盧樹(shù)強(qiáng)

【摘要】近年來(lái)，分段連續(xù)型隨即分方程被廣泛應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)、物理、天文、生物、工程、信號(hào)等領(lǐng)域，因而普遍受到專(zhuān)家學(xué)者的關(guān)注。分段連續(xù)型隨機(jī)微分方程不僅具有理論價(jià)值，還具有應(yīng)用價(jià)值。本文主要分析分段連續(xù)型隨機(jī)微分方程的重要意義，又解析分段連續(xù)型隨機(jī)微分方程數(shù)值方法的收斂性和穩(wěn)定性，并且給出了數(shù)值方法應(yīng)用在分段連續(xù)型隨機(jī)微分方程穩(wěn)定的條件，證明這種數(shù)值方法保持和實(shí)現(xiàn)了精確解的穩(wěn)定性。

【關(guān)鍵詞】分段連續(xù)型隨機(jī)微分方程;數(shù)值方法;收斂性;穩(wěn)定性

一、分段連續(xù)型隨機(jī)微分方程的重要意義

分段連續(xù)型隨機(jī)微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)相對(duì)應(yīng)，主要分為超前型、向前型、振動(dòng)型等分段連續(xù)型微分方程。在現(xiàn)實(shí)生活中，對(duì)事物變化描述，主要分為兩大類(lèi)，一類(lèi)是被內(nèi)在規(guī)律支配，被描述為與時(shí)間t有關(guān)的一個(gè)確定性函數(shù)的確定性過(guò)程，另一類(lèi)受外界環(huán)境影響，沒(méi)有確定表達(dá)形式，是一種隨機(jī)過(guò)程，例如花粉在液體中的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)。

因此，分段連續(xù)型隨機(jī)微積分方程作為一種有效工具，能夠更加真實(shí)的對(duì)物理現(xiàn)象、生物進(jìn)化過(guò)程以及控制理論等進(jìn)行真實(shí)的描繪。

二、解析隨機(jī)微分方程數(shù)值方法的收斂性和穩(wěn)定性

（一）數(shù)值方法的收斂性

Maruyama最早討論和研究隨機(jī)微分方程數(shù)值方法的收斂性，在1955年他給出最簡(jiǎn)的收斂方法是Euler法：

2000年，C.T.H Baker和E.Buckwar在文獻(xiàn)中證明，在全局Lipschitz條件和線性增長(zhǎng)條件下用于方程的Euler數(shù)值方法是0.5階收斂的。

2002年，Higham等針對(duì)方程，證明了當(dāng)系數(shù)f和g滿足局部Lipschitz條件、解析解與Euler數(shù)值解的p階矩有界時(shí)，Euler數(shù)值解是收斂的;并證明了系數(shù)f滿足單邊Lipschitz條件、g滿足局部Lipschitz條件、解析解與Euler數(shù)值解的p階矩有界時(shí)，Euler數(shù)值解是收斂的。

（二）數(shù)值方法的穩(wěn)定性

關(guān)于數(shù)值穩(wěn)定的定義，最早在1985年由Pardoux和Talay給出，之后很多學(xué)者就數(shù)值方法的穩(wěn)定性給出研究和討論。目前最具代表性的定義包括矩穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、T-穩(wěn)定、指數(shù)穩(wěn)定四種。

2000年，D.J.Higham針對(duì)線性試驗(yàn)方程，研究隨機(jī)θ-方法的穩(wěn)定性，引入漸近穩(wěn)定性概念，并將漸近穩(wěn)定性的分析轉(zhuǎn)化成一對(duì)含有參數(shù)的隨機(jī)變量期望值的估計(jì)，并將方程θ-方法推廣到隨機(jī)微分方程。

在隨機(jī)微分方程的研究過(guò)程中，數(shù)值方法的穩(wěn)定性和收斂性研究基本趨于完善，并取得較好的結(jié)果。

三、解析分段連續(xù)型隨機(jī)微分方程數(shù)值方法的收斂性和穩(wěn)定性

隨機(jī)微分方程的穩(wěn)定性的研究對(duì)隨機(jī)微分方程一直有著重要的意義，本章主要考慮線性和半線性分段連續(xù)型隨機(jī)微分方程穩(wěn)定性，下面簡(jiǎn)單的給出一些收斂性和穩(wěn)定性的論述。

dx（t）=（a1X（t）+a2X（＼[t]））dt+（b1X（t）+b2X（＼[t]））dB（t）

X（0）=X0

上述方程的精確解穩(wěn)定性，半隱式Euler方法和Millstein方法的穩(wěn)定性，戴紅玉已經(jīng)做出研究，將指數(shù)Euler方法應(yīng)用于線性分段連續(xù)型隨機(jī)延遲微分方程討論了其均方穩(wěn)定性，并證明出了當(dāng)方程系數(shù)滿足一定條件時(shí)指數(shù)Euler方法是均方穩(wěn)定的，將指數(shù)Euler方法應(yīng)用于半線性分段連續(xù)型隨機(jī)延遲微分方程，討論其精確解和數(shù)值解得均方穩(wěn)定性。給出了均方穩(wěn)定的充分條件。

2013年，張玲研究了分段連續(xù)型隨機(jī)微分方程

dx（t）=f（X（t），X（＼[t]））dt+g（X（t），X（＼[t]））dB（t）

X（0）=X0

給出了當(dāng)系數(shù)滿足局部李普希茲條件和單調(diào)條件時(shí)，Euler-Maruyama方法是收斂的。隨后，給出了一組數(shù)值試驗(yàn)來(lái)證明均方穩(wěn)定充分條件，本數(shù)值試驗(yàn)主要通過(guò)考慮方程的系數(shù)和步長(zhǎng)的改變，研究指數(shù)Euler方法的均方穩(wěn)定性。

四、結(jié)論

在實(shí)際問(wèn)題的研究中，研究系統(tǒng)很容易受到偶然因素影響，因此研究分段連續(xù)型微分方程具有重要的意義，本文主要探討分析數(shù)值方法的收斂性和穩(wěn)定性，運(yùn)用指數(shù)Euler方法進(jìn)行研究，給出數(shù)值方法均方穩(wěn)定的充分條件，并用數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)論，證明這種數(shù)值方法保持和實(shí)現(xiàn)了精確解的穩(wěn)定性。

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