何恩元，任 松，龍新華

(1.上海拓璞數(shù)控科技股份有限公司，上海 201111；2.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240)

薄壁整體結(jié)構(gòu)件在航空航天領(lǐng)域、飛機(jī)工業(yè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。然而，這些薄壁件的制造過程面臨著巨大的挑戰(zhàn)。在較低的剛度下，切削力會(huì)導(dǎo)致工件產(chǎn)生較大的變形，也可能發(fā)生顫振。此外，銑削加工分析的另一個(gè)難點(diǎn)是其變剛度特性，這涉及到兩個(gè)方面：一個(gè)是刀具切削點(diǎn)的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)是加工過程中的材料去除現(xiàn)象。因此，對(duì)變形或者穩(wěn)定性分析需要對(duì)銑削加工過程中切削位置的模態(tài)參數(shù)或者傳遞函數(shù)進(jìn)行有效計(jì)算。

如果在加工過程的每一個(gè)切削點(diǎn)位置都進(jìn)行幾何模型的建立和網(wǎng)格的重新劃分，其工作量必然較大。為了提高計(jì)算效率，學(xué)者們從各個(gè)角度進(jìn)行了改進(jìn)研究。Altintas等[4]、Yang等[5]提出了基于結(jié)構(gòu)修改法的材料去除特性預(yù)測(cè)模型。萬敏等[6]根據(jù)加工切屑量，對(duì)初始有限元網(wǎng)格進(jìn)行修正，從而得到其材料去除之后的工件特性。也有利用梁、板理論建立的模型，其半解析的表達(dá)式具有較高的計(jì)算效率[7]。

在之前的研究中[8-9]，薄壁結(jié)構(gòu)件的銑削加工振動(dòng)問題被視作是板殼結(jié)構(gòu)件在切削力作用下的振動(dòng)問題，研究取得了一定的結(jié)果。其材料去除特性被視作是具有階梯厚度的Kirchhoff薄板的組合體結(jié)構(gòu)。為了進(jìn)一步使薄壁銑削加工振動(dòng)模型精細(xì)化，本文提出了基于三維彈性理論的薄板銑削加工的材料去除特性模型。由于考慮了工件在厚度方向的動(dòng)力學(xué)特性，模型可以同時(shí)應(yīng)用于粗銑、半精銑和精銑的加工狀態(tài)。

未加工件被視作由一系列子結(jié)構(gòu)堆疊而成，子結(jié)構(gòu)界面邊界條件滿足位移連續(xù)性條件，這由修正變分原理保證。材料去除被離散成各個(gè)子結(jié)構(gòu)逐漸移去的過程。通過有限元方法驗(yàn)證了模型有效性。同時(shí)，雖然是基于板結(jié)構(gòu)件建立的模型，根據(jù)文獻(xiàn)[9] 的結(jié)果，可以自然推廣到整體框結(jié)構(gòu)的銑削加工動(dòng)態(tài)分析中。

1 基于區(qū)域分解的板結(jié)構(gòu)建模

板結(jié)構(gòu)是薄壁整體工件的一個(gè)基本構(gòu)件，在航空航天領(lǐng)域較為常見。在其銑削加工過程中，材料隨著加工過程的進(jìn)行而持續(xù)去除，這會(huì)導(dǎo)致質(zhì)量和剛度矩陣的實(shí)時(shí)更新。為了研究這種材料去除的動(dòng)態(tài)特性，仿照文獻(xiàn)[8-9] 的思路，去除的材料被視作一個(gè)原始工件的子結(jié)構(gòu)，并忽略其相對(duì)振動(dòng)，如圖1所示，接下來給出建模分析的過程。

圖1 材料去除過程

1.1 板振動(dòng)模型

對(duì)于銑削加工的板件，笛卡爾坐標(biāo)系統(tǒng)標(biāo)注在圖1中。

坐標(biāo)系原點(diǎn)處于板件的左下角點(diǎn)，假設(shè)工件是線彈性、各項(xiàng)同性的材料，并且加工變形相對(duì)于其幾何尺寸來講是一微小量。在坐標(biāo)為（x,y,z）處，t時(shí)刻沿著坐標(biāo)軸X，Y，Z方向的振動(dòng)分別標(biāo)記為u(x,y,z,t)、v(x,y,z,t)和w(x,y,z,t)。

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在板銑削加工過程中，一矩形塊的材料從未加工工件移除，如圖2右上角所示。材料去除之后，加工板件在幾何上變得相對(duì)復(fù)雜，從而使得建模變得困難。為了簡化建模過程，加工板件被劃分成一系列的子結(jié)構(gòu)，如圖2所示。

在圖2的子結(jié)構(gòu)分解模型中，每一個(gè)子結(jié)構(gòu)看成是獨(dú)立的，且有其獨(dú)立的位移場(chǎng)變量。在各個(gè)子結(jié)構(gòu)分界面上，連續(xù)性條件是各子結(jié)構(gòu)位移場(chǎng)一致。因此，沿著坐標(biāo)軸X、Y和Z方向可得

圖2 加工件子結(jié)構(gòu)分解模型

式中：i、j、k分別代表各子域沿著X、Y和Z坐標(biāo)軸的方向編號(hào)。

根據(jù)文獻(xiàn)[9] 的結(jié)果，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)對(duì)應(yīng)著一能量泛函取極值，根據(jù)修正變分原理，放松子結(jié)構(gòu)分界面連續(xù)性條件的無約束能量泛函可以表示成

式中：Ti、Ui、Wi分別表示板結(jié)構(gòu)動(dòng)能，勢(shì)能和外力做功。

薄板的動(dòng)能表示為

薄板的勢(shì)能表示為

修正變分原理的核心是將約束條件引入到泛函中，也就是式(2)右邊的第二項(xiàng)積分。其表達(dá)式為

將式(5)代入到式(2)中，對(duì)未知場(chǎng)變量u、v、w求變分運(yùn)算，可以求得拉格朗日乘子，就是對(duì)應(yīng)分區(qū)界面上的應(yīng)力分量。

由于子結(jié)構(gòu)之間的連續(xù)性條件已經(jīng)得到滿足，式(2)就變成了一無約束泛函。不失一般性，將每一個(gè)子結(jié)構(gòu)內(nèi)的位移場(chǎng)變量用車比雪夫多項(xiàng)式展開。對(duì)于一坐標(biāo)點(diǎn)為( )xˉ,yˉ,zˉ，t時(shí)刻沿著X、Y和Z方向的振動(dòng)位移可以寫成

將式(6)代入無約束能量泛函式(2)中，類似于文獻(xiàn)[9] 中的思路，對(duì)時(shí)間坐標(biāo)求變分運(yùn)算，最后令其系數(shù)等于0，就可以得到離散化方程為

得到離散化控制方程之后，令式(7)右邊的廣義力等于 0，并且假設(shè)工件做單頻諧波振動(dòng)就可以得到求解固有頻率的特征方程

對(duì)式(8)求解可以得到固有頻率。再將特征向量代入式(6)中，就可以得到振型。需要強(qiáng)調(diào)的是，各子結(jié)構(gòu)的位移場(chǎng)變量是使用正交多項(xiàng)式展開的，這也就意味著各坐標(biāo)點(diǎn)的振型、傳遞函數(shù)均有半解析的表達(dá)式。

1.2 材料去除建模

而引入的附加剛度矩陣。

如果兩個(gè)子結(jié)構(gòu)在幾何上是全等的，那么其對(duì)應(yīng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣就是相等的。同時(shí)，如果分區(qū)界面在幾何上也全等，那么其對(duì)應(yīng)的附加剛度矩陣也相等。所以，為了降低計(jì)算量，在進(jìn)行子結(jié)構(gòu)模型劃分時(shí)，應(yīng)該盡量保證子結(jié)構(gòu)的幾何全等關(guān)系。

圖3 結(jié)構(gòu)與矩陣對(duì)應(yīng)關(guān)系

子結(jié)構(gòu)分解模型和系統(tǒng)矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖3所示。根據(jù)圖3和式(2)所示，每個(gè)子結(jié)構(gòu)分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)質(zhì)量和剛度矩陣塊。分區(qū)界面存在于X、Y和Z3個(gè)方向。每個(gè)方向的界面存在由于連續(xù)性條件

材料去除過程被離散化為各個(gè)子結(jié)構(gòu)逐漸去除的過程。在子結(jié)構(gòu)的內(nèi)部，材料去除忽略不計(jì)。這意味著控制方程的階數(shù)隨著材料的減少而降低的。質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的更新示意如圖4所示。

可以看到，系統(tǒng)矩陣的更新對(duì)應(yīng)著兩個(gè)步驟。第一步，刪除質(zhì)量矩陣和剛度矩陣對(duì)應(yīng)的塊矩陣；第二步，減去相鄰子結(jié)構(gòu)的附加剛度矩陣。刪除矩陣的操作，可以簡化為對(duì)矩陣進(jìn)行乘法和加法運(yùn)算。如圖4所示，其對(duì)應(yīng)的乘法變換矩陣為

圖4 矩陣更新過程

在圖4中，對(duì)應(yīng)的加法變換矩陣為

因此，結(jié)構(gòu)每更新一次，只需要對(duì)系統(tǒng)矩陣進(jìn)行上述的乘法和加法運(yùn)算即可。而工件未切削子結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的矩陣則保持不變。

2 結(jié)果分析

針對(duì)如圖1所示的薄板結(jié)構(gòu)，取一組參數(shù)作為模型驗(yàn)證。不失一般性，假設(shè)其尺寸分別為：長L=100 mm，高H=60 mm，厚t=5 mm。首先，針對(duì)加工之前的板工件，采用有限元方法分析了其固有頻率。并針對(duì)有限元結(jié)果隨著自由度數(shù)的收斂性問題進(jìn)行了分析。

不失一般性，板工件的前5階固有頻率隨著總自由度數(shù)的變化趨勢(shì)如圖5所示。橫坐標(biāo)表示有限元模型自由度，縱坐標(biāo)為固有頻率（Hz）

圖5 固有頻率收斂關(guān)系

可以看到，當(dāng)自由度數(shù)是11592時(shí)，前5階固有頻率分別為 1016.3 Hz、1712.5 Hz、3587.6 Hz、6200.2 Hz、6820.2 Hz。其具體數(shù)值隨著自由度的增加，其固有頻率逐漸收斂。特別地，當(dāng)自由度數(shù)為3625236的時(shí)候，有限元結(jié)果和子結(jié)構(gòu)分解得到的結(jié)果對(duì)比如表1所示。在子結(jié)構(gòu)分解模型中，沿著坐標(biāo)軸X、Y、Z3個(gè)方向等距劃分了4、3、1個(gè)區(qū)域。車比雪夫多項(xiàng)式展開的最高階數(shù)分別為5、5、3?？傮w自由度數(shù)為4×3×6×6×4×3=5184?？梢钥吹剑鄬?duì)于有限元的自由度，子區(qū)域劃分的自由度較少。

表1 固有頻率對(duì)比(DOF=3625236)/Hz

在表1中，ff表示有限元得到的頻率結(jié)果，fp表示所提出的子結(jié)構(gòu)分解模型的結(jié)果?？梢钥吹?，兩者給出的頻率結(jié)果有較高的契合度。

為了研究子結(jié)構(gòu)分解模型對(duì)于考慮材料去除的工件動(dòng)態(tài)特性的預(yù)測(cè)能力，考慮兩種在切削過程中具有代表性的狀態(tài)，如圖6所示。

圖6 兩種材料去除狀態(tài)

圖6展示了工件加工過程的兩種典型狀態(tài)，即銑削加工之中和加工之后。對(duì)于這兩種材料去除狀態(tài)，用子區(qū)域分解方法得到了低階固有頻率的結(jié)果，并采用有限元方法來驗(yàn)證結(jié)果的準(zhǔn)確性。

對(duì)于圖6第一種的狀態(tài)，子區(qū)域分解模型和有限元模型得到的固有頻率對(duì)比如表2所示

表2 加工過程中頻率對(duì)比/Hz

表中：ff表示根據(jù)有限元得到的固有頻率（Hz），fp表示根據(jù)區(qū)域分解方法得到的結(jié)果，相對(duì)誤差定義為二者差值占有限元結(jié)果的百分比重。

對(duì)于圖6所示的在一個(gè)工步加工之后的狀態(tài)，子結(jié)構(gòu)分解模型和有限元模型固有頻率結(jié)果的對(duì)比見表3。

表3 加工之后頻率對(duì)比/Hz

可以看到，子結(jié)構(gòu)分解模型在材料去除之前、之中和之后都可以得到較為精確的結(jié)果，從而驗(yàn)證了模型的正確性。

由于結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)隨著材料的去除而改變，為了直觀的查看這種變化趨勢(shì)，其前3階固有頻率的變化趨勢(shì)如圖7所示。

結(jié)果表明，第1階固有頻率隨著材料的去除有逐漸升高的趨勢(shì)。第2階和第3階頻率隨著加工進(jìn)行則有一定的起伏。

圖7 固有頻率變化趨勢(shì)

3 結(jié)語

本文以薄板結(jié)構(gòu)的銑削加工材料去除的動(dòng)態(tài)特性預(yù)測(cè)為研究對(duì)象，基于三維彈性理論建立了其加工動(dòng)力學(xué)方程。由于考慮了板工件在厚度方向的動(dòng)力學(xué)特性，所提出的模型可以用于粗銑、半精銑和精銑的加工過程。

工件被劃分成一系列子結(jié)構(gòu)的的組合體，在每個(gè)子結(jié)構(gòu)之內(nèi)，其位移場(chǎng)用車比雪夫多項(xiàng)式展開，對(duì)無約束泛函求極值，得到了其離散控制方程。材料的去除被離散成子結(jié)構(gòu)依次移去的過程，質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的更新被轉(zhuǎn)換為矩陣的乘法和加法。經(jīng)有限元方法驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性，可以模擬加工之前、加工時(shí)以及加工之后工件特性的動(dòng)態(tài)變化。

研究結(jié)果表明，材料去除會(huì)使得第1階固有頻率逐漸升高，而高階頻率則會(huì)存在一定的起伏。