梁海華
[摘 要]指出了華東師大版《數(shù)學(xué)分析》教材中對(duì)實(shí)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)的證明過(guò)程中的邏輯錯(cuò)誤, 引入新的技巧來(lái)糾正其證明并用該技巧來(lái)給出實(shí)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)的完整證明(包括教材中“證明留給讀者”的部分).
[關(guān)鍵詞]華東師大版;數(shù)學(xué)分析;實(shí)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì);證明錯(cuò)誤
[中圖分類號(hào)] G64 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437(2019)08-0100-03
一、引言
數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的一門(mén)課程,是常微分方程、數(shù)學(xué)物理方程、復(fù)變函數(shù)、微分幾何等分析類課程的基礎(chǔ). 學(xué)好數(shù)學(xué)分析,不僅可以培養(yǎng)嚴(yán)密的邏輯思維、審慎的推理能力,還能通過(guò)數(shù)學(xué)建模來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題. 當(dāng)前,國(guó)內(nèi)出版了眾多的《數(shù)學(xué)分析》教材,各有特色,但國(guó)內(nèi)使用最多的當(dāng)屬華東師大版的《數(shù)學(xué)分析》,見(jiàn)文獻(xiàn)[1].
然而,一套好的教材需千錘百煉方可成為經(jīng)典. 盡管華東師大版的《數(shù)學(xué)分析》教材頗受好評(píng)[2], 且已更新至第四版(以下把第四版簡(jiǎn)稱為教材),但里面仍有一些瑕疵. 因此,不少數(shù)學(xué)教師發(fā)表論文,指出了教材中編寫(xiě)不合理的地方并提出修正的建議[3-4].
筆者在使用教材的過(guò)程中,也發(fā)現(xiàn)了一些較為明顯的排版錯(cuò)誤,如上冊(cè)第84頁(yè)的倒數(shù)第10行的“(7)”應(yīng)為“(8)”;第154頁(yè)第6行“必要性已由費(fèi)馬定理可出”應(yīng)為“必要性已由費(fèi)馬定理看出”;第213頁(yè)第6行的“定理9.5”應(yīng)為“定理9.6”;等等. 但這些錯(cuò)誤對(duì)于使用者而言影響不大, 本文主要指出教材在證明定理4.10時(shí)的邏輯錯(cuò)誤,該錯(cuò)誤較為隱秘,至今仍未有文獻(xiàn)對(duì)其展開(kāi)探討.
為方便,此處重述定理4.10.
定理4.10:設(shè)[a>0]是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),則對(duì)任意[α,β∈R]都有
[aα+β=aα?aβ, (aα)β=aαβ.] (1)
II. 定理4.10的證明錯(cuò)誤及修正
教材通過(guò)分別證明[aα+β≥aα?aβ]和[aα+β≤aα?aβ]來(lái)得到第一個(gè)等式. 但在證明[aα+β≤aα?aβ]的過(guò)程中存在一個(gè)隱蔽的錯(cuò)誤(87頁(yè)4-6行):
“為證相反的不等式,同理存在有理數(shù)[p≤α+β],使得
[aα+β-ε 再取有理數(shù)[r≤α]和[s≤β],并使[p≤r+s]”. 此處的錯(cuò)誤在于,倘若[p=α+β],則由 “[r≤α],[s≤β]且[α+β=p≤r+s≤α+β]” 知,[r=α]且[s=β]. 這樣,當(dāng)[α]和[β]均為無(wú)理數(shù)(例如[α=1+3,] [β=3-3])時(shí),[r]和[s]不可能是有理數(shù). 下面將給出正確的證明. 讀者將會(huì)看到,當(dāng)[p<α+β]時(shí),教材的證明是正確的;而當(dāng)[p=α+β]時(shí),需要另尋他法. 首先給出如下引理. 引理. 設(shè)有理數(shù)[α,β]是任意兩個(gè)實(shí)數(shù),[p]是有理數(shù)且[p<α+β]. 則必存在兩個(gè)有理數(shù)[r,s]使得[r≤α,s≤β]且[r+s>p]. 證明:不妨設(shè)[α,β]均為正數(shù),其余情形可類似得證. 因?yàn)閇p<α+β],所以存在非負(fù)整數(shù)[n],使得[p]的[n]位過(guò)剩近似小于[α+β]的[n]位不足近似,即[pn<(α+β)n],從而 [pn≤(α+β)n-110n]. 另一方面,容易證明, [αn+βn=(α+β)n]或[αn+βn=(α+β)n-110n.] (2) 事實(shí)上,設(shè)[α=a0. a1a2…, β=b0. b1b2…]. 若[an+1+bn+1<10],則[αn+βn=(α+β)n];若[an+1+bn+1≥10],則[αn+βn=(α+β)n-110n.]無(wú)論何種情況均成立著,從而總有[αn+βn][≥pn]. 于是,取[r=αn<α, s=βn<β],便得到 [α+β>r+s=αn+βn≥pn>p.] 下面給出“[aα+β≤aα?aβ]”的正確證明. 不妨設(shè)[a>1](關(guān)于[0 [aα+β=sup r≤α+β{ar|r 為有理數(shù)}], 所以對(duì)任意[ε>0],存在有理數(shù)[r0≤α+β],使得 [ar0>aα+β-ε.] (3) 如果[r0<α+β],則由引理知,存在兩個(gè)有理數(shù)[r,s]使得 [r≤α,s≤β; r+s>r0.] 于是,