張曉茹，張瀝元，張 鑫，杜佳樂，蘇靖淇，韓雨欣，吳向堯，劉曉靜

（吉林師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林四平136000）

1987年Yablonovitch和John分別獨(dú)立提出光子晶體的概念[1-2]。光子晶體由兩種或兩種以上不同介電常數(shù)的材料構(gòu)成，其重要特征為光子帶隙、缺陷態(tài)、光局域化等[3-7]。利用這些特點(diǎn)，可以用來制造一些全新的高性能設(shè)備，如高效的半導(dǎo)體激光器、發(fā)光二極管、光學(xué)濾波器、波導(dǎo)、光學(xué)衰減器以及光學(xué)放大器[8-11]等。光子晶體具有周期性，因此完整光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)中會出現(xiàn)一條很寬的禁帶，當(dāng)引入缺陷來破壞光子晶體的周期結(jié)構(gòu)時(shí)，原來處在禁帶中的光頻率與束縛態(tài)的頻率一致時(shí)，就會發(fā)生諧振，使原本被禁止的光子在禁帶中傳播，并在缺陷處形成一個(gè)量子化束縛態(tài)，形成缺陷模。近年來，廣大學(xué)者研究了介質(zhì)柱介電常數(shù)為常數(shù)的點(diǎn)缺陷對光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)的影響，并為光學(xué)器件的設(shè)計(jì)提供了很好的思路[12-14]。

本課題組進(jìn)一步研究當(dāng)介質(zhì)柱的介電常數(shù)為函數(shù)形式時(shí)，函數(shù)系數(shù)k的改變對光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)的調(diào)節(jié)作用。文獻(xiàn)[15-18]提出了二維函數(shù)光子晶體的概念，并研究了二維函數(shù)光子晶體中TE和TM波的帶隙結(jié)構(gòu)及Dirac點(diǎn)分布。二維函數(shù)光子晶體不同于二維常規(guī)光子晶體，其介質(zhì)柱折射率是隨空間位置分布的函數(shù)，可通過對介質(zhì)柱施加外電場、光場來改變其折射率，即通過電光效應(yīng)和Kerr效應(yīng)使介質(zhì)柱折射率成為空間位置的分布函數(shù)。在一階電光效應(yīng)中，點(diǎn)缺陷的介質(zhì)柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εr=n20+2αE,可以通過法拉第電磁感應(yīng)定律得到外加電場為沿介質(zhì)柱半徑r線性分布的函數(shù)E=E0r+d，則介電常數(shù)可寫為εr=2αE0r+n20+2αd=kr+b，其中k=2αE0，b=n20+2αd，E0為電場幅值，α為電光效應(yīng)系數(shù)，d為參數(shù)，b為可調(diào)參數(shù)（無量綱），k為函數(shù)系數(shù)（單位為m-1），此時(shí)介電常數(shù)為沿半徑r線性分布的函數(shù)。當(dāng)函數(shù)系數(shù)k=0時(shí)，介質(zhì)柱的介電常數(shù)為常數(shù)；當(dāng)k≠0時(shí)，介質(zhì)柱的介電常數(shù)為沿半徑r線性分布的函數(shù)?？梢姡ㄟ^電光效應(yīng)可使介質(zhì)柱介電常數(shù)成為空間坐標(biāo)函數(shù)，即點(diǎn)缺陷介質(zhì)柱的介電常數(shù)為函數(shù)形是可以實(shí)現(xiàn)的。

本文在研究二維光子晶體中加入兩個(gè)函數(shù)點(diǎn)缺陷時(shí)，點(diǎn)缺陷介質(zhì)柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εr(r)=k r+b，其中可調(diào)參數(shù)k的變化可通過電光效應(yīng)實(shí)現(xiàn)，通過調(diào)節(jié)函數(shù)點(diǎn)缺陷的介質(zhì)柱介電常數(shù)參數(shù)就可實(shí)現(xiàn)光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)的調(diào)制。

1 二維函數(shù)光子晶體介電常數(shù)的傅里葉變換

文獻(xiàn)[15-16]給出了二維函數(shù)光子晶體介電常數(shù)的傅里葉變換，介質(zhì)柱的介電常數(shù)為

（1）式可以寫為

其中

其中G||=m1b1+m2b2，r||=xi+yj，V(2)0為二維空間單原胞體積。

將（2）式代入（3）式得

其中

有

有|r|||=r||=r，|G|||=G||，dr||=ds=rdrdθ，θ為r||和G||的夾角。通過計(jì)算可知

當(dāng)G||→0 (m→0,n→0)時(shí)，

其中，f=πr2a/V(2)0為填充比，有

在方程（5）中，考慮εa(r,θ)= εa(r)，當(dāng)G||=0時(shí)，則有

將I1，I2,和I代入（4）式可得

其中εa(r)= εa，εa為常數(shù)，則（6）式可以寫為

（7）式是二維常規(guī)光子晶體介電常數(shù)的傅里葉變換，可見二維常規(guī)光子晶體是二維函數(shù)光子晶體的一種特殊情況。通過平面波展開法，給出了TE波的特征方程為

將（7）式代入（8）式可以得到二維函數(shù)光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)。

2 數(shù)值分析

根據(jù)上述理論計(jì)算和COMSOL仿真軟件模擬二維光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)和本征場分布。本文中，我們研究介質(zhì)柱按正方形結(jié)構(gòu)周期性排列在空氣中的二維光子晶體，當(dāng)加兩個(gè)函數(shù)點(diǎn)缺陷時(shí)，通過改變點(diǎn)缺陷介質(zhì)柱介電常數(shù)的參數(shù)k的數(shù)值，研究其對帶隙結(jié)構(gòu)的影響，并給出含缺陷的本征場在Ez方向的本征場分布。圖1為含缺陷的正方結(jié)構(gòu)二維光子晶體結(jié)構(gòu)圖，白色圓圈為介質(zhì)柱，其介質(zhì)柱介電常數(shù)為常數(shù)，藍(lán)色兩個(gè)圓圈為兩個(gè)點(diǎn)缺陷，其介質(zhì)柱介電常數(shù)為函數(shù)，其函數(shù)形式為εr=kr+b（0≤ra≤0.5a），ra為介質(zhì)柱的半徑，晶格常數(shù)a=10-7m。在光子晶體中選取7×7超原胞結(jié)構(gòu)，如圖中虛線矩形框內(nèi)所示。

圖1 含缺陷的正方結(jié)構(gòu)二維光子晶體結(jié)構(gòu)圖

首先，通過COMSOL仿真軟件模擬計(jì)算二維完整結(jié)構(gòu)光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)，其中，介質(zhì)柱的εr=9，ra=0.3a，帶隙結(jié)構(gòu)如圖2（a）所示。由圖2（a）可看出，在頻率0.26～0.34內(nèi)出現(xiàn)一條很寬的禁帶。圖2（b）中陰影部分是由3個(gè)高對稱點(diǎn)Γ、X、M所定義的簡約布里淵區(qū)，其坐標(biāo)分別為Γ=2π/a[0,0]，X=2π/a[0.5,0]，Γ =2π/a[0.5,0.5]。

圖2 （a）完整正方結(jié)構(gòu)二維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)；（b）正方結(jié)構(gòu)二維光子晶體第一布里淵區(qū)的擴(kuò)展圖

為了破壞完整光子晶體的周期性得到禁帶中某一頻率的光，我們引入點(diǎn)缺陷。在二維函數(shù)光子晶體[15-18]相關(guān)研究的基礎(chǔ)上，為了進(jìn)一步簡化光子晶體的制作過程，周圍光子晶體保持為常規(guī)不變，缺陷處介質(zhì)柱介電常數(shù)為空間坐標(biāo)分布的函數(shù)，進(jìn)一步研究點(diǎn)缺陷介質(zhì)柱介電常數(shù)中可調(diào)參數(shù)k的變化對光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)的調(diào)節(jié)作用。圖3為正方結(jié)構(gòu)含兩個(gè)點(diǎn)缺陷的二維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)和本征場分布，其中，介質(zhì)柱半徑ra=0.3a保持不變，可調(diào)參數(shù)k=7.8×107m-1，參數(shù)b=9，即相對介電常數(shù)εr=7.8×107r+9。

圖3 （a）含缺陷光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)圖（k=7.8×107m-1）；（b）A點(diǎn)對應(yīng)的本征場圖；（c）B點(diǎn)對應(yīng)的本征場

在圖3（a）中，歸一化頻率為0.26～0.34中出現(xiàn)了兩條缺陷模。在兩條缺陷模上分別取點(diǎn)A坐標(biāo)為（0.315 8，0.290 2）和點(diǎn)B坐標(biāo)為（0.315 8，0.276 2），對應(yīng)歸一化頻率在Ez方向的本征場分別為圖3（b）、（c），右側(cè)彩虹條表示場強(qiáng)的強(qiáng)弱，由上至下場強(qiáng)呈遞減趨勢。由圖3（b）知，在兩個(gè)缺陷位置電場強(qiáng)度很強(qiáng)，呈現(xiàn)偶對稱形式分布，在遠(yuǎn)離缺陷位置電場強(qiáng)度變?nèi)?。?dāng)光子晶體周期結(jié)構(gòu)被破壞，光子被局限在缺陷處時(shí)，能量不斷聚集，因此缺陷處場強(qiáng)越來越大，遠(yuǎn)離缺陷處，場強(qiáng)越來越小。在圖3（c）中，右側(cè)缺陷模處電場強(qiáng)度很強(qiáng)，左側(cè)缺陷處電場強(qiáng)度很弱，呈現(xiàn)奇對稱分布，此時(shí)光的能量可以集中分布在右側(cè)缺陷處，而左側(cè)電場強(qiáng)度很弱。

在圖4中，介質(zhì)柱半徑ra和參數(shù)b不變，可調(diào)參數(shù)k=1.58×108m-1，即點(diǎn)缺陷介質(zhì)柱的相對介電常數(shù)εr=1.58× 108r+9，其對應(yīng)的帶隙結(jié)構(gòu)和本征場分布對應(yīng)于圖4（a）和4（b）。在圖4（a）中，歸一化頻率0.26～0.34中出現(xiàn)了一條缺陷模，相比于圖3，缺陷模的位置紅移，且模數(shù)減少。在缺陷模上取點(diǎn)A坐標(biāo)為(0.315 8，0.273 3)，對應(yīng)歸一化頻率在Ez方向的本征場為圖3（b），在兩個(gè)缺陷位置電場強(qiáng)度很強(qiáng)，呈現(xiàn)偶對稱形式分布，在遠(yuǎn)離缺陷位置電場強(qiáng)度變?nèi)酢?/p>

圖4 （a）含缺陷光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)圖（k=1.58×108m-1）；（b）A點(diǎn)對應(yīng)的本征場圖

在圖5中，介質(zhì)柱半徑ra和參數(shù)b不變，可調(diào)參數(shù)k=3.08×108m-1，即點(diǎn)缺陷介質(zhì)柱的相對介電常數(shù)為εr=3.08× 108r+9，其對應(yīng)的帶隙結(jié)構(gòu)為圖5（a）。在圖5（a）中，在歸一化頻率為0.26～0.3禁帶中，缺陷模消失。缺陷模消失與圖2所示的完整結(jié)構(gòu)光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)相同，即通過調(diào)節(jié)點(diǎn)缺陷介質(zhì)柱介電常數(shù)中可調(diào)參數(shù)k可得到與完整光子晶體相同的帶隙結(jié)構(gòu)。

圖5 含兩個(gè)點(diǎn)缺陷的二維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)（k=30.8×107m-1）

比較圖3～5可知，當(dāng)點(diǎn)缺陷介質(zhì)柱介電常數(shù)中可調(diào)參數(shù)k增大時(shí)，缺陷模的數(shù)目減小，位置紅移?？烧{(diào)參數(shù)k的變化，通過改變外加電場的大小和分布形式來實(shí)現(xiàn)，即可以通過改變外加電場的方式，方便地調(diào)節(jié)二維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)，控制缺陷模的數(shù)量和位置，從而得到所需的帶隙結(jié)構(gòu)。

3 結(jié)論

綜上所述，通過理論推導(dǎo)介質(zhì)柱介電常數(shù)為空間坐標(biāo)函數(shù)形式的Fourier積分解析表達(dá)式，用COMSOL仿真軟件模擬得到二維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)和電場分布。結(jié)果表明：當(dāng)點(diǎn)缺陷介質(zhì)柱介電常數(shù)中可調(diào)參數(shù)k增大時(shí)，缺陷模的數(shù)目減小，位置紅移，從而可以通過改變點(diǎn)缺陷介質(zhì)柱介電常數(shù)中可調(diào)參數(shù)k的值，實(shí)現(xiàn)二維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)的調(diào)制?？烧{(diào)參數(shù)k的變化，可依據(jù)電光效應(yīng)，通過改變外加電場的大小和分布形式來實(shí)現(xiàn)。由于點(diǎn)缺陷介質(zhì)柱的介電常數(shù)的函數(shù)系數(shù)可調(diào)節(jié)，其得到的帶隙結(jié)構(gòu)也可調(diào)節(jié)，因此可以得到所需要的帶隙結(jié)構(gòu)。這為光學(xué)器件的設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)和新的設(shè)計(jì)思路。相比于常規(guī)光子晶體，不需要重新更換介質(zhì)柱，這也會節(jié)省大量的材料成本。