范興奎， 張明鵬， 羅 彤， 趙彥茹

(青島理工大學(xué)a.理學(xué)院;b.信息與控制工程學(xué)院;c.管理工程學(xué)院，山東 青島 266520)

0 引 言

隨著盧浮宮越來(lái)越多的緊急突發(fā)事件的發(fā)生，研究如何使游客進(jìn)行快速安全的疏散具有重要意義。在傳統(tǒng)的樓層疏散模型[1]中，多數(shù)以整體人流量為主要的研究對(duì)象，未考慮游客間以及游客與障礙物間的關(guān)系，在經(jīng)典的元胞自動(dòng)機(jī)[2]疏散的算法中存在游客移動(dòng)速度相同的局限性。本文以電路圖為基礎(chǔ)，通過(guò)電路圖和盧浮宮樓層空間的對(duì)應(yīng)，游客擬作電荷，克服了傳統(tǒng)樓層疏散模型的不足。并通過(guò)考慮社會(huì)力改進(jìn)元胞自動(dòng)機(jī)算法進(jìn)行模擬仿真，討論盧浮宮游客疏散的最優(yōu)方案。文章分三個(gè)部分對(duì)問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)的研究。

1 基于電路圖的優(yōu)化疏散模型

1.1 電路圖理論的運(yùn)用

在傳統(tǒng)的樓層疏散模型中,多數(shù)以研究整體人流量為主，未考慮行人間以及行人與障礙物間的關(guān)系，為克服傳統(tǒng)樓層疏散模型的不足，建立基于“電路圖”的優(yōu)化疏散模型。選取盧浮宮的五個(gè)樓層為研究對(duì)象，并與電路圖中的器件相對(duì)應(yīng)，根據(jù)電路運(yùn)行的特性和電路器件之間的關(guān)系，模擬盧浮宮緊急疏散的情況。電路圖和樓層的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖1所示。

電路圖中，電路器件和樓層結(jié)構(gòu)的對(duì)應(yīng)如表1所示：

用五層電路代表盧浮宮的五層樓層，每個(gè)電荷代表每個(gè)游客，電荷移動(dòng)形成電流模擬人 流，電流的流向代表人流的走向。為了形象描述游客向零層行走的方向且人流不產(chǎn)生逆流，引入電流放大器，同時(shí)電流放大器放大電流的作用可以形象描述游客由上層樓梯進(jìn)入下層樓梯時(shí)人流增大匯集的現(xiàn)象。開(kāi)關(guān)的閉合與斷開(kāi)代表應(yīng)急通道的開(kāi)放與關(guān)閉。兩處地線代表盧浮宮地下兩層和零層的出口，燈亮代表游客成功疏散。

每個(gè)電荷q代表每個(gè)游客，導(dǎo)線的橫截面積s代表樓道的寬度，假設(shè)電荷的移動(dòng)速度v可以代表游客行走的速度，從游客展廳中疏散的游客總數(shù)n用電源電壓U表示，運(yùn)用電流I的公式可得人流量的計(jì)算公式為：

I=nqsv=Uqsv

(1)

電阻R代表樓梯的通行能力，電阻率ρ代表單位樓梯的通行能力，電阻長(zhǎng)度l代表樓梯長(zhǎng)度，電阻橫截面積s1代表樓梯的寬度，根據(jù)電阻的定義式可得樓梯的通行能力為：

(2)

圖1 電路圖與樓層對(duì)應(yīng)圖

電阻值越小代表樓梯通行能力越大，電阻值越大代表樓梯通行能力越小。

由伏安關(guān)系可得，樓梯的最大通行流量為：

(3)

當(dāng)I1I，樓梯的通行流量小于實(shí)際人流量，游客會(huì)在樓梯口處產(chǎn)生擁堵，擁堵時(shí)間為：

(4)

式中N1為擁堵樓梯數(shù),當(dāng)I1>I，樓梯的通行流量大于實(shí)際人流量，游客不會(huì)在樓梯口處產(chǎn)生擁堵。

電流放大器放大電流Io代表各樓梯匯集的總?cè)肆髁?，描述游客從上樓層進(jìn)入下樓層時(shí)人流量迅速增大的情形，A為電流放大器的放大倍數(shù),放大電流Io計(jì)算公式為：

Io=AI

(5)

為描述游客在疏散過(guò)程中的擁堵情況，引入飽和度和阻塞率的概念衡量擁堵程度。 用B表示飽和度，I為實(shí)際人流量，I1為樓梯的最大通行流量，飽和度的計(jì)算公式為：

(6)

飽和度代表疏散過(guò)程中疏散道路的通行水平，隨著飽和度的增大，道路的通行水平越來(lái)越差。

用C表示阻塞率，N1為擁堵樓梯數(shù)，N為總樓梯數(shù)，阻塞率的計(jì)算公式為：

(7)

阻塞率代表著樓梯的擁堵水平，反應(yīng)出游客的擁堵情況，隨著阻塞率的增大，疏散的通行水平越來(lái)越差。

通過(guò)引入飽和度和阻塞率的概念，衡量疏散的擁堵程度，反映出游客疏散過(guò)程中的擁堵情況和道路的通行水平。

通過(guò)把樓層結(jié)構(gòu)和電路圖相對(duì)應(yīng)，游客擬作電荷，把游客疏散的具體情形轉(zhuǎn)化到電路圖上，并用電路公式具體表現(xiàn)出游客疏散過(guò)程中的各種關(guān)系，創(chuàng)造性的表現(xiàn)出游客疏散的具體情形。

1.2 傳統(tǒng)社會(huì)力模型概念的引用

為進(jìn)一步描述游客疏散過(guò)程中行人間以及行人與障礙物間的關(guān)系，克服傳統(tǒng)樓層模型的不足，引入傳統(tǒng)社會(huì)力模型[3]的概念。傳統(tǒng)社會(huì)力模型中自身驅(qū)動(dòng)力，排斥力和摩擦力的概念，可以分別描述人與人之間的排斥力與擠壓力，人與障礙物之間的排斥力與擠壓力，生動(dòng)展現(xiàn)游客疏散的具體情形。

通過(guò)把游客擬作電荷，描述社會(huì)力模型中人與人之間的排斥力與擠壓力，可以用庫(kù)侖定律[4]中點(diǎn)電荷與點(diǎn)電荷之間的庫(kù)侖力F1表示，具體式子為：

(8)

式中:q1和q2代表不同的游客，k為庫(kù)倫常量，r1代表人與人之間的距離。

描述社會(huì)力模型中人與障礙物之間的排斥力與擠壓力，可以用庫(kù)侖定律中點(diǎn)電荷與場(chǎng)源電荷之間的庫(kù)侖力F2表示，具體式子為：

(9)

式中:q代表游客，Q代表障礙物，k為庫(kù)倫常量，r2代表人與人之間的距離。

點(diǎn)電荷間的作用力描述了行人間的排斥力與擠壓力，點(diǎn)電荷與場(chǎng)源電荷間的作用力描述了行人與障礙物間的排斥力與擠壓力，生動(dòng)的展現(xiàn)了游客疏散的具體情形，并克服了傳統(tǒng)樓層模型中未考慮行人間以及行人與障礙物間關(guān)系的不足。

1.3 最短時(shí)間優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的建立

游客從展覽廳走到樓梯口的時(shí)間t1為通道長(zhǎng)度除以游客行走速度，對(duì)應(yīng)到電路圖上即是導(dǎo)線的長(zhǎng)度L除以電荷的移動(dòng)速度v,具體式子為：

(10)

游客在選擇樓梯口進(jìn)行疏散時(shí)，一般綜合兩點(diǎn)考慮：選擇人員密度較少的樓梯口，即排隊(duì)人數(shù)較少的樓梯口；且選擇離自己距離較近的樓梯口。對(duì)應(yīng)到電路圖上即是代表不同樓梯的電阻的阻值不同，即:

游客在不同樓層之間移動(dòng)的時(shí)間t2為人流時(shí)間和穿行時(shí)間之和。根據(jù)理論[5]并結(jié)合電路圖，t2對(duì)應(yīng)表達(dá)式為：

(11)

式中:Nr代表第r個(gè)樓梯，Wr為樓梯寬度，C為單位樓梯的通行能力，Ts為穿行時(shí)間；ρ為電阻率，s1為電阻橫截面積，l為電阻長(zhǎng)度，v為電荷移動(dòng)速度。

游客在零層樓梯口處跑向大門的時(shí)間t3由大門的有效寬度B，單位寬度通行能力C1，游客離大門的距離L1和游客速度V表示[6]，對(duì)應(yīng)到電路圖上即是中間層電阻橫截面積s1，電阻率ρ，電阻長(zhǎng)度l和電荷移動(dòng)速度v，具體對(duì)應(yīng)式子為：

(12)

最短時(shí)間優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為：

mint=min(t1+t2+t3)

(13)

建立最短時(shí)間優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)疏散時(shí)間越短時(shí)，游客疏散的效率越高，表示游客快速進(jìn)行疏散。

通過(guò)建立基于“電路圖”的最優(yōu)疏散模型，把游客疏散的具體情形對(duì)應(yīng)到電路圖上，引用阻塞率和飽和度的概念描述游客疏散過(guò)程中的擁堵程度。引用社會(huì)力模型的概念，描述疏散過(guò)程人與人，人與障礙物間的關(guān)系，克服了傳統(tǒng)樓層疏散模型的不足。建立最短時(shí)間優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)疏散時(shí)間越短時(shí)，游客疏散的效率越高，表示游客進(jìn)行快速有序的疏散。

2 模型求解

2.1 基于元胞自動(dòng)機(jī)的地面層的模擬仿真

在經(jīng)典的元胞自動(dòng)機(jī)模型中，難以描述人與人間以及人與障礙物間的碰撞，摩擦等相互關(guān)系，且未考慮個(gè)人因素導(dǎo)致行人速度不同的問(wèn)題。因此，用改進(jìn)的元胞自動(dòng)機(jī)[7]算法進(jìn)行模擬仿真。具體改進(jìn)的算法如下：

把行走區(qū)域劃分為更小的網(wǎng)格，每個(gè)格點(diǎn)最多被兩個(gè)行人同時(shí)占據(jù)，且兩個(gè)行人最多交 于一個(gè)格點(diǎn)。當(dāng)兩個(gè)行人進(jìn)行碰撞摩擦?xí)r，或行人與障礙物進(jìn)行碰撞摩擦?xí)r，兩行人或行人與障礙物占據(jù)的格點(diǎn)相交。

圖2 :元胞自動(dòng)機(jī)地面層模擬仿真圖

在社會(huì)力模型中，由于個(gè)人因素使不同行人移動(dòng)速度不同，游客相同時(shí)間內(nèi)移動(dòng)的距離不同。通過(guò)游客在單位時(shí)間內(nèi)移動(dòng)的格點(diǎn)數(shù)不同代表游客的速度不同。

盧浮宮地面層有金字塔入口，黎塞留入口和獅門入口三個(gè)入口，當(dāng)發(fā)生緊急情況時(shí)，游客多從這三個(gè)入口進(jìn)行疏散。使用改進(jìn)的元胞自動(dòng)機(jī)算法對(duì)三個(gè)入口的疏散情況進(jìn)行模擬仿真， 并運(yùn)用MATLAB[8]編程畫圖，觀察人員疏散隨時(shí)間變化的情況如圖2所示：

由圖2可以看出，疏散開(kāi)始后，游客根據(jù)上述出口選擇機(jī)制分別向三個(gè)出口匯聚，出口處 人員密度增大，游客間出現(xiàn)碰撞，擠壓和摩擦，出口附近出現(xiàn)瓶頸現(xiàn)象，由于后續(xù)到來(lái)的游客會(huì)選擇向周邊繞行，人群最終匯集在出口附近，從而出口附近的瓶頸現(xiàn)象更加明顯。

2.2 基于元胞自動(dòng)機(jī)的樓層間的模擬仿真

為描述游客在不同樓層間的疏散情況，用改進(jìn)的元胞自動(dòng)機(jī)進(jìn)行模擬仿真，觀察人員疏散隨時(shí)間變化的情況如圖3所示：

圖3 元胞自動(dòng)機(jī)樓層間模擬仿真圖

由圖3可以看出，游客在不同樓層間疏散時(shí)，隨著后續(xù)游客的到來(lái)，會(huì)在樓梯口處產(chǎn)生擁堵，樓梯口是疏散過(guò)程中的瓶頸。通過(guò)對(duì)樓層間的元胞自動(dòng)機(jī)的模擬仿真，使得模擬仿真的過(guò)程更加完善。根據(jù)Affluences網(wǎng)站提供的數(shù)據(jù)，并結(jié)合改進(jìn)的元胞自動(dòng)機(jī)算法，得到盧浮宮整體疏散的時(shí)間約為1000s.

引入社會(huì)力模型的概念改進(jìn)元胞自動(dòng)機(jī)的算法，解決了經(jīng)典元胞中未考慮行人間碰撞，摩擦等關(guān)系的問(wèn)題。通過(guò)元胞自動(dòng)機(jī)對(duì)地面層和樓層間的模擬仿真，找到出口和樓梯口是疏散過(guò)程的瓶頸，并得到疏散的整體時(shí)間約為1000s。

把傳統(tǒng)的樓層疏散模型和基于“電路圖”的優(yōu)化疏散模型作比較，基于“電路圖”的優(yōu)化疏散模型在結(jié)合傳統(tǒng)樓層疏散模型基礎(chǔ)上，通過(guò)引入社會(huì)力模型的概念，解決了傳統(tǒng)樓層疏散模型中未考慮行人間以及行人與障礙物間的關(guān)系的不足，具有創(chuàng)新性的表現(xiàn)出游客疏散的過(guò)程和細(xì)節(jié)。通過(guò)考慮社會(huì)力改進(jìn)元胞自動(dòng)機(jī)算法，解決了經(jīng)典元胞中沒(méi)考慮行人碰撞，摩擦的關(guān)系以及游客速度相同的問(wèn)題，使得元胞自動(dòng)機(jī)算法更加完善適用。

通過(guò)建立基于“電路圖”的優(yōu)化疏散模型，并通過(guò)元胞自動(dòng)機(jī)進(jìn)行地面層和樓梯間的模擬仿真，找到出口和樓梯口是疏散過(guò)程中的瓶頸。安保人員可通過(guò)開(kāi)放緊急通道，引導(dǎo)游客有序疏散等措施，減輕疏散過(guò)程中的擁堵程度，保證疏散過(guò)程高效有序的進(jìn)行。

3 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)把三維的空間結(jié)構(gòu)降維到二維的電路圖上，樓層結(jié)構(gòu)和電路器件的對(duì)應(yīng)，并引入傳統(tǒng)社會(huì)力模型的概念，簡(jiǎn)化了盧浮宮游客進(jìn)行疏散的具體情形，考慮并解決了傳統(tǒng)樓層疏散模 型中未考慮的問(wèn)題。建立基于“電路圖”的優(yōu)化疏散模型，并通過(guò)改進(jìn)元胞自動(dòng)機(jī)算法的模擬仿真，克服了經(jīng)典元胞自動(dòng)機(jī)算法的局限性，找到了出口和樓梯口是疏散過(guò)程中的瓶頸，這可以為盧浮宮制定更加合理適用的疏散計(jì)劃添磚加瓦。