李清霞 羅澤鵬

(廣東理工學(xué)院信息工程系 廣東 肇慶 526100)

0 引 言

太赫茲時(shí)域光譜(THz-TDS)是測量樣品材料光學(xué)常數(shù)的有力工具，其工作原理是基于衰減全反射中的瞬逝波的傳輸特性以及物質(zhì)的反常色散特性[1]，通過對獲取的頻譜數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和處理，進(jìn)而獲得被測樣品的吸收系數(shù)、折射率、透射率等光學(xué)常數(shù)，廣泛地應(yīng)用于半導(dǎo)體、生物醫(yī)學(xué)、制藥、農(nóng)產(chǎn)品及食品檢測等多個(gè)研究領(lǐng)域[2]。

太赫茲時(shí)域光譜系統(tǒng)有兩種常用的測量模式：透射式和反射式[3]。透射式太赫茲時(shí)域光譜系統(tǒng)是一種應(yīng)用較方便有效的測量模式，常用于測量固體材料，但是此模式不能用于測量一些具有高吸收率的物質(zhì)，例如極性液體、金屬材料等。反射式系統(tǒng)可以測量高吸收率的物質(zhì),但對實(shí)驗(yàn)技術(shù)要求較高，反射鏡與樣品的位置微小改變就可能極大地影像折射系數(shù)[4]。太赫茲時(shí)域光譜系統(tǒng)中的正入射反射式是廣泛使用的反射測量方法，在其基礎(chǔ)上提出了很多優(yōu)秀的測量方法。西南技術(shù)物理研究所張海濤等[5]提出了一種基于光學(xué)反射幾何模式的測量系統(tǒng)，該算法利用采樣信號與參考信號在時(shí)間域上獨(dú)立，在相同的時(shí)間掃描中獲得全部光譜數(shù)據(jù)。太赫茲時(shí)域光譜技術(shù)能夠快速、寬頻帶測量物質(zhì)在太赫茲頻段的光學(xué)或介電常數(shù)，是物質(zhì)識別的重要技術(shù)。根據(jù)光譜測量理論，太赫茲時(shí)域光譜測量過程中的許多系統(tǒng)誤差直接影響計(jì)算的光學(xué)常數(shù)的精度。許多研究人員致力于評估誤差對常用的太赫茲時(shí)域光譜系統(tǒng)中的光學(xué)常數(shù)的影響。文獻(xiàn)[6]針對太赫茲透射式測量系統(tǒng)中的誤差來源進(jìn)行的分析，提出了液體樣品光學(xué)常數(shù)的校正模型，在外界微弱干擾下也能得到準(zhǔn)確測量，但該模型僅僅對液態(tài)樣品的光學(xué)參數(shù)進(jìn)行擬合。文獻(xiàn)[7]等提出了對測量的光學(xué)參數(shù)的誤差和它們的不確定性的系統(tǒng)研究；文獻(xiàn)[8]對太赫茲光譜的平面應(yīng)力測量做了深入的研究，并提出了基于相位延遲的平面應(yīng)力狀態(tài)模型；文獻(xiàn)[9]在太赫茲時(shí)域光譜衰減全反射系統(tǒng)中定量地計(jì)算了延遲誤差的影響，發(fā)現(xiàn)太赫茲系統(tǒng)中良好的熱穩(wěn)定性可使延遲波動最小化。文獻(xiàn)[10]提出了一種基于太赫茲時(shí)域光譜衰減全反射模型的改進(jìn)測量方法，能顯著地減少對照組和樣本測量之間的棱鏡失調(diào)的影響。目前為止，大多數(shù)誤差分析主要針對特定的物質(zhì)或者誤差源，尚無對基于正入射反射式太赫茲光譜測量的所有誤差源進(jìn)行系統(tǒng)性研究。因此，本文主要工作集中在對太赫茲測量系統(tǒng)誤差進(jìn)行分析，找出誤差與正入射反射式太赫茲光譜測量中的測量光學(xué)常數(shù)的不確定性的關(guān)系。

1 太赫茲時(shí)域光譜系統(tǒng)光學(xué)常數(shù)測量模型

如圖1所示，飛秒激光脈沖序列通過分束器分成泵浦和探測束。泵浦光束聚焦在發(fā)射天線上以產(chǎn)生太赫茲脈沖，并且探測光束由步進(jìn)電機(jī)控制的延遲線延遲以對太赫茲信號的電場進(jìn)行采樣[15]。從理想反射鏡反射的波形是參考信號，而樣本信號則是從放置在與參考反射鏡相同的位置處發(fā)出。

圖1 太赫茲時(shí)域光譜示意圖

為了定量分析兩個(gè)太赫茲波形的頻域關(guān)系，首先對信號進(jìn)行傅里葉變換，其中電場角頻率ω處的頻譜分量分別表示為Er(ω) 和Es(ω)，因此可以通過以下關(guān)系獲得樣品的復(fù)折射率：

在正入射反射式太赫茲光譜測量系統(tǒng)中，光學(xué)常數(shù)n與k可以從式(2)、式(3)中直接獲取，并被稱為測量函數(shù)?？梢钥闯?，折射率和消光系數(shù)受反射率與相位差決定，任何微小誤差就可能極大地影響測量結(jié)果。

由于原始信號是在時(shí)域下獲得的，故應(yīng)將其利用快速傅里葉變換變換到頻域，進(jìn)而得到頻域的相位信息和振幅信息，求解被測物質(zhì)的光學(xué)常數(shù)。然而傳統(tǒng)的傅氏變換不足以準(zhǔn)確地獲取頻點(diǎn)信息，本文將改進(jìn)的時(shí)頻分析引入到測量系統(tǒng)誤差分析。

2 改進(jìn)的時(shí)頻分析方法

頻率和相量信息對分析樣品的透射率、折射率、吸收系數(shù)、介電常數(shù)等光學(xué)參數(shù)至關(guān)重要，精確快速地測量頻率值和相量值就顯得尤為重要。然而，傳統(tǒng)的時(shí)頻分析只是簡單地采用一個(gè)特征峰來概述其特性。為了提取并有效利用太赫茲光譜信號中蘊(yùn)藏的本質(zhì)特性，需要深入研究光譜信號處理和分析的方法。只有準(zhǔn)確提取信號中基波和諧波的幅值、頻率、相位參數(shù)，太赫茲光譜測量結(jié)果才能更加精確。目前，常用的頻率和相量測量算法有小波變換法、DFT算法等。傅里葉變換可將整個(gè)時(shí)域信號變換到頻域，但是掩蓋了太赫茲脈沖時(shí)間分辨的光譜特性。頻譜泄露也會嚴(yán)重影響頻率和幅值的測量精度。因此，本文提出采用主瓣寬度窄、旁瓣峰值小的Nuttall窗函數(shù)來減弱頻譜泄露的影響。

假定太赫茲時(shí)域信號是x(n)，其多次諧波形式如下式所示：

(4)

式中：L諧波項(xiàng)數(shù)，fs與f1分別表示采用頻率與基波頻率；ri、Ai、θi分別表示第i次諧波的次數(shù)、幅值與相位。

本文采用的窗函數(shù)如下所示：

W(ω)=χWN(ω)+rWK(ω)

(5)

式中：χ、γ是Nuttall與Kaiser窗的權(quán)值系數(shù)，WN(ω)、WK(ω)是對應(yīng)的頻譜函數(shù)。

(6)

本文采用β=25時(shí)的Kaiser窗和4項(xiàng)3階Nuttall窗構(gòu)造窗函數(shù)，令χ=γ=0.5，對太赫茲信號進(jìn)行處理，充分發(fā)揮Nuttall窗衰減速率大和Kaiser窗旁瓣峰值電平低的優(yōu)點(diǎn)，比Kaiser窗具有更好的抗噪性，比Nuttall窗具有更好的旁瓣特性，抑制頻譜泄漏能力更強(qiáng)。因此，加窗傅里葉變換可以提高FFT主瓣與旁瓣以及旁瓣間的衰減速度，同時(shí)適當(dāng)增加FFT的頻率分辨率以避免加窗之后主瓣過寬引起的主瓣干擾。MATLAB仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提改進(jìn)算法可有效提高太赫茲光譜測量的計(jì)算精度和抗干擾能力。

3 基于時(shí)頻特征的測量系統(tǒng)誤差源分析

由于反射式系統(tǒng)對實(shí)驗(yàn)技術(shù)要求較高，任何微小誤差就可能極大地影像折射系數(shù)。在太赫茲光譜測量系統(tǒng)中，受電子和光學(xué)噪聲影響的延遲傾斜誤差將引起時(shí)間路徑中的振幅誤差；振幅誤差通過傅里葉變換和反卷積處理后會直接影響光學(xué)常數(shù)的精度，造成輸出不確定性；與樣品的位置相比，基準(zhǔn)鏡的微弱失調(diào)將導(dǎo)致THz域中復(fù)折射率產(chǎn)生嚴(yán)重誤差[11]；在測量過程中，手動放置樣品的誤差可能會導(dǎo)致非零入射角，該誤差也會引起光學(xué)常數(shù)的不確定性。因此，本文致力于分析所有的誤差源對所測試樣品的光學(xué)性質(zhì)的不確定性。接下來，本文將對每個(gè)誤差源的影響進(jìn)行詳細(xì)的分析。

3.1 太赫茲線幅度誤差

折射率中與幅度相關(guān)的方差可以表示為：

其中：

(9)

(10)

(11)

(12)

其中：

(13)

(14)

(15)

(16)

同樣，消光系數(shù)的振幅相關(guān)方差表示為:

3.2 樣品傾斜誤差

當(dāng)太赫茲T射線對樣品板的入射角不垂直于表面時(shí)，根據(jù)菲涅耳方程，樣品的確切復(fù)反射率由下式給出：

式中：θ1和θ2分別是太赫茲脈沖的入射角和折射角。因此，根據(jù)Snell定律，n0sinθ1=nsinθ2。假設(shè)入射角θ1在微弱間隔[-fθ,fθ]內(nèi)偏移且均值為零，則在最壞情況情況下計(jì)算值和精確的復(fù)反射系數(shù)之間的幅度差和相位差為：

根據(jù)式(2)和式(3)中測量函數(shù)可以推導(dǎo)出樣品傾斜誤差對折射率偏差的影響為：

同樣，樣品傾斜誤差對消光系數(shù)的偏差的影響方程為：

3.3 樣品位置誤差

反射測量必須需要使用與樣品位置一致的金屬鏡作為參考測量基準(zhǔn)。這在實(shí)際測量中相當(dāng)難以實(shí)現(xiàn)，并且由于非常小的傾斜準(zhǔn)誤差Δx(參見圖1)能夠誘發(fā)較大的相位誤差：

(24)

因此，由較小的位置誤差引起的折射率和消光系數(shù)的偏差分別表示如下：

n(ω)α(ω)Δx

(25)

n(ω)ε(ω)Δx

(26)

4 單誤差源仿真實(shí)驗(yàn)分析

為了分析每個(gè)誤差源對光學(xué)常數(shù)的誤差性能影響，本文進(jìn)行了如下幾種實(shí)驗(yàn)?zāi)M。本文采集的時(shí)域信號來自Z3型實(shí)驗(yàn)室級太赫茲時(shí)域光譜和成像系統(tǒng)，并采用MATLAB軟件進(jìn)行時(shí)頻分析。根據(jù)Duvillaret等[13]給出的PCA分析模型，參考信號和樣本信號的仿真實(shí)驗(yàn)參數(shù)配置采用文獻(xiàn)[14]所給出的最優(yōu)參數(shù):δτem=δτrec=30 fs,τem=τrec=300 fs,τlas=120 fs。參考脈沖的半高寬度約0.5 ps，其頻率跨度為從0.1 THz到4.0 THz不等。樣本信號的計(jì)算采取的實(shí)驗(yàn)參數(shù)如下：n-jκ=1.5-0.1j。圖2表示基于PCA分析仿真模擬的參考信號和樣品信號以及它們的頻譜。

(a) 時(shí)域光譜

(b) 頻域光譜圖2 仿真的參考信號和樣品信號時(shí)域及其頻域信息

4.1 幅度誤差

文獻(xiàn)[13]的研究成果表明，由噪聲引起的太赫茲射線振幅的變化可以記錄為AE2(kτ)+BE(kτ)+C，其中A、B、C是噪聲參數(shù)。通過擬合光學(xué)常數(shù)變化方差的實(shí)驗(yàn)值，表明A、B、C的幅值數(shù)量級分別約為10-3,10-5和10-7。因此，參數(shù)A從0.001到0.01變換，增量為0.001；參數(shù)B從0.000 01至0.000 1變換，增量為0.000 01；參數(shù)C從0.000 000 1到0.000 001變換，增量為0.000 000 1。折射率n和消光系數(shù)k的相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)偏差由式(13)和式(14)計(jì)算，其對應(yīng)的不同參數(shù)對其影響的結(jié)果如圖3所示。

(a) 不同參數(shù)A對應(yīng)的n的標(biāo)準(zhǔn)差

(b) 不同參數(shù)A對應(yīng)的κ的標(biāo)準(zhǔn)差

(c) 不同參數(shù)B對應(yīng)的n的標(biāo)準(zhǔn)差

(d) 不同參數(shù)B對應(yīng)的κ的標(biāo)準(zhǔn)差

(e) 不同參數(shù)C對應(yīng)的n的標(biāo)準(zhǔn)差

(f) 不同參數(shù)C對應(yīng)的κ的標(biāo)準(zhǔn)差圖3 受不同參數(shù)條件的噪聲影響下的光學(xué)常數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差

通過圖3可以看出：n的變化在1 THz以下，并且在較高頻率處迅速上升，表明折射率和消光系數(shù)的不確定性在高頻下更容易受噪聲影響，這是由于較高頻率下太赫茲時(shí)域光譜測量中鏡子位置和樣本傾斜誤差的影響更強(qiáng)烈。值得注意的是，在實(shí)際的太赫茲時(shí)域光譜測量系統(tǒng)中，可以通過幾次交替測量獲得太赫茲射線振幅的方差。

4.2 樣品傾斜誤差的影響

圖4展示了樣品的傾斜角對復(fù)折射率的影響。傾斜角度范圍是0.01至0.1，步長為0.01?？梢钥闯鰊和k偏差隨著傾斜角的增加而變大；消光系數(shù)對傾斜角比折射率更敏感，因?yàn)閗與參考信號和樣本信號之間的相移非常相關(guān)，這使得測量結(jié)果極大地受制于太赫茲波束到樣本上的入射角。

圖4 對應(yīng)不同樣品傾斜角的n和k的偏差

4.3 位置誤差的影響

由于本文研究的位置誤差在微米級別，位置誤差對折射率與消光系數(shù)的影響如圖5所示。可以看出，光學(xué)常數(shù)的偏差隨著位置誤差增加而變大：低頻下的光學(xué)常數(shù)相比較小，但是在較高頻率處，偏差迅速上升到不可接受的水平，并且變得遠(yuǎn)大于由其他兩個(gè)誤差引起的偏差。因此，位置誤差是造成光學(xué)常數(shù)的不確定性的主要來源。

(a) 位置誤差對折射率的影響

(b) 位置誤差對消光系數(shù)的影響圖5 位置誤差(從1 μm到10 μm，步長1 μm)下光學(xué)常數(shù)的偏差

5 結(jié) 語

本文研究了正入射反射式太赫茲光譜中測量誤差來源對光學(xué)常數(shù)的影響，通過基于時(shí)頻度量對太赫茲測量系統(tǒng)誤差進(jìn)行分析，找出誤差與正入射反射式太赫茲光譜測量中的測量光學(xué)常數(shù)的不確定性的關(guān)系。通過對每個(gè)單誤差源進(jìn)行了仿真分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明消光系數(shù)比折射率更受誤差的影響，光學(xué)常數(shù)的偏差隨著位置誤差增加而變大，且較高頻率下太赫茲時(shí)域光譜測量中位置和樣本傾斜誤差也影響測量精度，因此可以通過系統(tǒng)誤差公式的校正增強(qiáng)測量的精度。