崔高航， 歐陽(yáng)浩然， 陶夏新， M Shamim Rahman

(1.東北林業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，哈爾濱 150040；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，哈爾濱 150040；3. North Carolina State University, Department of Civil, Construction and Environmental Engineering, Raleigh, NC 27695)

城軌交通已經(jīng)成為了城市居民不可替代的交通方式，它帶給了我們出行快捷方便的同時(shí)，也帶來(lái)了一些新問(wèn)題。近年來(lái)，城軌交通沿線環(huán)境振動(dòng)的影響越發(fā)引人關(guān)注。城軌交通引起的振動(dòng)響應(yīng)向外傳播對(duì)周圍建筑物產(chǎn)生二次振動(dòng)和噪聲，人們的生活和工作都受到了不同程度上的影響，所以有必要對(duì)城軌交通引起的環(huán)境振動(dòng)進(jìn)行研究。

過(guò)去對(duì)于環(huán)境振動(dòng)的問(wèn)題經(jīng)常使用經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行預(yù)測(cè)研究，對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)過(guò)于依賴，應(yīng)用面較窄。近年來(lái)國(guó)內(nèi)外研究人員開(kāi)始采用解析方法和數(shù)值模擬的方法來(lái)研究環(huán)境振動(dòng)問(wèn)題，取得了一些成果。Kang等[1]研究了鐵道車輛振動(dòng)引起的車身的動(dòng)力學(xué)行為。Takemiya[2]則進(jìn)行了很多列車-軌道模型的簡(jiǎn)化工作。Sheng等[3]將軌枕模擬為擁有連續(xù)質(zhì)量和剛度的剛體。Ju[4]和Chen[5]分別提出兩種預(yù)測(cè)環(huán)境振動(dòng)的方法，一種是半經(jīng)驗(yàn)評(píng)價(jià)方法，另一種是使用有限元模型進(jìn)行模擬的數(shù)值預(yù)測(cè)方法。王福彤等[6]通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)對(duì)城軌交通引發(fā)的地表豎向振動(dòng)進(jìn)行了分析。朱志輝等[7]建立了高速列車的車-橋耦合系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)模型。筆者發(fā)現(xiàn)已有的研究成果中，研究的方法可以大致分成兩種：解析法和有限元法。然而只使用解析法進(jìn)行求解會(huì)由于計(jì)算過(guò)程中簡(jiǎn)化條件過(guò)多造成與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)相差較大的情況。但是只使用有限元法存在建立的模型過(guò)于復(fù)雜導(dǎo)致對(duì)計(jì)算機(jī)配置的要求很高而且對(duì)工程實(shí)例不具有通用性。本文在這些基礎(chǔ)上對(duì)文中的問(wèn)題采用半解析有限元法進(jìn)行求解，最后利用北京市某城軌線路區(qū)間站之間的環(huán)境振動(dòng)觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證結(jié)果良好。本文的計(jì)算方法對(duì)于評(píng)估現(xiàn)有線路和規(guī)劃線路附近的環(huán)境振動(dòng)具有一定的實(shí)用價(jià)值。

1 車輛-軌道-地基土動(dòng)力相互作用模型

本文建立的解析模型由三個(gè)子模型組成分別是車輛模型，軌道模型和地基土模型。

1.1 車輛模型

如圖1所示，采用二系懸掛車輛模型[8]。車體和轉(zhuǎn)向架都考慮沉浮和點(diǎn)頭兩個(gè)自由度，輪對(duì)僅考慮沉浮一個(gè)自由度。

圖1 車輛模型計(jì)算簡(jiǎn)圖

根據(jù)車輛動(dòng)力學(xué)，第i節(jié)車輛的平衡方程為：

(1)

為了進(jìn)行頻域分析，對(duì)式(1)進(jìn)行Fourier變換：

(2)

(3)

在式(2)的基礎(chǔ)上，車輛的振動(dòng)位移可以表示成：

(4)

(5)

式中：系數(shù)矩陣B=DT=[06×4|I4×4]。

將式(5)代入式(4)中得到第i節(jié)車輛的輪對(duì)位移向量為：

(6)

將式(6)進(jìn)一步簡(jiǎn)化可寫為：

(7)

不同車輛的振動(dòng)是相互獨(dú)立的，式(7)能夠被應(yīng)用于N節(jié)車輛的輪對(duì)位移，可以用一個(gè)向量方程組表示：

(8)

1.2 列車-軌道相互作用模型

根據(jù)資料調(diào)研和城軌列車實(shí)際運(yùn)行速度，輪軌間的振動(dòng)變形近似于彈性變形，本文采用Hertz彈性接觸理論。根據(jù)上述假設(shè)的條件，存在如下關(guān)系式：

(9)

式(9)在頻域內(nèi)可表示為：

(10)

容易知道所有輪軌接觸點(diǎn)應(yīng)滿足等式(10)，因此可以用一個(gè)向量方程組表示：

(11)

1.3 軌道支撐結(jié)構(gòu)相互作用模型

圖2為軌道支撐結(jié)構(gòu)模型。在建立此模型期間進(jìn)行了以下假設(shè)：

(1) 鋼軌被認(rèn)為是無(wú)限長(zhǎng)的歐拉伯努利梁，且截面尺寸保持不變；

(2) 鋼軌與軌枕、軌枕與道砟、道砟與地基土之間的連接用彈簧-阻尼器模擬；

(3) 認(rèn)為軌枕和道砟是離散支承的質(zhì)量塊；

(4) 因?yàn)榈鼗奈灰坪苄?，不影響振源傳遞給地基的力，所以假定地基的位移為0。

圖2 軌道支撐結(jié)構(gòu)模型

如圖3所示，鋼軌由軌枕離散支撐，鋼軌受到的單個(gè)輪對(duì)的荷載等于2n+1個(gè)軌枕的支撐荷載。當(dāng)單個(gè)輪對(duì)荷載P(t)以速度V移動(dòng)時(shí)，軌道振動(dòng)的偏微分方程根據(jù)假定可以得到：

(12)

圖3 受力簡(jiǎn)圖

經(jīng)推導(dǎo)[9-10]，鋼軌的豎向總位移為：

(13)

先后取單個(gè)軌枕，單個(gè)道砟作為受力分析模型，并根據(jù)受力平衡得到軌枕和道砟的平衡方程結(jié)合彈簧阻尼器參數(shù)，最終可以得到地基反力。

1.4 振源模型輸出力的求解

為了得到地基反力，需要先計(jì)算輪軌相互作用力。由式(11)可知，等式左邊的矩陣由輪軌相互作用力向量組成；等式的右邊分別是列車所有輪對(duì)的位移向量、鋼軌位移向量和軌道不平順位移向量。輪對(duì)位移和輪軌相互作用力之間的關(guān)系由公式(8)給出，同時(shí)采用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為軌道不平順的輸入。因此要求出輪軌相互作用力，就只要獲得鋼軌位移向量與輪軌相互作用力向量之間的關(guān)系，代入等式(11)即可求得。

(14)

式中：ωk為單一波長(zhǎng)軌道不平順對(duì)應(yīng)的激振圓頻率；i′和l′分別表示車輛的節(jié)數(shù)和每節(jié)車輛的輪對(duì)編號(hào)；xpil-xpi′l′表示列車輪對(duì)之間的距離。

式(14)對(duì)每個(gè)輪軌接觸點(diǎn)都是滿足的，因此以矢量方程組的形式表示為：

(15)

(16)

將式(8)、(15)代入到式(11)獲得頻域內(nèi)所有輪對(duì)的輪軌相互作用力向量：

(17)

其中Q矩陣表示如下：

2 算例分析

根據(jù)上節(jié)所建立的模型編制了Fortran計(jì)算程序，再利用有限元軟件ABAQUS建立了地面振動(dòng)傳播路徑模型。本節(jié)將通過(guò)環(huán)境振動(dòng)觀測(cè)數(shù)據(jù)分析與對(duì)比模型的計(jì)算結(jié)果。

2.1 計(jì)算參數(shù)的選取

選取的列車編組為4節(jié)編組，單節(jié)長(zhǎng)度為19 m，車速為72 km/h，車輛模型的基本參數(shù)如表1所示。軌道系統(tǒng)中每個(gè)部件的參數(shù)如下：

表1 車輛模型基本參數(shù)

鋼軌：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度質(zhì)量為mr=60.64 kg;截面剛度EI=6.62×106N·m2;結(jié)構(gòu)阻尼比ξr=0.01。

軌枕：質(zhì)量ms=252 kg;間距d=0.605 m。

道砟：質(zhì)量mb=1 360 kg。

鋼軌和軌枕之間的彈簧-阻尼系數(shù)：krs=4.0×107N/m，crs=1.24×105N·s/m。

軌枕和道砟之間的彈簧-阻尼系數(shù)：ksb=7.8×107N/m，csb=6.5×104N·s/m。

道砟和地基土表面之間的彈簧-阻尼系數(shù)：kbg=2.4×108N/m，cbg=5.88×104N·s/m。

軌道不平順：如圖4所示，輸入中國(guó)某鐵道豎向軌道不平順觀測(cè)記錄[11]。

圖4 軌道不平順時(shí)程圖

2.2 傳播路徑模型

在建模的過(guò)程中，由于道床塊的上部承受著由軌枕傳遞的輪軌力，對(duì)于鋼軌而言軌枕是離散的支撐，所以道床塊對(duì)地基的力可以簡(jiǎn)化為離散分布的點(diǎn)振源陣列。同時(shí)在建模過(guò)程中考慮問(wèn)題的簡(jiǎn)化和對(duì)稱性，取沿線軌道一側(cè)的一半的地基土進(jìn)行分析。

場(chǎng)地為北京某地鐵兩站之間的一個(gè)區(qū)段，勘察獲得的鉆孔資料列于表2。場(chǎng)地模型沿列車運(yùn)行方向取長(zhǎng)150 m，垂直軌道方向的寬度取70 m，豎向深度取40 m，網(wǎng)格劃分如圖5顯示，每個(gè)單元均為0.5 m×0.5 m×0.5 m。邊界條件采用無(wú)限元邊界[12-13]，該邊界能夠?qū)⒄駝?dòng)波衰減到無(wú)限遠(yuǎn)處，避免了波動(dòng)在有限元邊界處的損耗，同時(shí)線路中心線所處的YZ平面的邊界采用對(duì)稱邊界條件。

表2 場(chǎng)地鉆孔資料

(a) 模型總圖

(b) 模型局部放大圖

2.3 計(jì)算結(jié)果分析

施加的荷載時(shí)程由編制的Fortran計(jì)算程序所求得，如圖6所示。在距軌道軸線10 m、20 m、40 m、50 m、60 m處，計(jì)算這5個(gè)點(diǎn)的豎向加速度時(shí)程，如圖7所示。并于表3中比較了模型計(jì)算與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的地表加速度峰值的偏差。

從表3結(jié)果可知：

(1) 對(duì)于地面的振動(dòng)，地面的豎向加速度隨著傳播距離的增加而減小。同時(shí)在距軌道中心線50 m處的豎向加速度計(jì)算值峰值為0.001 98 m/s2，而在距軌道軸線60 m處為0.002 81 m/s2，漲幅有29.53%，對(duì)于實(shí)測(cè)值漲幅則有22.62%，說(shuō)明在距離軌道中心線較遠(yuǎn)的地方出現(xiàn)了加速度反彈增大的現(xiàn)象。

圖6 輸入荷載時(shí)程圖

(2) 計(jì)算得到的加速度時(shí)程與觀測(cè)記錄峰值大小接近，響應(yīng)的持時(shí)相當(dāng)。為了更具體地比較加速度的峰值，表3列出了計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的峰值，并定義計(jì)算值與實(shí)測(cè)值之差除以實(shí)測(cè)值的絕對(duì)值為偏差率，可以得到偏差率的范圍為6.50%～16.10%，平均值為9.44%。以上結(jié)果表明，本文的計(jì)算方法是可信的。

(a) 10 m處的地表豎向加速度時(shí)程

(b) 20 m處的地表豎向加速度時(shí)程

(c) 40 m處的地表豎向加速度時(shí)程

(d) 50 m處的地表豎向加速度時(shí)程

(e) 60 m處的地表豎向加速度時(shí)程

圖7 地面5處加速度響應(yīng)的實(shí)測(cè)值與計(jì)算值的比較

Fig.7 The comparison of results with the observations at five ground points

表3 地表加速度計(jì)算值峰值與觀測(cè)值峰值的比較

Tab.3 Peak ground accelerations of the results with those recorded

響應(yīng)類別計(jì)算值觀測(cè)值偏差率/%10 m加速度/(m·s-2)0.035 610.038 547.6020 m加速度/(m·s-2)0.019 520.021 489.1240 m加速度/(m·s-2)0.005 750.006 156.5050 m加速度/(m·s-2)0.001 980.002 3616.1060 m加速度/(m·s-2)-0.002 81-0.003 057.87

圖8顯示了列車運(yùn)行速度為72 km/h時(shí)對(duì)距軌道軸線10 m、20 m、40 m、50 m、60 m處的5個(gè)加速度頻譜曲線。由圖7可以看出，波在土中的傳播受到土中的材料阻尼和輻射阻尼的影響，隨著距離的增加，加速度頻譜中的高頻成份變得越來(lái)越少。同時(shí)經(jīng)過(guò)快速傅里葉變換后，實(shí)測(cè)值與計(jì)算值的頻譜相比，二者的優(yōu)勢(shì)頻率十分接近，也再一次證明了模型的有效性。

(a) 距軌道10 m處的結(jié)果比較

(b) 距軌道20 m處的結(jié)果比較

(c) 距軌道40 m處的結(jié)果比較

(d) 距軌道50 m處的結(jié)果比較

(e) 距軌道60 m處的結(jié)果比較

圖8 地表5點(diǎn)加速度頻譜與觀測(cè)結(jié)果的比較

Fig.8 Comparison of acceleration spectrum of five ground points with observation results

3 結(jié) 論

本文提出了一種基于半解析有限元模型的城軌列車運(yùn)行時(shí)引起的環(huán)境振動(dòng)的計(jì)算方法。方法有兩個(gè)步驟：地基反力的求解和地面振動(dòng)的求解。最后算例的結(jié)果表明：

(1) 地面環(huán)境振動(dòng)響應(yīng)隨傳播距離的增加而減小，在傳播到一定距離時(shí)出現(xiàn)了加速度反彈增大現(xiàn)象。

(2) 隨著傳播距離的增大，加速度頻譜中的高頻所占比重越來(lái)越小。

(3) 本文發(fā)展的這套計(jì)算車輛-軌道-地基土系統(tǒng)振動(dòng)反應(yīng)的方法是有效的。