張博軒，趙天白

(中國電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081)

0 引言

近年來，隨著數(shù)字信號處理技術(shù)的發(fā)展，基于Delta-sigma ADC的單比特信號處理方法開始得到一些應(yīng)用[1]。傳統(tǒng)的信號時(shí)延估計(jì)方法，通常需要大量高精度、高分辨率、實(shí)時(shí)的環(huán)境識別，但是每個傳感器的計(jì)算能力是有限的，而且在相關(guān)的計(jì)算過程中需要復(fù)雜的數(shù)字器件。目前基于Delta-sigma調(diào)制的單比特信號處理方法在文獻(xiàn)中已經(jīng)有所提及，但是還沒有形成比較完善的檢測系統(tǒng)[2]，本文提出一種將單比特信號處理技術(shù)應(yīng)用在硬件系統(tǒng)上的新思路，利用基于Delta-sigma調(diào)制器結(jié)構(gòu)的單比特信號處理算法降低FPGA等邏輯芯片計(jì)算資源的消耗，實(shí)現(xiàn)了單比特信號處理算法從仿真到硬件實(shí)現(xiàn)的理論論證。

1 超聲測量的基本原理

1.1 亮點(diǎn)模型

亮點(diǎn)模型最早由湯渭林提出，用于分析主動聲納系統(tǒng)中的目標(biāo)回波結(jié)構(gòu)，并用來仿真目標(biāo)回波，同樣也適用于超聲測量中障礙物的回波建模。

理論分析和實(shí)驗(yàn)研究都證明，在高頻情況下，任何一個復(fù)雜目標(biāo)的回波都是由若干個子回波迭加而成，每個子回波可以看作是從某個散射點(diǎn)發(fā)出的波，這個散射點(diǎn)就是亮點(diǎn)，它可以是真實(shí)的亮點(diǎn)。也可以是某個等效的亮點(diǎn)這樣，任何一個復(fù)雜目標(biāo)都可以等效成若干個散射亮點(diǎn)的組合，每個散射亮點(diǎn)產(chǎn)生一個亮點(diǎn)回波，總回波是這些亮點(diǎn)回波相干迭加的結(jié)果。

亮點(diǎn)及其回波具有以下特點(diǎn)，根據(jù)形成機(jī)理可以把亮點(diǎn)分成2類：

(1)幾何類亮點(diǎn)。它主要由目標(biāo)的幾何形狀決定，最重要的是凸光滑表面上的鏡反射亮點(diǎn)，當(dāng)表面曲率半徑較大時(shí)，它的貢獻(xiàn)往往是第一位的；其次是邊緣或棱角的反射亮點(diǎn)，有時(shí)候它們也不能被忽略。這類亮點(diǎn)回波可以用物理聲學(xué)或幾何聲學(xué)方法找出，它們的聲中心與幾何中心一致。

(2)彈性類亮點(diǎn)。它們是在特定條件下出現(xiàn)的表面繞行波或彈性散射波對應(yīng)的亮點(diǎn)。這類亮點(diǎn)必須用波動或幾何繞射理論分析，并不存在真實(shí)的幾何亮點(diǎn)，而是根據(jù)波傳播的聲程確定的等效亮點(diǎn)。例如，彈性球或球殼的回波是一個脈沖串，其中第一個是鏡反射波，亮點(diǎn)是球的頂點(diǎn)，后續(xù)的波都是彈性類散射波，并無真實(shí)的幾何亮點(diǎn)存在，但是可以根據(jù)這些波相對于鏡反射波的時(shí)延值確定等效亮點(diǎn)位置。

超聲測距系統(tǒng)示意如圖1所示。

圖1 超聲測距系統(tǒng)示意

考慮如圖1所示的超聲測距系統(tǒng)：超聲傳感器安裝在機(jī)器人身體前方，通過周期性發(fā)射脈沖信號來探測障礙物距離。最簡單的情況是只有一個亮點(diǎn)的點(diǎn)目標(biāo)，如果發(fā)射的聲信號為s(t)，遇到點(diǎn)目標(biāo)時(shí)發(fā)生反射，反射波被超聲換能器接收，接收信號x(t)可以表示為：

x(t)=B·As(t-τ)+n(t)，

(1)

式中，B為超聲波在空氣中傳播的幅度衰減；A為點(diǎn)目標(biāo)的反射系數(shù)，許多情況下，A都是一個復(fù)數(shù)，A的模值表示反射波的幅度變化，介于0～1之間，而A的輻角表示反射波的相位變化，介于0～2π之間；τ為反射波相對于發(fā)射波的時(shí)間延遲，超聲測量的目的是估計(jì)τ的值，來計(jì)算目標(biāo)的距離；n(t)為接收的噪聲包含環(huán)境噪聲和電路的噪聲。

當(dāng)目標(biāo)不是一個點(diǎn)目標(biāo)時(shí)，可以根據(jù)亮點(diǎn)模型將其分解為M個亮點(diǎn)的組合，這時(shí)回波將是M個亮點(diǎn)的回波疊加，接收信號x(t)可以表示為：

(2)

式中，Bi為第i個亮點(diǎn)的傳播損失；Ai為反射系數(shù)；τi為時(shí)間延遲。M個亮點(diǎn)共同決定了反射波的結(jié)構(gòu)。

1.2 超聲傳感器的波束寬度與分辨率

實(shí)際應(yīng)用中的超聲傳感器具有一定的指向性，實(shí)際發(fā)射的聲波并不是一根線，而是具有一定寬度的波束。圖2中用兩條射線表示超聲傳感器的波束寬度，圓弧表示傳播時(shí)間相同的點(diǎn)，也稱為波陣面，在同一波陣面上的點(diǎn)目標(biāo)表現(xiàn)為一個亮點(diǎn)，在時(shí)間上不能分辨。

圖2 機(jī)器人的超聲測距示意

隨著超聲波的傳播，波陣面將不斷擴(kuò)大，不能分辨的空間也變大，因此用超聲波探測的距離是有限的。對于一個開角為30°的超聲傳感器，在1 m處不能分辨的距離約為0.52 m，此處將會擴(kuò)大一倍。

除了同一波陣面上的亮點(diǎn)不能分辨之外，由于反射波時(shí)延的測量也不能無限精確，在時(shí)延測量精度內(nèi)的亮點(diǎn)也不能分辨。圖2(a)是用超聲波探測墻壁的情形，這時(shí)墻壁上的點(diǎn)由于處于不同的波陣面上，將會形成一連串的亮點(diǎn)，當(dāng)距離墻壁很近時(shí)，這些亮點(diǎn)將會合成一個，從而不能分辨，這其實(shí)是許多超聲測距系統(tǒng)的工作狀態(tài)。

圖2(b)是測距系統(tǒng)測量門框時(shí)的情況，一方面2個門框處于同一波陣面上；另一方面門框的棱角將會形成強(qiáng)的亮點(diǎn)，超聲傳感器接收到門框的回波時(shí)，同樣會認(rèn)為是一道墻(圖2(b)中的虛線所示)，這也是文獻(xiàn)[4]所提出問題的答案。

改善超聲測距系統(tǒng)的分辨能力有2種方法：

① 改善角度分辨能力。可以使用開角更小的超聲傳感器或傳感器陣列，但這意味著如果要探測360°的目標(biāo)就需要更多的超聲傳感器，更多的時(shí)間和成本。同時(shí)也可以使用讓機(jī)器人運(yùn)動的方式，一方面，可以通過變換測量位置進(jìn)行多次測量后將結(jié)果綜合后進(jìn)行判斷[5]；另一方面可以通過運(yùn)動讓門的距離更近些，如圖2(c)的情況。光學(xué)探測的情況略有不同，還可以使用放大鏡和望遠(yuǎn)鏡這些光學(xué)聚焦手段。

② 改善時(shí)間分辨能力。如果能夠精確地測量門框和墻壁的位置，自然也能判斷出是門還是墻壁。

1.3 匹配濾波與脈沖壓縮

接收到的信號除了亮點(diǎn)的反射波，還包含隨機(jī)噪聲n(t)，通常假設(shè)是白噪聲，具有平坦的功率譜密度N0。根據(jù)最大輸出信噪比準(zhǔn)則，可以得到最佳的檢測器為[6]：

(3)

式中，

h(t)=Ks*(t0-t)，

(4)

為檢測器的沖激響應(yīng)；K為一個常數(shù)；t0為對參考信號s(t)時(shí)延時(shí)刻，這一系統(tǒng)被稱為匹配濾波器。把式(4)代入式(3)可得：

(5)

其輸出實(shí)際是接收信號與發(fā)射信號互相關(guān)函數(shù)RXS，因此匹配濾波器與互相關(guān)器是等價(jià)的。

進(jìn)一步將式(1)代入式(5)中可以得到匹配濾波器將在t=t0+τ時(shí)刻具有最大輸出信噪比：

(6)

如果定義輸出信噪比與輸入信噪比的比值為處理增益：

(7)

式中，B為接收系統(tǒng)的帶寬，一般與信號的帶寬相同；T為信號的脈沖寬度。

對于頻率為f0的單頻脈沖信號，

(8)

其帶寬B和脈沖寬度T近似滿足[7]：

BT≈1。

(9)

也就是說，如果使用單頻脈沖信號進(jìn)行檢測，其獲得的處理增益G將是一個常數(shù)。

對于功率為P，TB=N>1的復(fù)雜信號，其脈沖長度為T，經(jīng)匹配濾波器后其輸出脈沖寬度為：

(10)

輸出脈沖峰值功率是P0，并近似有：

P0T0=PT。

(11)

因此，

P0≈NP。

(12)

一方面匹配濾波器將信號長度由T壓縮到T0=T/N；另一方信號功率由P增加到P0。這就是“脈沖壓縮”的含義，N=TB就是脈沖壓縮倍數(shù)。顯然，一切TB>1的信號都是脈沖壓縮信號，獲得的處理增益G將大于單頻脈沖信號。最常用的復(fù)雜信號有線性調(diào)頻信號(LFM信號)，其表達(dá)式為：

(13)

式中，f0為線性調(diào)頻信號的起始頻率；k=B/T為調(diào)頻率。

1.4 模糊度函數(shù)與分辨率

信號s(t)的模糊函數(shù)定義為[8]：

(14)

對于式(3)定義的匹配濾波器而言，如果輸入的信號是有時(shí)延τ0和頻移ξ0時(shí)，

x(t)=s(t-τ0)ej2πξ0(t-τ0)。

(15)

其輸出變化為：

y(t)=Kχ(τ0+t0-t，-ξ0)。

(16)

因而，通過研究信號模糊函數(shù)的特性可以了解聲吶系統(tǒng)匹配濾波處理的效果，而這正是模糊函數(shù)研究的最大意義。

假設(shè)有2個亮點(diǎn)的反射波信號：亮點(diǎn)1反射波時(shí)延為τ0頻移為ξ0。亮點(diǎn)2的回波時(shí)延τ0-τ頻移為ξ0+ξ，即

x1(t)=s(t-τ0)ej2πξ0(t-τ0)，

(17)

x2(t)=s(t-τ0+τ)ej2π(ξ0+ξ)(t-τ0+τ)。

(18)

可以采用2個信號的方差即

(19)

來衡量2個信號的差別，σ2越大越容易區(qū)分這2個目標(biāo)的回波。將式(17)、(18)代入式(19)式可得：

δ2≥2[E-|χ(τ，ξ)|]。

(20)

因此，模糊度函數(shù)也用來分析信號的分辨能力，如果目標(biāo)不運(yùn)動時(shí)，亮點(diǎn)的反射波沒有頻移項(xiàng)ξ0，可以用模糊度函數(shù)在時(shí)延軸上的剖面χ(τ，0)來衡量信號的時(shí)間分辨率，如果以|χ(τ，0)|幅值的0.707作為分辨2個目標(biāo)的極限值，對應(yīng)的延時(shí)寬度Δτ就是信號的時(shí)間分辨率。

根據(jù)式(6)，匹配濾波器檢測增益的提高只能依靠增加信號的能量，而與信號形式無關(guān)，同樣能量的信號，單頻長脈沖和復(fù)雜信號具有同樣的檢測效果。但是，單頻脈沖信號能量的增加主要靠增加功率P或信號長度T。增加峰值功率受到發(fā)射系統(tǒng)和傳感器最大功率的限制，因此一般靠增加T來增加信號能量。但單脈沖T的增加，意味著信號帶寬B的減小，因此距離分辨力也減小。如果要求匹配濾波在不降低信號距離分辨性能的條件下，提高檢測性能，必須采用復(fù)雜信號。

圖3顯示了CW和LFM信號探測能力的對比。有6個亮點(diǎn)分別位于距離超聲傳感器1，1.006，1.03,1.05，1.07，1.09 m處，忽略空氣中的傳播損失，前4個亮點(diǎn)的反射系數(shù)均為0.2，后2個亮點(diǎn)的反射系數(shù)為0.05，接收系統(tǒng)的帶寬為20 kHz，噪聲是功率為1 W的白噪聲，圖3(a)，圖3(b)分別是發(fā)射脈寬為50 μs的CW和LFM的信號時(shí)，互相關(guān)器的輸出，可以看出，由于前2個亮點(diǎn)的距離差小于發(fā)射信號的最小分辨率，其輸出的峰值靠得很近，較難分辨，中間2個亮點(diǎn)的回波則能夠清楚地區(qū)分開，最后2個亮點(diǎn)由于信噪比不夠高，已經(jīng)不能分辨。圖3(c)，圖3(d)是將發(fā)射脈寬加長至400 μs時(shí)的輸出，由于發(fā)射信號能量的增強(qiáng)，輸出的信噪比明顯增加，圖3(d)中最后2個亮點(diǎn)已經(jīng)清晰可辨，而圖3(c)由于使用CW脈沖，其時(shí)間分辨率降低，6個亮點(diǎn)已經(jīng)不能分辨。

圖3 互相關(guān)器的輸出

1.5 相位匹配與失配

式(3)所定義的匹配濾波器是復(fù)數(shù)運(yùn)算的，而實(shí)際使用中的信號都是實(shí)信號xI(t)，為得到其虛部xQ(t)，需要進(jìn)行希爾伯特變換：

xQ(t)=Hilbert[xI(t)]，

(21)

x(t)=xI(t)+jxQ(t)。

(22)

進(jìn)行匹配濾波后再取輸出的實(shí)部進(jìn)行判斷：

yI(t)=Re[y(t)]=K·Re[Rxs(t0-t)]。

(23)

亮點(diǎn)的反射系數(shù)是一個復(fù)數(shù)A=|A|ejφ，此時(shí)回波信號是：

x(t)=|A|ejφs(t-τ)。

(24)

將式(24)代入式(23)中得到匹配濾波器輸出：

yI(t)=Re[Rs(t0+τ-t)ejφ]，

(25)

式中，Rs(t)是信號的自相關(guān)函數(shù)。

t=t0+τ時(shí)，輸出變?yōu)椋?/p>

yI(t)=Rs(0)cosφ。

(26)

可見，除非φ=0，否則yI(t)不可能達(dá)到最大輸出值Rs(0)。由于在檢測中，相位并不包含所需要的信息，因此，通常取復(fù)相關(guān)或匹配濾波運(yùn)算輸出的模為：

|y(t)|=|Rs(t0+τ-t)|，

它與φ無關(guān)，完全匹配時(shí)，

|y(t)|=R0(0)=E，

計(jì)算方法為：

(27)

式中，

(28)

式(27)，(28)也被稱為正交接收機(jī)，為了避免計(jì)算輸入信號xI(t)的希爾伯特變換xQ(t)，還可以使用：

(29)

聯(lián)合式(27)來計(jì)算，值得注意的是就信噪比檢測增益而言，式(28)，(29)定義的匹配濾波器都要比相位完全匹配的匹配濾波器小3 dB。

2 單比特相關(guān)器

2.1 數(shù)字相關(guān)器

隨著超大規(guī)模集成電路(VLSI)的發(fā)展，使用基于集成電路的數(shù)字信號處理方法進(jìn)行計(jì)算具有更高的通用價(jià)值[9]。根據(jù)數(shù)字信號處理的基本理論，可以將式(27)，(29)分別表示為其采樣形式：

(30)

(31)

可以將反射回波信號經(jīng)過AD采樣量化后用大規(guī)模集成電路進(jìn)行數(shù)字計(jì)算[10]。

2.2 Delta-sigma調(diào)制

Delta-sigma AD轉(zhuǎn)換器是近年來發(fā)展的一種新型結(jié)構(gòu)的AD變換器[11]，與傳統(tǒng)的AD變換器不同，借助于過采樣技術(shù)，可以用較少的比特?cái)?shù)來表示被采樣信號，在音頻信號領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。圖4(a)是一階單比特Delta-sigma調(diào)制原理圖。輸入的模擬信號經(jīng)過單比特量化ADC(比較器)量化為1 bit的數(shù)字信號，比較器的輸出再使用一個單比特DA轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換為模擬信號，并與輸入信號進(jìn)行相減，其輸出端輸出1就表示當(dāng)前輸入的模擬信號比前一時(shí)刻的信號增加，而輸出-1則表示比前一時(shí)刻減小。圖4(b)顯示了單比特Delta-sigma調(diào)制器量化正弦波的例子，如果輸入電平是一個固定的直流電平時(shí)，調(diào)制器的輸出端會在1和-1中交替變化。

圖4 Delta-sigma調(diào)制

對于傳統(tǒng)AD轉(zhuǎn)換器來說，當(dāng)采樣速率高于兩倍的信號最高頻率時(shí)，可以無失真地回復(fù)原信號。這就是奈奎斯特采樣定律，而使用Delta-sigma調(diào)制器進(jìn)行采樣時(shí)，采樣的量化噪聲不是均勻分布在整個帶寬內(nèi)的，距離其采樣頻率越近的頻率點(diǎn)量化噪聲越高，為了降低量化噪聲的影響，Delta-sigma調(diào)制器的采樣速率需要遠(yuǎn)高于信號的奈奎斯特采樣頻率，即過采樣技術(shù)，再借助于帶限于奈奎斯特采樣頻率的數(shù)字低通濾波器來濾除量化噪聲的影響。

2.3 單比特相關(guān)器

借助于Delta-sigma調(diào)制器，可以將復(fù)雜的信號表示為單比特的數(shù)字信號，在后序的數(shù)字信號處理中，減小了計(jì)算的復(fù)雜度。Mirioru等人最早將單比特信號處理技術(shù)應(yīng)用于直流電機(jī)的控制中[12]，而后Shinnosuke和Mirioru設(shè)計(jì)了單比特互相關(guān)器，并將其用于機(jī)器人超聲測距中[13-14]。

文獻(xiàn)[12]中給出了單比特相關(guān)的計(jì)算方法，應(yīng)用其推導(dǎo)結(jié)果，互相關(guān)器2個相鄰時(shí)刻輸出差表示為：

y1(t)-y1(t-1)=-x1(t-N)+2x1(t-N+Z1)。

(32)

可以經(jīng)由Delta-sigma調(diào)制的輸入信號，同樣計(jì)算得到調(diào)制后的相關(guān)函數(shù)，再由：

y(t)=y1(t)+y1(t-1)，

(33)

即可還原出相關(guān)函數(shù)，計(jì)算出的結(jié)果還要經(jīng)過低通濾波，濾除高頻量化噪聲。

同理可以得出進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算時(shí)，只需要分別將參考信號的實(shí)部和虛部分別進(jìn)行單比特互相關(guān)運(yùn)算，再求模值即可，具體計(jì)算流程如圖5所示。

圖5 單比特互相關(guān)器計(jì)算流程

這種單比特相關(guān)器大大減小了相關(guān)運(yùn)算的復(fù)雜度，只需要使用M個累加器和較少位數(shù)的乘法器，特別適用于FPGA/CPLD或?qū)Ｓ肁SIC實(shí)現(xiàn)。

3 仿真實(shí)例

仿真實(shí)驗(yàn)是用Matlab計(jì)算完成。發(fā)射選用線性調(diào)頻脈沖LFM信號，脈寬為5 ms，6個點(diǎn)目標(biāo)分別位于1，1.006，1.03，1.05，1.07，1.09 m處，其反射系數(shù)的模值均為0.2，前4個亮點(diǎn)相移為0，第5個亮點(diǎn)相移為180，第6個亮點(diǎn)相移為90?？諝庵械穆曀偃?40 m/s。接收信號使用單比特一階Delta-sigma調(diào)制器進(jìn)行調(diào)制。調(diào)制器的采樣速率為12.5 MHz，輸出FIR濾波器采用119步的三角加權(quán)滑動平均以濾除量化噪聲。為了對比，同時(shí)用Matlab以采樣速率125 kHz進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，無環(huán)境噪聲時(shí)計(jì)算結(jié)果如圖6所示。

圖6(a)是Matlab浮點(diǎn)互相關(guān)器的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算采用復(fù)數(shù)運(yùn)算，實(shí)線是式(23)的計(jì)算結(jié)果，是互相關(guān)器輸出的實(shí)部，虛線是式(27)，(28)的計(jì)算結(jié)果，是互相關(guān)函數(shù)的模值，圖6(b)是單比特互相關(guān)器計(jì)算的結(jié)果，圖6(c)是上述方法中的單比特相關(guān)器的計(jì)算結(jié)果，從圖6中可以看出，應(yīng)用單比特互相關(guān)器計(jì)算的互相關(guān)函數(shù)是與Matlab的浮點(diǎn)計(jì)算結(jié)果是相符的，包絡(luò)計(jì)算對應(yīng)每個亮點(diǎn)的位置都有與之相對應(yīng)的單個峰值，而實(shí)數(shù)計(jì)算則有多個峰值，正確判斷峰值的位置需要比較復(fù)雜的算法，在實(shí)際應(yīng)用中不如包絡(luò)計(jì)算使用方便。測量的分辨率與信號的分辨率是不同的，測量分辨率是指應(yīng)用測量方法(例如最大值檢測)能夠分辨的最小單位，一般與采樣精度有關(guān)，而信號的分辨率則是第二節(jié)中由模糊度函數(shù)來定義的兩個相鄰亮點(diǎn)的最小分辨距離，具體的例子是應(yīng)用單比特相關(guān)器在12.5 MHz采樣率的情況下能分辨的最小距離約0.013 6 mm，而帶寬20 kHz的LFM信號的最小距離分辨率約為7.48 mm，實(shí)際測量系統(tǒng)的分辨率是二者中間較小的那個。

圖6 互相關(guān)器仿真計(jì)算結(jié)果

4 結(jié)束語

根據(jù)信號的模糊度函數(shù)可以得出超聲測距系統(tǒng)的最小距離分辨率是其帶寬決定的，測距的分辨率不能任意小。通過計(jì)算機(jī)仿真證明，基于Delta-sigma調(diào)制器的單比特互相關(guān)器的超聲波測距系統(tǒng)可以獲得比傳統(tǒng)互相關(guān)器更高的精度，用互相關(guān)器輸出的包絡(luò)值代替實(shí)值進(jìn)行距離測量可以補(bǔ)償回波相位失配帶來的影響，在較小的精度損失下可以使超聲測距系統(tǒng)具有更高的魯棒性，提高機(jī)器人對環(huán)境的適應(yīng)能力，為形成基于Delta-sigma調(diào)制的單比特信號處理系統(tǒng)提供了一定的理論基礎(chǔ)和應(yīng)用依據(jù)。