李 健，董 剛，張 輝，陳正壽，張建雷

（1.浙江海洋大學(xué) 船舶與機(jī)電工程學(xué)院，浙江 舟山316022；2.南京理工大學(xué) 瞬態(tài)物理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210094；3.浙江省近海海洋工程技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 舟山316022）

0 引 言

發(fā)卡渦結(jié)構(gòu)是Theodorsen[1]于1952年首次提出的概念模型，它是指以“Λ”形狀或“Ω”形狀呈現(xiàn)出的旋渦結(jié)構(gòu)。隨著實(shí)驗(yàn)測(cè)試技術(shù)和計(jì)算機(jī)性能的高速發(fā)展，轉(zhuǎn)捩和湍流邊界層中存在發(fā)卡渦結(jié)構(gòu)這一現(xiàn)象逐漸得到了證實(shí)[2-7]，尤其是直接數(shù)值模擬的開(kāi)展，提供了三維瞬時(shí)流場(chǎng)的豐富數(shù)據(jù)并給出了發(fā)卡渦存在的直接證據(jù)[7]。該結(jié)構(gòu)不僅可以被用來(lái)解釋湍流雷諾應(yīng)力和近壁條帶的形成機(jī)理，而且對(duì)壁面摩擦阻力的形成和流動(dòng)傳熱傳質(zhì)過(guò)程有重要的影響。

發(fā)卡渦的形成可來(lái)源于多種途徑，如轉(zhuǎn)捩過(guò)程中三維擾動(dòng)波的發(fā)展[8-9]、發(fā)卡渦之間的碰撞[10]以及低速條帶的失穩(wěn)[11-15]。對(duì)于轉(zhuǎn)捩后期出現(xiàn)的發(fā)卡渦結(jié)構(gòu)，吳介之等[8]指出發(fā)卡渦的形成起源于層流邊界層中的展向渦層，當(dāng)擾動(dòng)波指數(shù)型增長(zhǎng)到一定閾值時(shí)，展向渦層通過(guò)Kelvin-Helmholtz不穩(wěn)定卷曲形成展向渦管。在非線(xiàn)性擾動(dòng)背景下，展向渦管發(fā)生變形，由于遠(yuǎn)離壁面的渦管沿下游的運(yùn)動(dòng)速度較快，展向渦管沿流向拉伸最終形成發(fā)卡渦。Adrain等[10]通過(guò)數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)發(fā)卡渦之間的相互作用可以誘導(dǎo)出新的發(fā)卡渦。由于發(fā)卡渦在沿下游的發(fā)展過(guò)程中其尺度逐漸增大，這會(huì)導(dǎo)致多個(gè)發(fā)卡渦之間沿展向相互碰撞，渦腿與渦腿、渦脖與渦腿、渦脖與渦脖之間的碰撞都可合并形成尺度更大的發(fā)卡渦。發(fā)卡渦也可由低速條帶的失穩(wěn)誘導(dǎo)產(chǎn)生。Asai等[11]通過(guò)平板實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)腫脹模式（varicose mode）低速條帶失穩(wěn)可誘導(dǎo)產(chǎn)生發(fā)卡渦，該實(shí)驗(yàn)結(jié)果隨后被Brandt[12]用數(shù)值模擬證實(shí)。Brandt和De Lange[13]在無(wú)背景噪音的環(huán)境下模擬了高、低速條帶沿流向相互碰撞的演化過(guò)程，并在條帶對(duì)稱(chēng)碰撞的算例中發(fā)現(xiàn)了發(fā)卡渦結(jié)構(gòu)。在該算例中，低速條帶先是發(fā)展成腫脹模式低速條帶，隨后失穩(wěn)形成發(fā)卡渦結(jié)構(gòu)。除腫脹模式低速條帶失穩(wěn)可誘導(dǎo)出發(fā)卡渦結(jié)構(gòu)外，Konishi和Asai[14]通過(guò)平板實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)亞諧型彎曲模式（subharmonic sinuous mode）低速條帶失穩(wěn)同樣可以誘導(dǎo)產(chǎn)生發(fā)卡渦。本文作者曾對(duì)亞諧型彎曲模式低速條帶進(jìn)行了直接數(shù)值模擬[15]，驗(yàn)證了Konishi和Asai的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[14]并總結(jié)了發(fā)卡渦形成的三個(gè)階段：（1）低速條帶之間沿展向發(fā)生碰撞導(dǎo)致低速條帶之間的展向截面中同時(shí)出現(xiàn)高、低速流體；（2）高、低速流體之間沿流向剪切形成法向渦量和負(fù)展向渦量；（3）法向渦量和負(fù)展向渦量與位于其下部上游的流向渦量完成搭接形成發(fā)卡渦結(jié)構(gòu)。

在湍流邊界層中，發(fā)卡渦可以以單個(gè)渦結(jié)構(gòu)的形式出現(xiàn)，但大多以發(fā)卡渦包結(jié)構(gòu)（hairpin vortex packet，一種由多個(gè)發(fā)卡渦組成的發(fā)卡渦鏈）的形式出現(xiàn)[3，16]。Zhou等[16]模擬了由單個(gè)發(fā)卡渦演化成發(fā)卡渦包的完整過(guò)程，發(fā)現(xiàn)在初始發(fā)卡渦（PHV）的發(fā)展過(guò)程中，PHV腿部相互靠近的部位與其上方的高速流體之間相互作用可產(chǎn)生弓形渦頭，弓形渦頭形成后與PHV的腿部搭接形成二次發(fā)卡渦（SHV）。此外，他們還發(fā)現(xiàn)初始發(fā)卡渦的下游也可誘導(dǎo)出新的發(fā)卡渦，稱(chēng)為下游發(fā)卡渦（DHV），該渦的形成與初始發(fā)卡渦頭部下游側(cè)的突起有關(guān)。Adrain[3]認(rèn)為壁湍流實(shí)際是由不同尺度的渦包結(jié)構(gòu)構(gòu)成且每個(gè)渦包通常包含5～10個(gè)發(fā)卡渦，其尺度和遷移速度均隨壁面距離增大。成璐和姜楠[17]運(yùn)用高時(shí)間分辨率粒子圖像測(cè)速技術(shù)，識(shí)別和提取了湍流邊界層中發(fā)卡渦包結(jié)構(gòu)的空間特征，發(fā)現(xiàn)在湍流邊界層中不同法向位置處均存在發(fā)卡渦包結(jié)構(gòu)，并指出近壁和外區(qū)的發(fā)卡渦包結(jié)構(gòu)不是孤立存在的，而是和外區(qū)發(fā)卡渦包及其所夾帶的高、低速條帶流體構(gòu)成了緊密聯(lián)系的湍流邊界層整體。本文作者在之前亞諧型彎曲模式低速條帶失穩(wěn)的研究中觀察到了由PHV到SHV的演化過(guò)程[15]，但由于所給的初始擾動(dòng)振幅較小，低速條帶的碰撞強(qiáng)度較弱，SHV的形成總是發(fā)生在PHV的耗散后，故不能明顯觀察到發(fā)卡渦包結(jié)構(gòu)。

利用發(fā)卡渦包模型可以很好地解釋近壁條帶的形成機(jī)制，即近壁條帶是發(fā)卡渦包遷移后遺留下的“痕跡”[3]，而近壁條帶自身的失穩(wěn)能否反之誘導(dǎo)出發(fā)卡渦包結(jié)構(gòu)目前還未得到證實(shí)?；诖?，本文以?xún)H包含低速條帶而沒(méi)有渦結(jié)構(gòu)的小尺寸區(qū)域?yàn)槌跏紬l件，通過(guò)給定的擾動(dòng)方程激發(fā)條帶失穩(wěn)，模擬了三維流場(chǎng)的演化過(guò)程并揭示了近壁小尺度發(fā)卡渦包的形成機(jī)理。

1 數(shù)值方法與初始流場(chǎng)的構(gòu)造

以槽道流形成的不可壓縮湍流邊界層為基本研究對(duì)象，控制方程如下：

式中：u為速度矢量，p為壓強(qiáng)，ν為運(yùn)動(dòng)粘度。利用傅里葉-切比雪夫譜方法（Fourier-Chebyshev spectral method）[18]離散上述方程。由于湍流脈動(dòng)在流向（x）和展向（z）具有統(tǒng)計(jì)平均特性，故采用傅里葉-伽遼金方法變換并使用周期性邊界條件；而法向（y）則采用切比雪夫-τ方法變換并使用無(wú)滑移壁面條件。方程（1）中的時(shí)間項(xiàng)采用三階精度的半隱式向后差分格式處理；方程（1）左邊第二項(xiàng)，即非線(xiàn)性項(xiàng)，采用3/2規(guī)則以消除混淆誤差；方程（1）右邊的壓力項(xiàng)和線(xiàn)性項(xiàng)采用切比雪夫-τ方法和影響矩陣法聯(lián)立求解，以消除流場(chǎng)出現(xiàn)的殘余散度。與其它基于亞網(wǎng)格模型的大渦模擬方法（Large Eddy Simulation）[19-20]以及基于各種湍流模型的平均N-S方程的方法（Reynolds Average Navier-Stokes Equations）[21]模擬湍流不同，采用基于譜方法的DNS沒(méi)有引入任何模型假設(shè)，而是在譜空間中直接對(duì)控制方程進(jìn)行求解，因而具有很高的計(jì)算精度。本文作者曾多次使用上述方法進(jìn)行壁湍流減阻[22]以及湍流穩(wěn)定性方面的研究[15，23-24]，其有效性和可靠性已得到驗(yàn)證。

湍流邊界層中條帶的數(shù)學(xué)形式采用文獻(xiàn)[25]提供的壁面單位下的初始條帶分布：

為使兩根低速條帶之間沿展向發(fā)生碰撞，采用亞諧型彎曲模式的初始擾動(dòng)形式[15]激發(fā)條帶失穩(wěn)，其表達(dá)式如下：

2 結(jié)果與討論

2.1 “X”形、“Λ”形和“Ω”形渦的形成

圖1 低速條帶和渦結(jié)構(gòu)初期的演化過(guò)程Fig.1 Evolutions of the low-speed streaks and the vortex structures during the early stage

圖2 “Ω”形渦結(jié)構(gòu)的渦量分布（對(duì)應(yīng)圖1 （c））Fig.2 Distribution of the vorticity on the‘Ω’-like vortex structure(corresponding to Fig.1(c))

圖3 z+=100截面中低速流體（u′+＜0）和負(fù)展向渦量（＜0）的統(tǒng)計(jì)平均值歷史曲線(xiàn)（u′+統(tǒng)計(jì)范圍：y+=100～165，統(tǒng)計(jì)范圍：y+=0～165）Fig.3 Time history of the statistical average value of the low-speed fluid(u′+＜0)and the negative spanwise vorticity(＜0)in y-z plane at z+=100(The statistical region of u′+：y+=100～165,the statistical region of：y+=0～165)

與文獻(xiàn)[15]中Am=0.02條件下擬序結(jié)構(gòu)初期的演化相比，Am=0.1條件下初始發(fā)卡渦的形成過(guò)程在形態(tài)上與Am=0.02條件下的一致，由亞諧型彎曲模式低速條帶誘導(dǎo)的三維渦結(jié)構(gòu)都是從“X”形渦演化成“Λ”形渦和“Ω”形渦，且渦結(jié)構(gòu)在形態(tài)上的改變都與低速條帶的彎曲、抬升以及條帶之間的碰撞、反彈密切相關(guān)。然而，不同初始擾動(dòng)振幅條件下的渦量強(qiáng)度不同。初始擾動(dòng)振幅的增大會(huì)加劇條帶的振蕩幅度，進(jìn)而使流向渦的強(qiáng)度增強(qiáng)。進(jìn)一步地，流向渦的增強(qiáng)可加劇低速條帶之間的碰撞，進(jìn)而使環(huán)形剪切層的剪切強(qiáng)度增強(qiáng)。因此，初始擾動(dòng)振幅的增大可導(dǎo)致流向渦量、法向渦量和展向渦量同時(shí)增強(qiáng)。

2.2 發(fā)卡渦包的形成

圖4 t+=109時(shí)刻低速條帶和渦結(jié)構(gòu)的等值面分布（等值面同圖1 ）Fig.4 Distribution of the iso-surfaces of the low-speed streaks and the vortex structures at t+=109(The iso-surfaces are the same as described in Fig.1)

圖5 t+=109時(shí)刻流場(chǎng)的展向截面分布（x+=120）Fig.5 Distribution of the flow field in y-z plane at t+=109(x+=120)

圖6 t+=127時(shí)刻低速條帶和渦結(jié)構(gòu)的等值面分布（等值面同圖1 ）Fig.6 Distribution of the iso-surfaces of the low-speed streaks and the vortex structures at t+=127(The iso-surfaces are the same as described in Fig.1)

圖7 t+=127時(shí)刻流場(chǎng)的展向截面分布（等值線(xiàn)同圖5 （a））Fig.7 Distribution of the flow field in y-z plane at t+=127(The iso-lines are the same as described in Fig.5(a))

隨著時(shí)間的發(fā)展，PHV的頭部包裹著橢圓形低速區(qū)域繼續(xù)沿下游運(yùn)動(dòng)，位于“樹(shù)杈”形低速流體分叉處的QHV逐漸增強(qiáng)（圖6）。在此過(guò)程中，“樹(shù)杈”形低速流體合并處逐漸擴(kuò)大并沿下游拉伸，二次發(fā)卡渦（SHV）和三次發(fā)卡渦（THV）同時(shí)在“樹(shù)杈”形低速流體拉伸處形成。圖7（a）-（b）分別給出了對(duì)應(yīng)于圖6中THV和SHV頭部位置流場(chǎng)的展向截面分布。在THV頭部對(duì)應(yīng)的展向截面中（x+=130，圖7（a）），兩根低速條帶上部合并，低速條帶的合并位置與其上方的高速流體剪切形成環(huán)形剪切層，該剪切層的出現(xiàn)導(dǎo)致相應(yīng)部位環(huán)形渦量的形成。因此，環(huán)形渦與位于其下部的一對(duì)互為反向旋轉(zhuǎn)的流向渦相連構(gòu)成了圖6中的THV。在SHV頭部對(duì)應(yīng)的展向截面中（x+=175，圖7（b）），合并的低速區(qū)域發(fā)生反彈且已完全進(jìn)入到高速區(qū)，反彈的低速流體與其周?chē)母咚倭黧w同樣發(fā)生剪切形成環(huán)形渦。該環(huán)形渦與位于其下方互為反向旋轉(zhuǎn)的流向渦共同構(gòu)成了圖6中的SHV。注意到此時(shí)在SHV所處的展向截面中（圖7（b））反彈低速流體沿流向已完全進(jìn)入到高速流體中，故高、低速流體剪切形成的環(huán)形渦量相比THV的窄。

圖8 t+=109時(shí)刻和t+=127時(shí)刻流場(chǎng)的展向截面分布（z+=100）Fig.8 Distribution of the flow field in x-y planes at t+=109 and at t+=127(z+=100)

根據(jù)以上分析，圖9總結(jié)了由亞諧型彎曲模式低速條帶失穩(wěn)誘導(dǎo)的發(fā)卡渦包的形成過(guò)程，其中，圖9（a）對(duì)應(yīng)圖1（c）中的流場(chǎng)分布；圖9（b）對(duì)應(yīng)圖4中的流場(chǎng)分布；圖9（c）對(duì)應(yīng)圖6中的流場(chǎng)分布。在擬序結(jié)構(gòu)發(fā)展的初期（圖9（a）），低速條帶間沿展向相互碰撞形成低速反彈區(qū)域，該反彈區(qū)域與周?chē)母咚賲^(qū)域沿流向剪切形成環(huán)形渦，環(huán)形渦與位于其下部上游的流向渦相互搭接構(gòu)成了嚴(yán)格對(duì)稱(chēng)的PHV。在流向渦的旋轉(zhuǎn)作用下，低速條帶發(fā)生破碎且破碎條帶上部呈“樹(shù)杈”形結(jié)構(gòu)（圖9（b）），該“樹(shù)杈”形結(jié)構(gòu)在分叉處上游附近與高速區(qū)域沿流向剪切形成非對(duì)稱(chēng)的QHV。隨著“樹(shù)杈”形低速區(qū)域的合并處逐漸沿流向拉伸，?v/?x和?u/?y在該拉伸區(qū)域相互疊加并在疊加位置處形成負(fù)展向渦量，而相應(yīng)部位負(fù)展向渦量與PHV的腿部搭接最終形成SHV和THV。

圖9 發(fā)卡渦包的形成示意圖（圖中陰影區(qū)域?yàn)橄虏康牡退贄l帶，綠色區(qū)域?yàn)樯喜康牡退贄l帶，橙色區(qū)域?yàn)闇u結(jié)構(gòu)）Fig.9 Schematic of the formation of the hairpin vortex packets(Shaded regions represent the lower part of the low-speed streaks,green color regions represent the upper part of the low-speed streak,orange color regions represent the vortex structures)

3 結(jié) 論

本文采用直接數(shù)值模擬方法，通過(guò)增大初始擾動(dòng)振幅，模擬了小尺寸槽道湍流中亞諧型彎曲模式低速條帶的失穩(wěn)并分析了發(fā)卡渦包的形成過(guò)程。結(jié)果表明，發(fā)卡渦包的形成與低速條帶間的碰撞和破碎有著緊密的聯(lián)系。一方面，低速條帶間沿展向的碰撞使條帶間的高速區(qū)域中出現(xiàn)低速流體分布，高、低速流體沿流向剪切形成的法向渦和負(fù)展向渦與位于其下部的流向渦相互搭接構(gòu)成了對(duì)稱(chēng)分布的發(fā)卡渦結(jié)構(gòu)。另一方面，由于近壁流向渦的旋轉(zhuǎn)作用，低速條帶發(fā)生破碎且上部的形態(tài)沿流向呈“樹(shù)杈”形結(jié)構(gòu)。在“樹(shù)杈”形低速流體的上游分叉處附近，流向渦將低速流體向上攜帶，因而使高、低速流體之間的梯度增強(qiáng)，形成非對(duì)稱(chēng)的發(fā)卡渦。同時(shí)，“樹(shù)杈”形低速流體的下游部位隨時(shí)間沿流向拉伸，并與其上部的高速流體剪切形成對(duì)稱(chēng)的發(fā)卡渦結(jié)構(gòu)。最終，多個(gè)對(duì)稱(chēng)和非對(duì)稱(chēng)的發(fā)卡渦結(jié)構(gòu)沿流向排列，共同構(gòu)成了發(fā)卡渦包結(jié)構(gòu)。