史 源，章少輝，白美健，李益農(nóng)

歐拉法融合拉格朗日法高效模擬灌溉二維地表水運(yùn)動(dòng)規(guī)律

史 源，章少輝※，白美健，李益農(nóng)

（中國(guó)水利水電科學(xué)研究院流域水循環(huán)模擬與調(diào)控國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100038）

大規(guī)?，F(xiàn)代化農(nóng)業(yè)灌溉管理下，為實(shí)現(xiàn)快速高效地獲知灌溉水運(yùn)動(dòng)及其分布的目的，該文基于二維淺水方程組的歐拉-拉格朗日混合型表達(dá)形式，提出了一種高效簡(jiǎn)潔的歐拉-拉格朗日混合解法。該解法的基本物理變量被嚴(yán)格地定義在歐拉型非結(jié)構(gòu)化三角形有限體積單元格上，且變量在單元格之間呈現(xiàn)出階梯分布狀態(tài)，以精準(zhǔn)地捕捉各類地表淺水波動(dòng)并有效地保持質(zhì)量守恒性；由于控制方程中不存在水運(yùn)動(dòng)的對(duì)流梯度項(xiàng)（或位置加速度項(xiàng)），僅通過(guò)拉格朗日跡線追蹤的形式獲得未知與已知時(shí)間步之間的變量關(guān)系，故與廣泛應(yīng)用的歐拉解法相比，離散格式表達(dá)式極為簡(jiǎn)潔易用；在地表水運(yùn)動(dòng)的干濕邊界處，地表水位梯度項(xiàng)被做了修正，以嚴(yán)格地保證各物理量之間的數(shù)值平衡，進(jìn)而能高精度的模擬整個(gè)畦田內(nèi)的地表水流推進(jìn)/消退全過(guò)程。為驗(yàn)證模型的模擬性能，選取一種高效的歐拉解法（非迭代型全隱式標(biāo)量耗散有限體積法）求解二維淺水方程組做為對(duì)比模型，基于3個(gè)典型畦灌試驗(yàn)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，從模擬精度、質(zhì)量守恒性和計(jì)算效率3個(gè)方面，對(duì)比分析了2種數(shù)值解法的性能。結(jié)果表明，2種解法在模擬精度方面相差無(wú)幾，且歐拉-拉格朗日混合解法比歐拉解法具有更好的質(zhì)量守恒性；在計(jì)算效率方面，歐拉-拉格朗日混合解法比歐拉解法的效率提高了約5.3倍。故該文提出的二維淺水方程組的歐拉-拉格朗日混合解法，更適用于二維灌溉地表水運(yùn)動(dòng)的模擬分析。

灌溉；非線性方程；數(shù)值分析；歐拉解法；拉格朗日解法；二維；淺水方程組

0 引 言

地面灌溉在中國(guó)農(nóng)業(yè)灌溉中應(yīng)用極為廣泛[1-2]。采用數(shù)值模擬方法開(kāi)展灌溉條件下地表水運(yùn)動(dòng)模擬與分析，是提高灌溉系統(tǒng)性能的重要手段[3-4]。在大規(guī)模集約化農(nóng)業(yè)種植下，地面灌溉往往呈現(xiàn)出典型的二維特征，此時(shí)通常采用二維零慣量方程組或二維地表淺水（或全水動(dòng)力學(xué)）方程組描述灌溉地表水流運(yùn)動(dòng)過(guò)程[5-12]。零慣量方程組忽略了非線性極強(qiáng)的對(duì)流梯度項(xiàng)（或位置加速度項(xiàng)），故易求解，但在復(fù)雜地形變化情景下，會(huì)出現(xiàn)不可預(yù)測(cè)的誤差、并增大了參數(shù)的敏感性[13-14]。故近年來(lái)，隨著計(jì)算技術(shù)與數(shù)值分析的發(fā)展，多采用完整的二維淺水方程組描述灌溉地表水運(yùn)動(dòng)過(guò)程[4]。

針對(duì)二維地表淺水方程組，學(xué)者們多采用針對(duì)Riemann問(wèn)題的顯式Roe算子有限體積法求解[10-12]。但該解法穩(wěn)定性限制極為嚴(yán)格，且空間離散格式復(fù)雜而不易掌握，故出現(xiàn)了混合數(shù)值解法[15-17]。相對(duì)于顯式Roe算子有限體積法，混合數(shù)值解法雖然提高了時(shí)空離散步長(zhǎng)的取值范圍，但仍屬于有條件穩(wěn)定。為此，（迭代或非迭代型）全隱式標(biāo)量耗散型有限體積法應(yīng)運(yùn)而生[4,17-19]，具有無(wú)條件穩(wěn)定的顯著特征，使得時(shí)間步長(zhǎng)可依據(jù)具體的實(shí)例選取，應(yīng)用更具靈活性。這些已有解法都屬于歐拉解法范疇。地表淺水方程組中對(duì)流梯度項(xiàng)（或位置加速度項(xiàng)）的存在導(dǎo)致了極為復(fù)雜的非線性特征[20-21]，無(wú)論如何構(gòu)造和發(fā)展數(shù)值解法，歐拉解法都無(wú)法繞開(kāi)這個(gè)非線性極強(qiáng)的對(duì)流梯度項(xiàng)[22-25]，這使得任何歐拉解法的空間離散格式都比較復(fù)雜，而不易被使用者掌握。

求解地表淺水方程組的另一類解法屬于拉格朗日解法范疇[25]。最著名的拉格朗日算法當(dāng)屬光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)解法（smoothed particle hydrodynamics，SPH）[26-27]，其優(yōu)點(diǎn)在于通過(guò)引入水流軌跡追蹤來(lái)消除非線性極強(qiáng)的對(duì)流梯度項(xiàng)，故空間離散格式簡(jiǎn)潔易懂，且極易模擬出強(qiáng)非線性的波浪激濺等大變形水運(yùn)動(dòng)過(guò)程，這是歐拉空間區(qū)域，且需考慮粒子之間的相互作用，故初始與邊界條件難以設(shè)置，效率亦比歐拉法顯著降低，粒子之間不確定的相互作用也導(dǎo)致拉格朗日解法具有更嚴(yán)格的穩(wěn)定性條件。另一種常見(jiàn)的拉格朗日解法被稱作粒子-單元格解法（particle-in-cell，PIC）[28]，在該解法中，由于任意空間單元格中的粒子數(shù)會(huì)隨時(shí)間變化，同樣存在著SPH類似的問(wèn)題[29]。

綜上，歐拉解法具備優(yōu)良的物理守恒性，但數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)復(fù)雜導(dǎo)致不易被掌握和應(yīng)用，這源于其非線性極強(qiáng)的對(duì)流梯度項(xiàng)。而拉格朗日解法以其獨(dú)特的軌跡追蹤優(yōu)勢(shì)有效地消去了該項(xiàng)，但海量空間粒子的引入大大降低了計(jì)算效率、增大了初始與邊界條件設(shè)置的難度。為此，本文針對(duì)地面灌溉水流問(wèn)題，綜合歐拉和拉格朗日解法之優(yōu)勢(shì)，提出歐拉-拉格朗日混合解法，在保持精度的條件下實(shí)現(xiàn)高效快速地模擬分析二維地面灌溉水運(yùn)動(dòng)及其分布的目的，并選用一種高效的歐拉解法（非迭代型全隱式標(biāo)量耗散型有限體積法）做為對(duì)比算法，借助3個(gè)典型畦灌試驗(yàn)實(shí)測(cè)結(jié)果，從模擬精度、質(zhì)量守恒性和計(jì)算效率3個(gè)方面，對(duì)比分析該歐拉-拉格朗日型混合解法的模擬性能。

1 模型建立

1.1 控制方程組

通常采用二維淺水方程組描述灌溉地表水運(yùn)動(dòng)過(guò)程，其守恒形式表達(dá)如下[4]：