劉繼平，張曉茹，劉 晗，楊涪銓，潘 慶，吳向堯

（吉林師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林四平136000）

1987年Yablonovitch和John兩人分別獨(dú)立提出光子晶體的概念[1-2]。目前為止，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)于光子晶體的研究也取得了較為豐碩的成果[3-5]，例如Zhang等制備出一種多通道可調(diào)太赫茲濾波器[6]，Dai等設(shè)計(jì)出一種基于等離子體量子阱結(jié)構(gòu)的雙通道窄帶可調(diào)濾波器[7]，Wu等提出光子晶體三極管等[8]。光子晶體是由介電常數(shù)不同的兩種或兩種以上材料構(gòu)成的人工微結(jié)構(gòu)，從維度角度可將光子晶體分為一維、二維和三維光子晶體。二維光子晶體的相關(guān)研究是目前國內(nèi)外的研究熱點(diǎn)。光子晶體中介質(zhì)介電常數(shù)的形式有常規(guī)和函數(shù)之分，故又可將其分為常規(guī)光子晶體和函數(shù)光子晶體。光子晶體的主要特征有光子帶隙、缺陷態(tài)、光局域化等[9-11]。當(dāng)光在光子晶體中傳播時(shí)，某些頻率范圍內(nèi)的光會(huì)受到限制，形成光子禁帶，在禁帶中光的傳播是被禁止的。當(dāng)光子晶體的周期性結(jié)構(gòu)被破壞時(shí)，如去掉一個(gè)或幾個(gè)介質(zhì)柱，改變其中一個(gè)或幾個(gè)介質(zhì)柱的折射率，這樣在原來的帶隙中就會(huì)出現(xiàn)一條或幾條缺陷模式曲線，允許某些特定頻率的光通過帶隙，因此起到控制光子運(yùn)動(dòng)的作用。利用這一特性可以設(shè)計(jì)優(yōu)化很多高性能設(shè)備，如發(fā)光二極管、半導(dǎo)體激光器、光學(xué)濾波器等[12-13]。光子晶體在TE和TM偏振下，均存在帶隙結(jié)構(gòu)，在TE和TM波帶隙重合的區(qū)域，稱為絕對(duì)帶隙或完全帶隙。一般情況下，光子晶體的禁帶越寬，其性能就越穩(wěn)定[14-15]。研究光子晶體常用的方法有平面波展開法、有限元法、傳輸矩陣法和時(shí)域有限差分法等[16-18]。

在文獻(xiàn)[16]中，肖利等首次提出二維函數(shù)光子晶體的概念，所謂二維函數(shù)光子晶體，即組成光子晶體的介質(zhì)柱的介電常數(shù)是空間坐標(biāo)的函數(shù)，可通過外加電場光場實(shí)現(xiàn)將光子晶體介質(zhì)柱的介電常數(shù)呈空間坐標(biāo)形式分布，即通過電光效應(yīng)和光學(xué)Kerr效應(yīng)使介質(zhì)柱介電常數(shù)成為空間坐標(biāo)的分布函數(shù)。在本文中，基于二維常規(guī)和函數(shù)光子晶體在TE偏振下，用平面波展開法和COMSOL Multiphysics軟件基于有限元法研究二者的帶隙結(jié)構(gòu)，比較兩種方法的研究特點(diǎn)。通過對(duì)比研究我們得到一些經(jīng)驗(yàn)結(jié)論，這為進(jìn)一步研究二維函數(shù)光子晶體理論和利用函數(shù)光子晶體設(shè)計(jì)光學(xué)器件奠定了重要基礎(chǔ)，并且提供重要的研究方法與思路。

1 二維光子晶體研究方法

1.1 平面波展開法

文獻(xiàn)[16]中，用平面波展開法給出了TM和TE波的特征方程：

二維函數(shù)光子晶體介質(zhì)柱的介電常數(shù)可以寫為

即

由傅里葉逆變換得到

當(dāng)εa(r)= εa，εa是常數(shù)，方程（5）可以變?yōu)?/p>

方程（6）是二維常規(guī)光子晶體介電常數(shù)的傅里葉變換?？梢?，二維常規(guī)光子晶體是二維函數(shù)光子晶體的一個(gè)特例。把方程（5）和（6）分別代入方程（1）和方程（2）中，可以得到二維函數(shù)光子晶體和二維常規(guī)光子晶體在TM和TE偏振下的帶隙結(jié)構(gòu)。

1.2 有限元法

有限元法（Finite Element Method,FED）[17]的主要思想是將連續(xù)場求解區(qū)域剖分成有限個(gè)離散的子域單元區(qū)域，并在每個(gè)離散的子單元中利用簡單的函數(shù)來近似場值，然后將所有子單元的場值合成，逼近整個(gè)場域的解。

在本文中，基于COMSOL Multiphysics軟件，利用Bom-Von Kannan周期性邊界條件和Bloch波理論，將周期結(jié)構(gòu)的有限元離散特征方程化歸到一個(gè)周期單胞內(nèi)的復(fù)系數(shù)特征方程，然后將其分為實(shí)部和虛部兩組方程，并在周期單胞邊界上應(yīng)用Bloch定理，求解得到實(shí)數(shù)特征方程，獲得頻散曲線。具體來說，在COMSOL中，利用幾何工具建立晶體模型最簡單的單細(xì)胞結(jié)構(gòu)，根據(jù)布洛赫定理，在單元格的4個(gè)邊界上增加了兩組周期性邊界條件，并建立合適的網(wǎng)格，通過給定波矢k的范圍，求解頻率ω，得到色散曲線關(guān)系ω (k)，利用matlab軟件編程轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)，通過Origin畫圖得到二維光子晶體的色散關(guān)系曲線。

2 物理模型與數(shù)值分析

以二維正方結(jié)構(gòu)光子晶體為例，由于光子晶體是周期性結(jié)構(gòu)，所以選取光子晶體中的一個(gè)單胞進(jìn)行計(jì)算。在二維光子晶體中，介質(zhì)柱半徑為ra=0.3a（晶格常數(shù)a=10-7m），背景介質(zhì)為空氣εb=1。對(duì)于二維常規(guī)光子晶體取介質(zhì)柱的折射率n=3.42；對(duì)于二維函數(shù)光子晶體，取介質(zhì)柱的介電常數(shù)為εr=k?r+b，其中k為函數(shù)系數(shù)，單位為1 m，b為無量綱參數(shù)。

圖1（a）為正方結(jié)構(gòu)二維光子晶體中的一個(gè)單胞，其中a1、a2為單胞的晶格矢量。圖1（b）中，藍(lán)色陰影部分是由3個(gè)高對(duì)稱點(diǎn)Γ、Χ和Μ定義的簡約布里淵區(qū)，三點(diǎn)坐標(biāo)分別為為布洛赫波矢k的x，y分量。

圖1 （a）定義正方單胞的晶格矢量a1和a2；（b）第一布里淵區(qū)擴(kuò)展圖

圖2 為常規(guī)光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)圖，其中介質(zhì)柱的折射率n=3.42。圖2（a）為通過平面波展開法計(jì)算得到的帶隙結(jié)構(gòu)，其中，第一條禁帶的頻率范圍：0.238 6～0.318 9，第二條禁帶：0.428 4～0.528 3，第三條禁帶：0.670 5～0.701 0。圖2（b）為通過COMSOL建模計(jì)算得到的帶隙結(jié)構(gòu)，其中，第一條禁帶的頻率范圍：0.233 4～0.303 8，第二條禁帶：0.412 7～0.516 9，第三條禁帶：0.642 3～0.694 1。從2（a）與2（b）以及禁帶頻率范圍的對(duì)比可以看出，兩種計(jì)算方法得到的帶隙結(jié)構(gòu)圖的能帶分布基本相同，第一、二條禁帶的位置及范圍相差很小，第三條禁帶的頻率頻率范圍差距相對(duì)明顯。

圖3為函數(shù)光子晶體平面波展開法和COMSOL建模計(jì)算得到的帶隙結(jié)構(gòu)圖，其中介質(zhì)柱的函數(shù)介電常數(shù)ε(r)=5.6× 107?r+11.6964。在圖2（a）中，第一條禁帶頻率范圍：0.230 1～0.309 1，第二條禁帶：0.410 7～0.520 2，第三條禁帶：0.651 4～0.690 6。在圖2（b）中，第一條禁帶頻率范圍：0.224 1～0.291 7，第二條禁帶：0.393 8～0.502 7，第三條禁帶：0.620 8～0.680 6。從圖2（a）與圖2（b）以及禁帶頻率范圍的對(duì)比可以看出，兩種計(jì)算方法得到的帶隙結(jié)構(gòu)圖的能帶分布基本相同，第一、二條禁帶的位置及范圍相差很小，第三條禁帶的頻率頻率范圍差距相對(duì)明顯。

圖2和圖3中，均是第三條禁帶及以上通帶的差別較大，這是頻率所致。低頻時(shí)，誤差相對(duì)較?。桓哳l時(shí)，其誤差相對(duì)較大。關(guān)于頻率造成誤差的原因在文獻(xiàn)[19]中有進(jìn)一步的解釋。平面波展開法與有限元法實(shí)質(zhì)上都是求解電場的偏微分方程，只是運(yùn)用的方法不同，兩種算法計(jì)算同一參數(shù)下光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)出現(xiàn)微小差距，原因在于兩者的計(jì)算方法不同，得到的結(jié)果會(huì)有相應(yīng)的誤差，用COMSOL建模計(jì)算時(shí)，給定的波矢范圍是個(gè)猜測值，取值會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果又一定的影響，但是經(jīng)過驗(yàn)證，一般取頻率為光子晶體歸一化頻率的0.1～0.5倍，都能得到較好的計(jì)算結(jié)果。

圖2 常規(guī)光子晶體在兩種計(jì)算方法下的帶隙結(jié)構(gòu)圖。

圖3 函數(shù)光子在兩種計(jì)算方法下的晶體的帶隙結(jié)構(gòu)圖

3 結(jié)論

利用平面波展開法研究光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)時(shí)，理論推導(dǎo)較為清晰，能夠更加直觀地理解光子晶體色散關(guān)系的求解過程，但是對(duì)于處理較復(fù)雜的光子晶體結(jié)構(gòu)或含有缺陷的光子晶體結(jié)構(gòu)時(shí)，該方法很難精確計(jì)算，甚至不能求解。利用基于有限元法COMSOL軟件計(jì)算光子晶體能帶時(shí)，雖然計(jì)算過程不能直觀顯示，但是COMSOL中能夠結(jié)合超胞技術(shù)計(jì)算超胞的能帶，該方法也可計(jì)算含缺陷的光子晶體能帶，并能直觀地看出光子在缺陷處的分布狀態(tài)。與已有計(jì)算方法相比，該方法在適用性、難易程度、計(jì)算速度、精確度、收斂性等方面具有明顯的優(yōu)越性。