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        關(guān)于華東師大版《數(shù)學(xué)分析》教材中的一個(gè)錯(cuò)誤證明的糾正

        2019-08-11 23:52:35梁海華
        大學(xué)教育 2019年8期

        梁海華

        [摘 要]指出了華東師大版《數(shù)學(xué)分析》教材中對(duì)實(shí)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)的證明過(guò)程中的邏輯錯(cuò)誤, 引入新的技巧來(lái)糾正其證明并用該技巧來(lái)給出實(shí)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)的完整證明(包括教材中“證明留給讀者”的部分).

        [關(guān)鍵詞]華東師大版;數(shù)學(xué)分析;實(shí)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì);證明錯(cuò)誤

        [中圖分類號(hào)] G64 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437(2019)08-0100-03

        一、引言

        數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的一門(mén)課程,是常微分方程、數(shù)學(xué)物理方程、復(fù)變函數(shù)、微分幾何等分析類課程的基礎(chǔ). 學(xué)好數(shù)學(xué)分析,不僅可以培養(yǎng)嚴(yán)密的邏輯思維、審慎的推理能力,還能通過(guò)數(shù)學(xué)建模來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題. 當(dāng)前,國(guó)內(nèi)出版了眾多的《數(shù)學(xué)分析》教材,各有特色,但國(guó)內(nèi)使用最多的當(dāng)屬華東師大版的《數(shù)學(xué)分析》,見(jiàn)文獻(xiàn)[1].

        然而,一套好的教材需千錘百煉方可成為經(jīng)典. 盡管華東師大版的《數(shù)學(xué)分析》教材頗受好評(píng)[2], 且已更新至第四版(以下把第四版簡(jiǎn)稱為教材),但里面仍有一些瑕疵. 因此,不少數(shù)學(xué)教師發(fā)表論文,指出了教材中編寫(xiě)不合理的地方并提出修正的建議[3-4].

        筆者在使用教材的過(guò)程中,也發(fā)現(xiàn)了一些較為明顯的排版錯(cuò)誤,如上冊(cè)第84頁(yè)的倒數(shù)第10行的“(7)”應(yīng)為“(8)”;第154頁(yè)第6行“必要性已由費(fèi)馬定理可出”應(yīng)為“必要性已由費(fèi)馬定理看出”;第213頁(yè)第6行的“定理9.5”應(yīng)為“定理9.6”;等等. 但這些錯(cuò)誤對(duì)于使用者而言影響不大, 本文主要指出教材在證明定理4.10時(shí)的邏輯錯(cuò)誤,該錯(cuò)誤較為隱秘,至今仍未有文獻(xiàn)對(duì)其展開(kāi)探討.

        為方便,此處重述定理4.10.

        定理4.10:設(shè)[a>0]是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),則對(duì)任意[α,β∈R]都有

        [aα+β=aα?aβ, (aα)β=aαβ.] (1)

        II. 定理4.10的證明錯(cuò)誤及修正

        教材通過(guò)分別證明[aα+β≥aα?aβ]和[aα+β≤aα?aβ]來(lái)得到第一個(gè)等式. 但在證明[aα+β≤aα?aβ]的過(guò)程中存在一個(gè)隱蔽的錯(cuò)誤(87頁(yè)4-6行):

        “為證相反的不等式,同理存在有理數(shù)[p≤α+β],使得

        [aα+β-ε

        再取有理數(shù)[r≤α]和[s≤β],并使[p≤r+s]”.

        此處的錯(cuò)誤在于,倘若[p=α+β],則由

        “[r≤α],[s≤β]且[α+β=p≤r+s≤α+β]”

        知,[r=α]且[s=β]. 這樣,當(dāng)[α]和[β]均為無(wú)理數(shù)(例如[α=1+3,] [β=3-3])時(shí),[r]和[s]不可能是有理數(shù).

        下面將給出正確的證明. 讀者將會(huì)看到,當(dāng)[p<α+β]時(shí),教材的證明是正確的;而當(dāng)[p=α+β]時(shí),需要另尋他法. 首先給出如下引理.

        引理. 設(shè)有理數(shù)[α,β]是任意兩個(gè)實(shí)數(shù),[p]是有理數(shù)且[p<α+β]. 則必存在兩個(gè)有理數(shù)[r,s]使得[r≤α,s≤β]且[r+s>p].

        證明:不妨設(shè)[α,β]均為正數(shù),其余情形可類似得證. 因?yàn)閇p<α+β],所以存在非負(fù)整數(shù)[n],使得[p]的[n]位過(guò)剩近似小于[α+β]的[n]位不足近似,即[pn<(α+β)n],從而

        [pn≤(α+β)n-110n].

        另一方面,容易證明,

        [αn+βn=(α+β)n]或[αn+βn=(α+β)n-110n.] (2)

        事實(shí)上,設(shè)[α=a0. a1a2…, β=b0. b1b2…]. 若[an+1+bn+1<10],則[αn+βn=(α+β)n];若[an+1+bn+1≥10],則[αn+βn=(α+β)n-110n.]無(wú)論何種情況均成立著,從而總有[αn+βn][≥pn]. 于是,取[r=αn<α, s=βn<β],便得到

        [α+β>r+s=αn+βn≥pn>p.]

        下面給出“[aα+β≤aα?aβ]”的正確證明.

        不妨設(shè)[a>1](關(guān)于[0

        [aα+β=sup r≤α+β{ar|r 為有理數(shù)}],

        所以對(duì)任意[ε>0],存在有理數(shù)[r0≤α+β],使得

        [ar0>aα+β-ε.] (3)

        如果[r0<α+β],則由引理知,存在兩個(gè)有理數(shù)[r,s]使得

        [r≤α,s≤β; r+s>r0.]

        于是,

        [ar0

        其中第一和第三個(gè)不等號(hào)是利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到,而第二個(gè)等號(hào)則是利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì). 結(jié)合(3)和(4)便得:

        [aα+β

        因[ε]是任意的正數(shù),所以上式意味著[aα+β≤aα?aβ].

        如果[r0=α+β],則未必存在有理數(shù)[r,s]使得[r≤α,s≤β; r+s≥r0.]以下將引入一種小技巧來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題,讀者不難發(fā)現(xiàn),下面的證明方法也完全適用于[r0<α+β]的情形.

        既然[r0=α+β],那么對(duì)任何正整數(shù)[n]都有[r0-1n<α+β]. 利用引理(那里的[p]相當(dāng)于此處的[r0-1n])知,存在有理數(shù)[r,s]使得

        [r≤α,s≤β]且[r0-1n

        [ar0-1n

        注意[r0]和[1n]均為有理數(shù),所以[ar0-1n=a-1n?ar0],再由及便得

        [aα+β-ε

        令[ε→0],由函數(shù)極限的保不等式性質(zhì)得

        [aα+β≤(aα?aβ)?a1n].

        再令[n→∞],由數(shù)列極限保不等式性質(zhì)以及[limn→∞an=1]得[aα+β≤aα?aβ].

        因此,無(wú)論是[r0<α+β]還是[r0=α+β],都有[aα+β≤aα?aβ].

        注. 證明過(guò)程中,先引入[r0-1n],而后應(yīng)用引理,最后再令[n→∞]是關(guān)鍵的技術(shù).

        III. 定理4.10第二式的證明

        教材并未給出定理4.10第二式的證明,而是留給讀者. 顯然,第二式的證明比第一式的證明更復(fù)雜. 而且,如果沒(méi)看出第一式的證明錯(cuò)誤,則在證明第二式時(shí)仍會(huì)產(chǎn)生類似的邏輯錯(cuò)誤.

        下面將使用上一節(jié)所提出的技巧,給出后一個(gè)式子的嚴(yán)謹(jǐn)證明. 為此,只需要分別證明

        [ (aα)β≤aαβ]及[aαβ≤ (aα)β].

        根據(jù)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的定義,[aα=sup r≤α{ar|r 為有理數(shù)}],而

        [(aα)β=sup r≤β{(aα)r|r 為有理數(shù)}, ]

        [sup r≤αβ{ar|r 為有理數(shù)}.] ? ? ?(6)

        首先證明[ (aα)β≤aαβ].

        由上確界的定義,對(duì)任意[ε>0],存在有理數(shù)[r≤α]使得[aα≤ar+ε]; 存在有理數(shù)[s≤β]使得

        [(aα)β≤(aα)s+ε.] (7)

        因此,

        [(aα)β≤(ar+ε)s+ε.] (8)

        記[f(x)=(ar+x)s+x.][f]可看作[g(u)=us]和[u(x)=ar+x]的復(fù)合函數(shù)再加上線性函數(shù)[h(x)=x]. 由于[s]為有理數(shù),所以[g(u)=us]是其定義域上的連續(xù)函數(shù),[u(x)][=ar+x]是[x]的連續(xù)函數(shù),故 [(ar+x)s]是[x]的連續(xù)函數(shù),從而[f]為定義域內(nèi)的連續(xù)函數(shù). 這樣,

        [limx→0f(x)=f(0)=(ar)s=ars.]

        于是,在(7)的兩邊同時(shí)令[ε→0]便得[(aα)β≤ars.] 再由[r≤α]及[s≤β]以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得

        [(aα)β≤ars≤aαβ].

        其次證明[ aαβ≤(aα)β].

        對(duì)任何正整數(shù)[n],由(6)的第二式以及上確界的定義知,存在有理數(shù)[p≤αβ]使得

        [aαβ≤ap+1n.] (9)

        根據(jù)有理數(shù)的稠密性,可取有理數(shù)[r,s]使得[r≤α,s≤β]且[ rs+1n>p]. 于是,

        [ap+1n≤ars+1n+1n=a1n?ars+1n]

        [=a1n?(ar)s+1n≤a1n?(aα)β+1n.]

        結(jié)合(9)立刻得

        [aαβ≤a1n?(aα)β+1n.]

        令[n→∞],由[limn→∞an=1]以及數(shù)列極限的保不等式性質(zhì),得[aαβ≤(aα)β.]

        證明完畢.

        注:證明[ aαβ≤(aα)β]時(shí)用[1n]來(lái)代替[ε],是為了能應(yīng)用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)以及[limn→∞a1n=1].

        [參考文獻(xiàn)]

        [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2012

        [2] 孫善利.一本頗具特色的好教材——介紹華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編的《數(shù)學(xué)分析》(第二版)[J].中國(guó)大學(xué)教學(xué), 2004(4):60-61.

        [3] 王劍宇.一套數(shù)學(xué)分析主導(dǎo)教材中的幾點(diǎn)不足[J].南京曉莊學(xué)院學(xué)報(bào), 2006(6):119-121.

        [4] 韓誠(chéng).確界原理的一個(gè)修正證明[J].大學(xué)數(shù)學(xué), 2014(3):69-70.

        [責(zé)任編輯:林志恒]

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