李影飛

中國(guó)航天之父錢學(xué)森教授曾經(jīng)說過：“教育工作的最終機(jī)智在于人腦的思維過程。”思維活動(dòng)的研究，是教學(xué)研究的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)教學(xué)與思維的關(guān)系緊密相連。數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際上就是在教師的指導(dǎo)下，通過思維活動(dòng)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家思維活動(dòng)的成果，并發(fā)展數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)，向數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化的過程。因此，對(duì)數(shù)學(xué)思維的研究，是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的核心。

一、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的積極性

教育心理學(xué)認(rèn)為：興趣是力求認(rèn)識(shí)和接觸某種事物的傾向。事實(shí)證明，興趣是提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的內(nèi)驅(qū)力，也是思維發(fā)展的前提條件。只有學(xué)生對(duì)某一事物發(fā)生興趣，才會(huì)積極動(dòng)腦筋想辦法去探討和研究它。根據(jù)這一心理學(xué)特點(diǎn)，教師在教學(xué)中應(yīng)該盡量提一些學(xué)生感興趣的具有思維性的問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望，促使他們動(dòng)手、動(dòng)腦，主動(dòng)探究，從而達(dá)到培養(yǎng)他們數(shù)學(xué)思維能力的目的。

例如，在教學(xué)“雞兔同籠”時(shí)，由于這個(gè)知識(shí)相對(duì)于學(xué)生來(lái)說比較抽象，學(xué)生不好理解，需要較強(qiáng)的思維能力作支撐。為了更好地為新課學(xué)習(xí)做好鋪墊，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，做好積極思維的預(yù)熱，在探究新知之前我特意設(shè)計(jì)了四組闖關(guān)題，并以學(xué)生喜聞樂見的動(dòng)畫形式顯示出來(lái)：

第一關(guān)： 一只雞有（）個(gè)頭，（）條腿;

一只兔有（）個(gè)頭，（）條腿。

第二關(guān)：2只雞和2只兔共有（）個(gè)頭，（）腿。

7只雞和3只兔共有（）個(gè)頭，（）腿。

第三關(guān)：用表示雞或兔的頭，用表示腿，按要求給雞或兔畫上頭和腿。

第四關(guān)：根據(jù)下列所給的腿的總數(shù)，用鼠標(biāo)拖動(dòng)相應(yīng)的雞或兔。（八只腳）

上述的四個(gè)闖關(guān)活動(dòng)，難度由淺到深，層層遞進(jìn)，既有效地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又巧妙地激起了學(xué)生思維的動(dòng)機(jī)，使他們沉浸在積極思考的探索中，為新知的探究奠定了堅(jiān)實(shí)的思維基礎(chǔ)。

二、做好形象思維和抽象（邏輯）思維的轉(zhuǎn)化

形象思維與抽象思維是兩種基本的思維方式，人類從事各種活動(dòng)，往往需要對(duì)兩種思維方式協(xié)同使用。對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)來(lái)說，亦是如此。專家的大腦中有著豐富的形象貯備，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，他們總是先根據(jù)問題情景構(gòu)建出清晰的數(shù)學(xué)圖象;盡可能利用圖形來(lái)反映題目中的數(shù)量關(guān)系;善于在頭腦中對(duì)有關(guān)形象進(jìn)行分析、比較、類比、整合，做到數(shù)形結(jié)合。所以，專家往往對(duì)問題的形象有著較強(qiáng)的直感能力。而一般人的大腦中，形象的貯備相對(duì)貧乏，他們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問題時(shí)，不善于從形象上去把握問題，不善于把形象思維和抽象思維融會(huì)貫通，一接觸到問題，就企圖立即建立有關(guān)的求解方程，其結(jié)果往往是欲速則不達(dá)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生溝通形象思維和抽象思維的內(nèi)在聯(lián)系，加強(qiáng)兩者之間的互相轉(zhuǎn)化，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

北師大版數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)的《點(diǎn)陣中的規(guī)律》屬于新課程標(biāo)準(zhǔn)中的“嘗試與猜測(cè)”這部分內(nèi)容，是《標(biāo)準(zhǔn)》中的數(shù)形結(jié)合思想在教材中的具體體現(xiàn)，它從“中國(guó)古代名題”延伸到“普遍聯(lián)系找規(guī)律”， 引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、推理等活動(dòng)，在生動(dòng)的情景中找出圖形的變化規(guī)律，從形象思維入手，逐步溝通過度到抽象思維，從而將數(shù)形結(jié)合在一起。教學(xué)時(shí)，我先出示四個(gè)正方形點(diǎn)陣：

我啟發(fā)學(xué)生思考：“圖中有幾個(gè)點(diǎn)陣，每個(gè)點(diǎn)陣各有幾個(gè)點(diǎn)？”“怎么數(shù)得這樣快？有竅門嗎？” 學(xué)生經(jīng)過觀察和思考，很快會(huì)說：“用算式算出來(lái)的?！苯處煾鶕?jù)學(xué)生的回答，板書第一組算式：

這樣，一個(gè)“算”字，學(xué)生的思維初步實(shí)現(xiàn)由“形”——“數(shù)”的轉(zhuǎn)換。接著，我說：“這種數(shù)法真是又快又方便！照這樣下去，第五個(gè)點(diǎn)陣有多少個(gè)點(diǎn)呢？第六個(gè)呢？第七個(gè)？八個(gè)？……第100個(gè)呢？” 有了前面的鋪墊，學(xué)生很容易就總結(jié)出“第幾個(gè)點(diǎn)陣就用幾乘幾”，也有的學(xué)生會(huì)說，“第幾個(gè)點(diǎn)陣就是幾的平方。”

接著，我再引導(dǎo)學(xué)生從另一個(gè)角度去思考（電腦演示一下圖形）：

“斜著看又可以得到什么新的算式呢？”讓學(xué)生獨(dú)立思考，得出算式，然后匯報(bào)。我根據(jù)學(xué)生的回答板書：

并讓學(xué)生說說“誰(shuí)發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？” 引導(dǎo)學(xué)生得出“如第2個(gè)點(diǎn)陣就從1加到2再加回來(lái)，第3個(gè)點(diǎn)陣就從1加到3再加回來(lái)，第4個(gè)點(diǎn)陣就從1加到4再加回來(lái)”?！暗趲讉€(gè)點(diǎn)陣就從1連續(xù)加到幾，再反過來(lái)加回到1”這個(gè)規(guī)律。

緊接著，我再次設(shè)疑：“剛才同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了點(diǎn)陣中的兩個(gè)規(guī)律，這些點(diǎn)陣中還有其它的規(guī)律嗎？還能換個(gè)角度去思考嗎？”（課件演示）

學(xué)生經(jīng)過思考，列出算式，并得出“幾個(gè)點(diǎn)陣就從1開始加幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)”的規(guī)律。在這里，教師不是讓學(xué)生思維之旅就此結(jié)束，而是把上面的幾組算式進(jìn)行整合（課件顯示）：

三、落實(shí)收斂思維和發(fā)散思維的辯證統(tǒng)一

收斂思維也是創(chuàng)新思維的一種形式，與發(fā)散思維不同，發(fā)散思維是為了解決某個(gè)問題，從這一問題出發(fā)，想的辦法、途徑越多越好，總是追求還有沒有更多的辦法。而收斂思維也是為了解決某一問題，在眾多的現(xiàn)象、線索、信息中，向著問題一個(gè)方向思考，根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)或發(fā)散思維中針對(duì)問題的最好辦法去得出最好的結(jié)論和最好的解決辦法。收斂思維與發(fā)散思維，如同“一個(gè)錢幣的兩面”，是對(duì)立的統(tǒng)一，具有互補(bǔ)性，不可偏廢。實(shí)踐證明：在教學(xué)中，既重視培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維，又重視收斂思維的培養(yǎng)，才能較好地促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，提高學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)高素質(zhì)人才。

教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)告訴我，訓(xùn)練發(fā)散性思維的最佳方法是開展研究型學(xué)習(xí)。改變傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)模式，每遇到一個(gè)問題時(shí)，首先以這個(gè)問題為中心，展開思路去尋求不同的解題方法。例如，在學(xué)習(xí)了《路程、時(shí)間與速度》一課后，我出示了這樣一道思維訓(xùn)練題：“從我家到學(xué)校的路程是 600 米，我步行的速度是 60 米/分，我從家出發(fā)步行 9 分鐘能否到達(dá)學(xué)校？（你有多少種方法呢？）”根據(jù)一般的思維習(xí)慣，很多學(xué)生會(huì)用“時(shí)間=路程÷速度”的方法求出“從我家到學(xué)校所需的時(shí)間”再行判斷。在這里，我特意加上一句話“你有多少種方法呢？”目的在于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，運(yùn)用不同的思路進(jìn)行解題。在我的啟發(fā)下，最終學(xué)生能分別從路程、時(shí)間、速度三個(gè)方面進(jìn)行比較，確定“我是否能在9分鐘內(nèi)到達(dá)學(xué)?！?。

四、加強(qiáng)正向思維和逆向思維的互化

所謂正向思維，就是人們?cè)趧?chuàng)造性思維活動(dòng)中，沿襲某些常規(guī)去分析問題，按事物發(fā)展的進(jìn)程進(jìn)行思考、推測(cè)，是一種從已知進(jìn)到未知，通過已知來(lái)揭示事物本質(zhì)的思維方法。逆向思維則是對(duì)司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點(diǎn)反過來(lái)思考的一種思維方式。人們習(xí)慣于沿著事物發(fā)展的正方向去思考問題并尋求解決辦法。其實(shí)，對(duì)于某些問題，尤其是一些特殊問題，從結(jié)論往回推，倒過來(lái)思考，從求解回到已知條件，反過去想或許會(huì)使問題簡(jiǎn)單化。于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說，把正向思維和逆向思維緊密聯(lián)系在一起，加強(qiáng)兩者的內(nèi)化，能幫助學(xué)生深刻理解題意，提高數(shù)學(xué)思維能力。

例如，“小明有14張郵票，送給妹妹3張，爸爸又給他買5張，小明現(xiàn)在有多少?gòu)堗]票？”這是一道簡(jiǎn)單的兩步計(jì)算的應(yīng)用題，按順向數(shù)量關(guān)系列式為14-3+5=（）?？梢赞D(zhuǎn)化為“小明若干張郵票，送給妹妹3張，爸爸又給他買5張，這時(shí)小明有14張郵票，小明原來(lái)有多少?gòu)堗]票？”轉(zhuǎn)化后的數(shù)量關(guān)系是（）-3+5=14。但這個(gè)問題必須把這個(gè)數(shù)量關(guān)系逆轉(zhuǎn)為14-3+5=（）才能解決。又如判斷題“鈍角都大于90°”在學(xué)生作出正確判斷以后，把題目改為“大于90°的都是鈍角?！币龑?dǎo)學(xué)生從正反兩個(gè)方面進(jìn)行分析、比較、判斷，既拓展了學(xué)生的認(rèn)知領(lǐng)域，也有效提高思維的能力。

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)