周 韜， 田晶晶， 齊龍興

(1.安徽大學數(shù)學科學院，安徽 合肥 230601;2.國立首爾大學數(shù)學科學學院，韓國 首爾 100-744)

0 引 言

眾所周知，血吸蟲病是一種嚴重的水媒疾病。由于洪水等多種原因，控制或根除血吸蟲病并非易事。許多研究表明，洪水可能導致血吸蟲爆發(fā)[1,2]。在吳開琛等人的論文中，基于臨床和流行病學數(shù)據(jù)，評估了在楊澤河谷洪水對血吸蟲病傳播的影響且在1998 - 2003年期間，釘螺茲生的總面積和感染釘螺的面積之間有顯著的相關性[3]。然而這些解釋并沒有指出洪災影響血吸蟲病傳播嚴重的直接原因。

1 模 型

血吸蟲病第一個數(shù)學模型源于1965年的George Macdonald[4]。利用該模型研究一些血吸蟲病控制措施。從此出現(xiàn)更多血吸蟲傳播模型[5，6]。血吸蟲生命周期中有三個階段，分別是毛蚴、尾蚴和蠕蟲。前兩個階段在水中，最后一個階段在人體內(nèi)。事實上，血吸蟲病傳播依賴于毛蚴、尾蚴和人的數(shù)量。具有傳染性的人在血吸蟲病傳播中扮演著一個重要角色。因此，考慮毛蚴、尾蚴、釘螺和人的動力學行為尤為必要。

M(t)和C(t)來表示毛蚴和尾蚴數(shù)量。傳播過程中血吸蟲的壽命與人類壽命相比非常短，故不考慮人出生和死亡。當前，由于國家大量投入和有效治療措施，因血吸蟲病導致死亡率很低，故忽略因病死亡。假設人口總數(shù)是常數(shù)H，把人分為三類：易感者Sh(t)，感染者Ih(t)和恢復者Rh。當人進去疫水中，一些部分尾蚴會鉆進人類皮膚，假設q2C(t)為進入人類身體的尾蚴數(shù)量。因此，有βchSh(t)q2C(t)Aw個人被感染并進入Ih(t)。在治療率為θ的情況下，有θIh個人變?yōu)榭祻驼?。根?jù)流行病學，僅有一部分康復者Rh具有免疫。假設pRh康復者重新進去了易感者。此時得到了關于人的一個動力學模型：

(1)

在文獻[7]中,為研究血吸蟲病，確定每克糞便中毛蚴數(shù)量隨時間在改變。建立一個關于毛蚴數(shù)量改變的微分方程,尾蚴也一樣。假設感染的病人Ih可以排出g克糞便進入水中。這些糞便中有大量血吸蟲卵。假設每克糞便里面產(chǎn)生蟲卵有h個。re是蟲卵進入并且成功孵化成毛蚴比例。毛蚴的生命周期少于12h。假設毛蚴的死亡率為每小時dm=1/12。毛蚴進去釘螺身體數(shù)表示為q1M。得到一個關于毛蚴的微分方程。

(2)

根據(jù)血吸蟲病傳播機制，釘螺分成兩類：易感釘螺和感染釘螺，其密度分別記為ss和Is假設釘螺的滋生面積是As。σ表示單位時間內(nèi)每個被感染釘螺產(chǎn)生尾蚴數(shù)量。得到單位時間內(nèi)新產(chǎn)生的尾蚴的數(shù)量為σAsIs。尾蚴的死亡dc=1/24。有q2C個尾蚴穿透人類的皮膚導致人被感染。因此，可以獲得一個關于尾蚴的微分方程。

(3)

Shiff對釘螺種群進行研究[8]。發(fā)現(xiàn)釘螺繁殖受到擁擠效應的限制。根據(jù)文獻[8]，假設釘螺的出生符合logistic 增長rsSs[1-(Ss+Is)/As]，As是釘螺棲息面積。其中釘螺被q1M尾蚴以βms概率感染。有dsIs釘螺自然死亡和asIs釘螺由血吸蟲病死亡。得到釘螺系統(tǒng)：

(4)

由于人口的總數(shù)是常數(shù)H，得到一個完整的血吸蟲病動態(tài)模型如下：

(5)

根據(jù)吳開琛等人調(diào)查[3]以及其它文獻([9])表明，建立動態(tài)模型去研究洪水對血吸蟲病傳播影響非常必要。

2 模型的動力學分析

令系統(tǒng)(5)的右邊等于零，得到系統(tǒng)的平衡點。利用第二代矩陣的計算方法，可以獲得模型的基本再生數(shù)是

這決定了地方病平衡點的存在性以及平衡點的穩(wěn)定性。同時，也可以看出，釘螺滋生面積As對基本再生數(shù)影響也很大。

定理3.1系統(tǒng)(5)總是有兩個無病平衡點E01=(0,0,0,0,0,0)和E02=(0,0,0,0,As(1-ds/rs),0)。

(1)如果R0<1，沒有地方病平衡點。

(2)如果R0>1，有唯一的地方病平衡點E*=(Ih*,Rh*,M*,C*,Ss*,Is*)。

它們的坐標滿足如下關系：

其中，β1=βmsq1,β2=βchq2,α1=rehg,α2=σAs,d1=dm+q1,d2=dc+q2,d3=ds+αs，M*是二次方程a2M2+a1M+a0=0的正根。這里

說明方程有兩個實根，設為M1,M2，并假設M1

如果R0>1則a0<0,由M1M2<0，可以得到M1>0,M2>0。

另外

此時，

圖1 靈敏度

因此，可以判斷系統(tǒng)(2.5)存在唯一的正平衡點。兩個邊界平衡點和正平衡點的穩(wěn)定性在下面的定理中給出。

定理3.2E01是一個不穩(wěn)定的鞍點；如果R0<1，E02是局部漸近穩(wěn)定的；如果R0>1，E02是不穩(wěn)定的，E*是局部漸近穩(wěn)定的。

證明：E01=(0,0,0,0,0,0)對應的特征方程為

(-v-λ)(-β-λ)(-β-λ)(-d2-λ)

(rs-ds-λ)(rs-ds-λ)=0。

特征值為λ=-v,-β,-d1,-d2,rs-ds,-d3。其中，rs-ds>0，所以E01是不穩(wěn)定的。

(ds-rs-λ)(-β-λ)[(d3+λ)(d2+λ)

特征值為λ1=ds-r<0,λ2=-β<0，其它的特征值滿足下列方程

(d3+λ)(d2+λ)(d1+λ)(v+λ)-

λ4+(d1+d2+d3+v)λ3+

(d1d2+d1d3+d1v+d2d3+d2v+d3v)λ2+

(d1d2d3+d1d2v+d1d3v+d2d3v)λ+d1d2d3v-

即λ4+b1λ3+b2λ2+b3λ+b4=0

其中

利用Hurwitz判別法，

b1=d1+d2+d3+v>0

Δ2=(d1+d2+d3+θ)

(d1d2+d1d3+d1θ+d2θ+d3v)-

(d1d2d3+d1d2θ+d1d3+d2d3θ)>0

Δ3=[(d1+d2)+(d3+θ)]

[(d1+d2)(d3+θ)+d1d2+d3θ]

[d1d2(d3+θ)+(d1+d2)d3θ]-

[d12d22(d3+θ)2+2(d1+d2)

(d3+θ)d1d2d3θ+(d1+d2)2d32θ2]-

[(d1+d2)+(d3+θ)]2+

[(d1+d2)2+2(d1+d2)(d3+θ)+

(d3+θ)2]d1d2d3θ>0

容易計算出，b4>0?R0<1。所以，如果R0<1,b4>0，此時，特征根均具有負實部，進而，E02是局部漸近穩(wěn)定的。如果R0>1,b4<0，這時至少有一個特征根具有正實部，所以，E02是不穩(wěn)定的。

同樣利用Hurwitz判別法可以證明出正平衡點的局部穩(wěn)定性，由于過程的繁雜，這里就不再贅述。

3 對R0的敏感度分析及討論

在本小節(jié)，將根據(jù)靈敏度指數(shù)來研究R0對參數(shù)變化的反應，以確定對R0影響最大的參數(shù)，并有可能導致疾病的有效控制和消除的參數(shù)。

這個指數(shù)表明Q對參數(shù)P的變化有多敏感。正(負)指數(shù)表示參數(shù)值的增加導致Q值的增加(減少)。據(jù)此，計算出了R0對各個參數(shù)的靈敏度并畫圖進行比較。

根據(jù)圖1，可以看出R0對釘螺滋生面積As最為敏感，R0對釘螺的疾病致死率αs和釘螺的出生率rs的敏感性最低。由此可以看出，釘螺的滋生面積對血吸蟲病傳播的影響是最嚴重的。而洪澇災害期間，由于洪水泛濫，釘螺的滋生面積也隨之擴大，這勢必會引起血吸蟲病的爆發(fā)。

4 結 論

釘螺滋生面積是受洪水影響最直接的因素，釘螺的滋生面積也隨之擴大，這勢必會引起血吸蟲病的爆發(fā)，所以洪水爆發(fā)時需加強對血吸蟲病的預防與控制。