夏祥偉，葉淼林

（安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶246133）

本文所涉及的圖均為簡單無向連通圖。設(shè)G=( )V,E是n階m條邊的簡單連通圖，其頂點集為V=，邊集為E，其中的頂點v的度d()v是指G中與v關(guān)聯(lián)的邊的數(shù)目，用表示G的頂點的最小度。若在G中頂點u和v是連通的，則u和v之間的距離d( )u,v是G中最短( )u,v路的長。每一對不同的頂點都有一條邊相連的簡單圖稱為完全圖，n個頂點的完全圖記為Kn。G的補圖Gˉ是指和G有相同頂點集V的一個圖，在Gˉ中兩個頂點相鄰當(dāng)且僅當(dāng)它們在G中不相鄰。設(shè)和是兩個頂點不相交的圖，用表示它們的并圖；用表示它們的聯(lián)圖，即在G1?G2中添加由G1中每個頂點到G2中每個頂點的邊所得的圖。圖G的虧損數(shù)是指G中所有頂點個數(shù)與它的最大匹配中頂點個數(shù)之差，如果def( )G ≤β，則稱圖G是β-虧損的。表示

Wiener指數(shù)是在研究有機化合物的物理化學(xué)性質(zhì)時經(jīng)常使用的經(jīng)典拓?fù)渲笖?shù)，定義為[1]

圖G的Harary指數(shù)是指該圖中所有頂點對之間的距離倒數(shù)之和[4-5]，即H記，則有H

決定一個給定的圖是否是虧損的，是圖論中的一類NP問題。近年來，各國學(xué)者對拓?fù)渲笖?shù)和圖虧損性的研究不斷深入，得到了很多充分或必要條件。Petrosyan等對圖的虧損性進行研究，得到一些有關(guān)完全圖K2n+1和def( G )界的結(jié)論[6]；文獻[7-11]通過研究部分拓?fù)渲笖?shù)討論了圖的哈密爾頓性；任麗芳等利用圖的Wiener指數(shù)、hyper-Wiener指數(shù)和Harary指數(shù)，分別給出了具有最小度條件的連通圖是哈密頓-連通的以及從任一點出發(fā)都是可跡的充分條件[12]。受上述文獻的啟發(fā)，在文獻[13]的相關(guān)條件基礎(chǔ)上，利用圖的Wiener指數(shù)、hyper-Wiener指數(shù)和Harary指數(shù)，給出了具有最小度條件的連通圖是β-虧損的幾個充分條件。值得注意的是，補圖的β-虧損同樣也具有一定的研究價值。下面先介紹相關(guān)引理。