王簫劍，李鴻光

（上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240）

行星齒輪箱是由太陽輪、行星輪、大齒圈以及行星架等元件組成的機構，具有降低轉速比、放大電機扭轉力等功能。因其傳遞平穩(wěn)、承載力大、體積小巧等優(yōu)點，被廣泛應用于船舶、航天、汽車等領域中。然而此類行業(yè)對行星齒輪箱的安全平穩(wěn)運行要求極高，所以進行行星齒輪箱振動特性研究是十分必要的。

在工程上，有很多商業(yè)軟件可供分析齒輪箱動力學特性，它們通常利用以殼體與實體力學為基礎的有限元分析方法進行分析。這些有限元模型雖然在建模方面能夠保持較高的真實性，準確表現出物體之間的接觸特性，但其通常需要較長的求解時間。

與此同時，對于集中參數模型[1-3,10]目前已有很多研究成果，但在工業(yè)上并未得到廣泛的應用。集中參數模型是一種基于剛體齒輪質量-彈簧表示的模型，研究表明其與實驗及有限元分析結果吻合較好[4-6]。其優(yōu)點在于建立快速，需要的輸入量相對較少，并且求解較為方便。其可利用類似多體動力學代碼來評估不同工況的振動特性。

但其對等效嚙合尺寸的討論相對較少，故所得到的頻譜圖很難完全反映行星齒輪箱振動的全部頻率成分，且忽視了倍頻成分可能對嚙頻帶來的影響。

本文通過隨動坐標系與靜止坐標系間的轉換，結合提出的等效嚙合尺寸模型對行星齒輪箱進行了集中參數建模。采用龍格庫塔法對建立的模型進行數值求解，同時與實驗數據進行對比，表明該方法可以較為準確地識別行星齒輪箱振動頻率，模擬行星齒輪箱振動特征。

1 行星齒輪箱集中參數建模

通常的齒輪箱模型[7，9]如圖1所示，其傳動系統由4部分構成，分別為太陽輪，行星輪，內齒圈與行星架。而齒輪箱則由于輸出構件的不同分為星型齒輪箱及行星齒輪箱。本文研究的行星齒輪箱內齒圈固定，通過各齒輪間嚙合關系，將從太陽輪輸入的功率通過行星輪帶動行星架的運動，傳遞給風扇進行輸出。

圖1 齒輪箱集中參數模型

集中參數建模[2]中采用質量代替6個部件：1個太陽輪，1個大齒圈，1個行星架與3個行星輪。簡化太陽輪-行星輪、行星輪-外齒圈的接觸特性為以嚙頻為變化頻率的正弦形式的剛度。

1.1 部件接觸狀態(tài)建模

對于部件接觸狀態(tài)分為3個系統進行分析，分別為太陽輪-行星輪系統、行星輪-外齒圈系統、行星輪-行星架系統。

(1)太陽輪-行星輪系統

將太陽輪-行星輪的嚙合系統看成雙質量塊單彈簧連接系統，共有6個狀態(tài)變量，分別為太陽輪x向平動xs、太陽輪y向平動ys、太陽輪轉動θzs、輪x向平動xpi、行星輪y向平動ypi、行星輪轉動θzpi。太陽輪、行星輪的運動分別用如下兩式描述。

式中：ψspi=φsp-αpi為嚙合線傾角，即法面壓力角αpi與行星輪相對位置角φsp之差。而

其為等效嚙合尺寸。

(2)外齒圈-行星輪

將外齒圈-行星輪的嚙合系統看成雙質量塊單彈簧連接系統，共有6個狀態(tài)變量，分別為外齒圈x向平動xr、外齒圈y向平動yr、齒圈轉動θzr、星輪x向平動xpi、行星輪y向平動ypi、輪轉動θzpi。外齒圈、行星輪的運動分別用如下兩式表示。

式中：ψrpi=φrp+αpi為嚙合線傾角，即法面壓力角αpi與行星輪相對位置角φrp之和。而

其為嚙合尺寸。

(3)行星架-行星輪

而行星輪與行星架的運動方程為

以上3組矩陣式疊加，即為各狀態(tài)變量隨嚙合剛度變化的動力學方程。此時，式中共有6個構件（1個行星架、1個太陽輪、1個內齒圈、3個行星輪），每個構件有3個狀態(tài)變量，故共存在18個狀態(tài)變量。

構建內部相互作用導致的動力學方程如下式所示

式中：M為質量矩陣；Km為嚙合剛度矩陣；q為狀態(tài)變量列向量。

1.2 部件支承狀態(tài)建模

由于行星輪因安裝在行星架上，不與地面直接接觸，其支承剛度由行星輪-行星架的相互作用剛度代替。故僅需考慮太陽輪，大齒圈與行星架的支承剛度，如下3組式所示：

太陽輪質量-支承剛度系統

二是高度重視閱讀與寫作。美國高中生的閱讀量遠遠大于中國學生，又厚又大的課本，要在課前閱讀，并寫出閱讀筆記和提出問題；教師還會發(fā)閱讀資料及學習任務單；每個單元結束時都有綜合寫作，不論人文課還是科學課，學生們常常一寫就是一篇論文。

大齒圈質量-支承剛度系統

行星架質量-支承剛度系統

以上3組矩陣式子疊加，即為各狀態(tài)變量隨支承剛度變化的動力學方程。此時，式中共有3個構件（1個行星架，1個太陽輪，1個內齒圈），每個構件3個狀態(tài)變量，故共存在9個狀態(tài)變量。

支承剛度作用的動力學方程如下式所示

式中：M為質量矩陣；Kb為支承剛度矩陣；q為狀態(tài)變量列向量。

1.3 隨動坐標系旋轉建模

隨動坐標系與靜止坐標系間的坐標變換一般為

故隨動坐標系下速度在靜止坐標系中可表示為

而加速度在靜止坐標系中可表示為

1.4 系統總體方程分析

結合式（10）、式（14），人字齒行星齒輪傳動系統動力學方程的矩陣形式如下

q為隨動坐標系下狀態(tài)變量，這里存在18個狀態(tài)變量，分別為6個工作構件（1個太陽輪、1個外齒圈、1個行星架、3個行星輪）的x向位移、y向位移與旋轉轉角。

之后，將式（15）、式（17）代入式（18）中，將隨動坐標系系統運動方程轉化到靜止坐標系下。并考慮外加扭矩的影響，所得方程如下

Q為靜止坐標系下狀態(tài)變量。

1.5 等效嚙合尺寸與等效嚙合剛度建模

對于嚙合尺寸，本文忽略齒廓誤差，而僅討論型心制造誤差所帶來的影響。由于在不對中的情況下，將外激勵看為轉子的不平衡激勵。

太陽輪型心以轉頻為頻率周期運動，故其坐標可以表示為

式中，XX、YY為太陽輪型心坐標，X、Y為太陽輪旋轉中心坐標，ω為太陽輪轉動角速度，γ為初始誤差相位角，e為初始誤差值。

將式（20）代入式（19）中，可得到系統新的狀態(tài)方程為

其中，嚙合剛度矩陣中時變變量為時變嚙合剛度[8]，將其規(guī)定為

而等效嚙合尺寸可以由式（6）、式（20）推導得到。

考慮到其他倍頻成分激勵，類比式（22），此處采用ω、2ω、3ω等來代替單個的ω分量，即可將等效嚙合尺寸修正為

由式（10）、式（23）推得，因等效嚙合尺寸變化而導致的內嚙合激勵力F(t)為

式中：NN1(ωct)與NN2(ωct)可由式（18）、式（19）推導得到。

從式（25）中可以看出，系統外界激勵包括轉頻、倍頻、嚙頻以及嚙頻對應的邊頻帶成分。而整個系統為剛度含時間項的非線性振動問題。

2 數值求解

由上述分析可知，系統的動力學方程為包含18個狀態(tài)變量的2階非線性微分方程組，對于此2階微分方程組，求解析解乃至解耦均較為困難。故采用龍格庫塔法（顯式高精度單步算法）對此微分方程組進行數值求解。

將新的動力學方程簡化表示為

式中：q(t)為新的狀態(tài)變量，即

H為傳遞矩陣，即

式中：K′b、K′m、M′分別為經過旋轉變換得到的支承剛度矩陣，嚙合剛度矩陣與質量矩陣。而G與Kω為旋轉變換引入的陀螺矩陣與向心剛度矩陣。

而Y為外界激勵，即為系統輸入

根據龍格庫塔方法，此初值問題表示如下

當龍格庫塔法的時間間隔滿足奈奎斯特采樣定理時，即可得到系統在外激勵下的響應曲線。

選取進行仿真分析的數據如表1所示。

經過上述數值積分，得到太陽輪、外齒圈、行星架與行星輪的振動速度圖像與位移圖像如圖2所示。

3 對比實驗

實驗的振動數據采集自行星齒輪箱故障模擬試驗臺。如圖3所示，試驗臺包括驅動電機、交流電機、行星齒輪箱、固定軸齒輪箱和制動器。采用轉速傳感器和加速度傳感器分別采集電機軸轉速和行星齒輪箱振動信號，電機軸轉速可由驅動電機自由調節(jié)，本實驗中電機為恒定轉速，轉速為2100 r/min。

由于太陽輪制造誤差值無法測量，所以在信號的頻譜圖參考基頻處幅值做歸一化處理，所得實驗信號頻譜與理論信號頻譜比較如圖4所示。

如圖4所示，本文方法能夠清楚地展示出齒輪箱振動的1、2、3、4倍頻、各階嚙頻及其邊頻帶。從實驗結果可以看出，本方法能夠便捷找到系統的各特征頻率，且各頻率幅值與真實情況較為接近。

表1 太陽輪不對中行星齒輪箱仿真模型參數

4 結語

本文提出了行星齒輪等效嚙合尺寸的表示方法，并基于其與隨動坐標變換建立了一種行星齒輪箱動力學模型。對其進行數值求解，并與實驗結果進行比較，表明了該模型能夠較為準確預測行星齒輪箱在太陽輪制造不對中時的振動特征頻率，該模型預測結果較為準確，相比一般的有限元模型計算耗時短。該模型可用于行星齒輪箱的動力學分析與故障診斷。

圖2 動力學模型數值分析結果

圖3 行星齒輪箱實驗布置

圖4 齒輪箱外齒圈振動信號計算結果與實驗結果對比