jià)響應(yīng)面精度的確定性系數(shù)為0.98242，均方根誤差為0.06173。通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)確定性系數(shù)大于0.92，均方根誤差較小，從而證明響應(yīng)面擬合效果較好。

3.4 基于響應(yīng)面的固有頻率不確定度研究

在響應(yīng)面代理模型基礎(chǔ)上，研究變量隨機(jī)分布對(duì)前3階固有頻率的影響，最終完成對(duì)汽車座椅骨架固有頻率的不確定度評(píng)價(jià)。假設(shè)設(shè)計(jì)變量滿足正態(tài)分布，采用哈莫斯利法在響應(yīng)面代理模型上進(jìn)行模態(tài)提取計(jì)算，通過(guò)對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行104次設(shè)計(jì)組合，進(jìn)而得到設(shè)計(jì)變量滿足正態(tài)分布條件下，前3階固有頻率的估計(jì)值、不確定度值。為了檢驗(yàn)前3階固有頻率估計(jì)值的正確性，通過(guò)模態(tài)實(shí)驗(yàn)獲取座椅骨架實(shí)物模型的前3階固有頻率，通過(guò)對(duì)比研究結(jié)果，發(fā)現(xiàn)基于響應(yīng)面代理模型計(jì)算出來(lái)的前3階固有頻率的估計(jì)值與試驗(yàn)值較為接近，最終確定研究的正確性。表1給出了前3階固有頻率的試驗(yàn)值、估計(jì)值和不確定度值。

表1 前3階固有頻率不確定度統(tǒng)計(jì)表/Hz

從結(jié)果中可以看出，固有頻率的估計(jì)值與試驗(yàn)值十分相近，這說(shuō)明響應(yīng)面模型的精度滿足要求。利用上面的這些參數(shù)，最終可以對(duì)前3階固有頻率集中趨勢(shì)和離散程度進(jìn)行評(píng)測(cè)。

4 設(shè)計(jì)變量滿足不同分布討論

由于工程實(shí)際中設(shè)計(jì)變量的分布除正態(tài)分布之外，也有可能存在均勻分布或三角形分布，為使不確定模型更具一般性，有必要討論設(shè)計(jì)變量滿足這2類分布的情況。通過(guò)將設(shè)計(jì)變量依次設(shè)為均勻分布和三角形分布，在響應(yīng)面代理模型上進(jìn)行104模態(tài)提取計(jì)算，進(jìn)而計(jì)算前3階固有頻率的估計(jì)值、不確定度值。之后對(duì)設(shè)計(jì)變量為2種分布狀態(tài)下的前3階固有頻率樣本分布進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，采用單樣本Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)法，計(jì)算出相應(yīng)的漸近顯著性值。通過(guò)對(duì)比統(tǒng)計(jì)，最終完成不確定度評(píng)估。

表2為設(shè)計(jì)變量滿足均勻分布和三角形分布狀態(tài)下，前3階固有頻率的估計(jì)值、不確定度值和漸近顯著性值。通過(guò)與表1進(jìn)行對(duì)比研究，發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)變量為上述3種分布狀態(tài)下的前3階固有頻率的估計(jì)值和不確定度值相差較小,漸近顯著性值均大于0.05，前3階固有頻率的樣本分布總體符合正態(tài)分布。研究最終證明，設(shè)計(jì)變量分布不同對(duì)前3階固有頻率的估計(jì)值和不確定度值影響較小，前3階固有頻率的樣本分布始終為正態(tài)分布。

表2 前3階固有頻率不確定度值和正態(tài)性檢驗(yàn)表

5 不確定度結(jié)果驗(yàn)證

為了對(duì)研究結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)一步提高研究的可信度，采用一種基于DOE和蒙特卡洛法的不確定度研究方法來(lái)驗(yàn)證。首先對(duì)汽車座椅骨架進(jìn)行106次試驗(yàn)設(shè)計(jì)，得到106組樣本數(shù)據(jù)，之后利用蒙特卡洛法對(duì)這106組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行不確定度分析，最終得到座椅骨架前3階頻率的估計(jì)值和不確定度值。

表3 前3階固有頻率不確定度統(tǒng)計(jì)表/Hz

表3為設(shè)計(jì)變量滿足正態(tài)分布條件下，基于響應(yīng)面法和蒙特卡洛法得到的汽車座椅骨架前3階固有頻率的估計(jì)值和不確定度值。通過(guò)對(duì)比2種方法的計(jì)算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)基于蒙特卡洛法獲得的前3階固有頻率的估計(jì)值、不確定度與基于響應(yīng)面法計(jì)算出來(lái)的結(jié)果相差較小。因此可認(rèn)為得到的結(jié)果可靠度較高，分析模型合理，最終分析結(jié)果可信。

6 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種基于響應(yīng)面的模態(tài)不確定評(píng)價(jià)方法，首先建立汽車座椅骨架有限元模型，通過(guò)試驗(yàn)設(shè)計(jì)篩選出對(duì)前3階固有頻率影響較大的設(shè)計(jì)變量，構(gòu)建響應(yīng)面代理模型，之后基于響應(yīng)面代理模型計(jì)算出前3階固有頻率的估計(jì)值和不確定度值。最后，為了對(duì)研究結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，采用一種基于試驗(yàn)設(shè)計(jì)和蒙特卡洛法的不確定度研究方法，最終完成對(duì)汽車座椅骨架固有頻率的不確定度研究。

研究發(fā)現(xiàn)，設(shè)計(jì)變量的分布不同對(duì)前3階固有頻率的影響較小，設(shè)計(jì)變量不同分布時(shí)每1階固有頻率估計(jì)值和不確定度值差距較小，對(duì)響應(yīng)的結(jié)果影響有限，固有頻率的分布始終為正態(tài)分布。所以，設(shè)計(jì)變量的分布不同對(duì)于固有頻率的最終分布影響效果不顯著。研究結(jié)果為確定樣本不同分布對(duì)固有頻率的影響提供了理論指導(dǎo)。