楊德慶, 秦浩星

(上海交通大學 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心; 海洋工程國家重點實驗室， 上海 200240)

超材料結構具有傳統(tǒng)材料和結構不具備的優(yōu)點，在隱身技術、通信技術、光學成像等領域都擁有廣闊的應用前景[1-2]，已成為材料、結構跨學科領域的一個研究熱點[3].超材料作為輕質(zhì)、物理功能與結構功能一體化的新型工程材料，被廣泛地應用在機械、電子、化工、建筑及交通等領域[4-5].超材料結構的性能對超材料微結構的拓撲非常敏感，常見的微結構構型是多孔構型[6-7].拓撲優(yōu)化方法作為建立材料拓撲與性能之間的關系的有效設計手段，正逐漸應用到超材料結構設計中.20世紀80年代Bends?e[8]將均勻化方法引入到結構拓撲優(yōu)化領域，使得微結構的拓撲優(yōu)化問題逐漸成為熱點，眾多學者競相開展了廣泛而深入的研究.Sigmund[9]提出了將胞元最優(yōu)微結構設計轉化為胞元拓撲優(yōu)化設計問題，使相同微結構胞元經(jīng)周期性排布形成宏觀結構的材料；王博等[10]對宏觀-微觀尺度一體化材料設計方法進行了深入的研究，提出了將宏觀布局優(yōu)化與材料表征單胞拓撲優(yōu)化精細設計相結合的分層計算策略.

常規(guī)方法的超材料設計是將微米或納米結構經(jīng)過特殊設計后再進行周期性排列，從而獲得其超常性能，微結構拓撲和布局對超材料超常性能起著決定性的作用.文獻[11]提出超材料結構功能基元拓撲優(yōu)化法，該方法采用拓撲優(yōu)化方法設計功能基元的拓撲結構后，不是對微米或納米量級的功能基元進行序構，而是對宏觀尺度功能基元進行周期性序構，形成了基于宏觀功能基元拓撲及序構的超材料.該方法的優(yōu)勢在于只針對功能基元進行拓撲優(yōu)化設計，通過宏觀序構形成宏觀超材料結構，可有效減少優(yōu)化計算時間.在負泊松比超材料成功設計的基礎上，本文將該方法引入到具有任意指定正泊松比的超材料結構設計，并對優(yōu)化設計的超材料構件進行靜力學性能分析.本文成果將為超材料新型結構設計方法提供借鑒.

1 功能基元拓撲優(yōu)化設計法

我們可以從微觀尺度(材料)、宏觀尺度(結構)兩個層面對現(xiàn)有的超材料拓撲設計方法進行總結.一是微觀尺度的超材料結構拓撲設計方法，如圖1(a)所示；在保持宏觀材料分布不變的情況下，對微觀尺度的材料單胞結構拓撲進行設計，該方法是在對材料微觀結構設計中關注局部材料的空穴構型設計，而不注重材料在宏觀路徑上的分布.二是微觀-宏觀尺度一體化超材料結構拓撲設計方法，如圖1(b)所示，該方法將超材料在宏觀尺度布局優(yōu)化與表征材料單胞拓撲優(yōu)化精細設計相結合，宏觀尺度優(yōu)化獲得材料的宏觀分布，而微觀尺度優(yōu)化獲得局部材料的空穴構型設計，因此可以有效地預測超材料表征體胞的等效性能.圖1(c)所示為作者提出的超材料功能基元拓撲優(yōu)化法.該方法首先采用拓撲優(yōu)化方法設計功能基元的拓撲結構，再布置宏觀功能基元的周期性分布，從而形成了基于功能基元拓撲及序構的超材料結構.比較而言，該方法的優(yōu)勢在于只針對功能基元進行拓撲優(yōu)化設計，通過宏觀序構形成宏觀超材料結構，能有效減少優(yōu)化計算時間.

圖1 不同尺度的超材料結構優(yōu)化設計方法Fig.1 Optimization design method of cellular materials based on different size scales

1.1 功能基元及功能基元拓撲基結構的定義

圖2描述了基于功能基元拓撲優(yōu)化的超材料結構設計方法的主要思想.首先，將待設計的超材料結構劃分為5×7個區(qū)域，每個區(qū)域定義為宏觀尺度的功能基元；然后，將單個功能基元離散為更細化的有限元網(wǎng)格并用于結構拓撲優(yōu)化，在這個功能基元中尋找最佳的材料分布路徑，以實現(xiàn)任意泊松比超材料的功能基元拓撲構型優(yōu)化設計；再對優(yōu)化后功能基元結構的空間位置進行周期性排布，從而形成指定功能超材料.

圖2 基于功能基元拓撲優(yōu)化的超材料結構設計方法Fig.2 Metamaterial structure design method based on functional element topology optimization

1.2 超材料結構的宏觀泊松比計算方法

Gibson等[12]根據(jù)蜂窩胞元尺寸計算出小變形條件下的蜂窩結構泊松比值；在此基礎上，Wan等[13]進一步提出了大變形情況下負泊松比材料泊松比計算模型.富明慧等[14]對Gibson公式進行了修正，提高了公式的精度.Grima[15]總結了常規(guī)蜂窩胞元構型材料的泊松比計算表達式.上述文獻從材料力學角度推導了蜂窩多孔材料泊松比值，為常規(guī)胞元構型蜂窩材料提供了計算泊松比值的解析表達式，而對于特殊構型多孔材料泊松比值計算方法，目前尚無通用公式.

由于設計蜂窩材料新構型過程中存在泊松比值無法確定的問題，且多孔材料內(nèi)部有大量不規(guī)則孔洞存在，所以研究其宏觀結構性能更為有效.通過簡單載荷力學性能分析，研究材料在單一載荷作用下的宏觀力學特征，可為宏觀表征材料在復雜應力狀態(tài)的力學性能研究奠定基礎[16].從材料的宏觀力學特征角度，對多孔材料宏觀泊松比效應計算方法進行研究是可行途徑.Carneiro等[17]采用數(shù)值模擬方法研究了星型蜂窩胞元構型尺寸參數(shù)對負泊松比效應的影響，該方法將蜂窩胞元視為一種宏觀材料，并依據(jù)材料力學中材料泊松比試驗的方式定義了該蜂窩胞元的泊松比值，即正交于載荷方向的應變與載荷方向的應變之比的負值.本文根據(jù)文獻[17]對星型蜂窩材料的負泊松比值定義方式，說明宏觀超材料泊松比計算方法.該星型胞元結構和載荷情況如圖3所示，當x向受拉時結構發(fā)生變形，點n1和n2分別沿x向和y向移動，則該結構的應變?yōu)?/p>

(1)

圖3 負泊松比星型胞元結構Fig.3 Star-shape cell structure with negative Poisson’s ratio

式中：εx、εy為x、y向的應變；Δx1為點n1在x向的位移變化量；Δy2為點n2在y向的位移變化量；x1為點n1的x向位置坐標；y2為點n2的y向位置坐標.則該構型胞元的泊松比值為

(2)

本文后續(xù)優(yōu)化設計均采用該方法計算胞元的泊松比值.

2 任意正泊松比超材料結構設計的功能基元拓撲優(yōu)化法

結構拓撲優(yōu)化總體上可以分為離散體拓撲優(yōu)化和連續(xù)體拓撲優(yōu)化.離散體拓撲優(yōu)化研究的主要是桁架、網(wǎng)架或框架結構，主要以桿件截面積或梁截面尺寸作為設計變量，以結構重量為優(yōu)化目標函數(shù)，以結構平衡方程、強度、剛度、動力學特性和穩(wěn)定性等為約束條件建立結構優(yōu)化數(shù)學模型.連續(xù)體拓撲優(yōu)化研究的主要是板殼結構及三維實體結構，通過設計域內(nèi)材料的增刪以實現(xiàn)桿系與板殼組合最優(yōu)承載結構[18].常見的連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化方法包括：均勻化方法[19]、變密度法[20]、獨立連續(xù)映射法[21]、漸進結構優(yōu)化法[22]、水平集法[23]等.

從理論的完備性、算法實現(xiàn)的難易程度、計算精度和計算效率等方面來講，上述方法各有優(yōu)缺點和適用范圍.其中變密度法是目前算法上最便于實施、工程上最有應用前景的一種拓撲優(yōu)化插值方法.該方法的思想是，人為引入一種假想的密度可變材料，形成材料物理參數(shù)(如彈性模量和許用應力)與材料密度間的非線性關系，以拓撲基結構中單元的密度作為設計變量，通過刪除密度小于按某種準則確定的閾值的單元，從而實現(xiàn)了材料分布路徑的變更.SIMP法(Solid Isotropic Material with Penalization)是變密度法中效果較好的優(yōu)化方法，在復雜結構優(yōu)化中有獨特的優(yōu)勢.本文采用SIMP法建立超材料結構的優(yōu)化設計模型.

SIMP法拓撲優(yōu)化模型引入冪指數(shù)懲罰函數(shù)，建立材料彈性模量與相對密度變量之間的一種非線性關系(密度-剛度插值模型).通過材料宏觀彈性常數(shù)與密度之間的非線性關系對0-1之間的密度值進行懲罰，從而使優(yōu)化結果盡可能接近0-1分布，拓撲優(yōu)化中材料的0-1離散優(yōu)化問題就轉化為在[0，1]區(qū)間上的連續(xù)變量優(yōu)化問題[24].SIMP法拓撲優(yōu)化模型的數(shù)學表達式為

(3)

(4)

(5)

式中：xe(e=1,2,…,N)為材料第e個單元的相對密度變量，N為單元的數(shù)量；E0和Emin分別為單元初始彈性模量和孔洞單元的彈性模量，ΔE=E0-Emin，Emin=E0/1 000；p是插值模型中的懲罰因子；k0是設計區(qū)域每個單元的初始剛度矩陣；E(xe)為插值計算后的彈性模量；K為整體結構的剛度矩陣；ke為單元e的剛度矩陣.

由于Emin?E0，式(5)可以簡化為

(6)

2.1 最大結構剛度目標下超材料結構拓撲優(yōu)化數(shù)學列式

超材料結構的應用主要包括3個方面：① 作為功能型材料，具有吸能、隔聲、熱耗散等方面的特殊性能；② 作為結構承載材料，注重研究超材料結構的承載能力，在航空航天、飛行器等承載結構中應用廣泛；③ 作為多功能型材料，可同時具備功能型和結構型特性，例如動力機械的超材料結構基座減振性能研究中，既要實現(xiàn)該基座的減振性能，同時也要考慮基座對動力機械的結構承載能力.本文采用功能基元拓撲優(yōu)化設計法，以結構剛度最大為目標函數(shù)進行超材料拓撲優(yōu)化設計，得到具有任意指定泊松比的新型超材料結構.

拓撲優(yōu)化模型的3個要素為：在有限材料用量前提下，以指定泊松比值作為約束條件，以設計區(qū)域材料的相對密度為設計變量，以結構柔順度最小為優(yōu)化目標函數(shù).結構柔順度函數(shù)表示為

(7)

將式(4)代入式(7)中，得到結構柔順度的表達式：

(8)

式中：U為結構的整體位移矩陣；ue為材料單元e的位移列向量.

結構柔順度最小的目標函數(shù)可以等效為結構剛度最大化為目標函數(shù)，建立的優(yōu)化模型強調(diào)了結構的承載能力，優(yōu)化模型數(shù)學表達式如下：

(9)

式中：X=[x1x2…xN]T為設計區(qū)域材料密度設計變量向量；xe為單元e的相對密度，又稱為設計變量；xmax、xmin為功能基元相對密度變量的上、下限；C(X)為結構柔順度；F為載荷矩陣；ue為設計區(qū)域單元的位移矩陣；V(X)為在優(yōu)化過程狀態(tài)下的結構有效體積；V0為在設計區(qū)域相對密度為1時的結構體積；fvol為材料用量的指定體積分數(shù)；|ν-ν0|≤ε為材料泊松比約束條件，ν0為泊松比的指定設計值，ε=0.1.

外載荷作用形式對功能基元拓撲優(yōu)化結果的影響至關重要，因此本文將在均布載荷和集中載荷這兩種載荷條件下進行拓撲優(yōu)化設計，對應功能基元的有限元模型分別稱為模型-I 和模型-II，均采用式(9)中拓撲優(yōu)化數(shù)學模型進行優(yōu)化.通過對不同載荷條件下功能基元拓撲優(yōu)化設計，也可以驗證功能基元拓撲優(yōu)化法模型理論對超材料結構設計的可靠性.

2.2 均布載荷作用下功能基元模型-I 的優(yōu)化

模型-I功能基元拓撲優(yōu)化設計區(qū)域如圖4所示，該基元尺寸為B=H=40 mm，在上下兩端同時施加垂向拉力載荷F1=29 N，且均勻分布在有限元網(wǎng)格上端節(jié)點.選取點1和點2作為基元的宏觀泊松比效應的評價點中，B2=6 mm.本體材料屬性：彈性模量E=210 GPa，泊松比νs=0.3，密度ρ=7 850 kg/m3.

圖4 功能基元模型-I 的設計區(qū)域Fig.4 Initial design domain of Model-I

根據(jù)式(2)中泊松比值的定義方法，模型-I 優(yōu)化過程中功能基元的宏觀泊松比為

(10)

式中：Δw1為功能基元在外載荷作用下評價點1的z向位移變化量；Δu2為評價點2的x向位移變化量.

模型-I 的優(yōu)化結果：采用式(9)中拓撲優(yōu)化數(shù)學模型進行優(yōu)化，取fvol=0.15，分別計算ν0=0.3，0.6，0.8，1.0 時對應的優(yōu)化結果，對應的優(yōu)化拓撲構型結果如圖5所示.優(yōu)化得到的功能基元結構符合均布載荷承載要求下的傳力路徑，拓撲構型較為清晰.

圖5 模型-I 中不同的ν0所對應的拓撲優(yōu)化結果Fig.5 Topological optimization corresponding to different ν0 in Mode-I

2.3 集中載荷作用下功能基元模型-II 的優(yōu)化

模型-II功能基元的設計區(qū)域如圖6所示，該基元尺寸為B=H=40 mm，在上下端中心處施加集中力載荷F2=29 N，評價點的位置及材料屬性參考模型-I，采用式(10)計算功能基元的宏觀泊松比ν.

圖6 模型-II 的初始設計區(qū)域Fig.6 Initial design domain of Model-II

模型-II 的優(yōu)化結果：采用式(9)拓撲優(yōu)化數(shù)學模型進行計算，取fvol=0.15，當ν0=0.3，0.6，0.8，1.0 時，相應的優(yōu)化拓撲構型結果見圖7.優(yōu)化得到的功能基元結構具有清晰的力傳遞路徑.

圖7 模型-II 中不同的ν0所對應的拓撲優(yōu)化結果Fig.7 Topological optimization corresponding to different ν0 in Mode-II

3 任意正泊松比超材料結構序構及力學性能驗證

為驗證功能基元拓撲優(yōu)化方法在超材料結構設計中的準確性，對拓撲優(yōu)化結果進行提取，再對提取出的功能基元結構建立有限元模型并計算分析，與優(yōu)化設計要求進行對比.

3.1 功能基元拓撲構型的提取

分別提取模型-I、模型-II 中各泊松比值對應的功能基元優(yōu)化結構，如圖5和7所示.Gibson[12]研究了多孔材料壁厚對多孔材料性能的影響：當壁厚遠小于胞元尺寸時(不是同一個數(shù)量級)，可忽略壁厚對單胞性能的影響.盡管本文優(yōu)化結果中的功能基元結構厚度不均勻，但考慮到后續(xù)試驗中試件制造工藝限制，對拓撲優(yōu)化結果提取均選為等壁厚t=1 mm的結構.

由于優(yōu)化后拓撲結構不規(guī)則，不便于逐個進行尺寸標注，本文繪制了均勻間隔網(wǎng)格的底紋，用于度量提取出的功能基元結構尺寸.圖8中網(wǎng)格區(qū)域范圍為40 mm×40 mm，各網(wǎng)格單元尺寸為2 mm×2 mm，優(yōu)化并提取出的各功能基元結構尺寸如圖8和9所示.

圖8 模型-I 中優(yōu)化結果的提取Fig.8 Extraction of optimization results in Model-I

圖9 模型-II 中優(yōu)化結果的提取Fig.9 Extraction of optimization results in Model-II

3.2 最優(yōu)拓撲構型下功能基元的泊松比驗證

針對優(yōu)化后提取的兩種模型功能基元結構，均選取泊松比為 0.6 的基元結構建立有限元模型并計算，再與優(yōu)化設計要求進行比較.建立圖8(b)中結構的有限元模型，其載荷和邊界約束條件與圖6中一致，進行靜力學計算分析，結果如圖10所示.由圖可見，Δw1=9.46 μm，Δu2=-6.03 μm，由式(10)計算出優(yōu)化后功能基元結構的泊松比ν=0.637，與優(yōu)化問題中約束條件值ν0=0.6 的誤差率為 6.17%，說明采用本文泊松比定義方式和拓撲優(yōu)化設計方法具有一定的準確性.

同樣，建立圖9(b)中基元有限元模型，得到靜力學分析結果如圖11所示.Δw1=14.1 μm， Δu2=-9.25 μm，由式(10)計算出功能基元結構的泊松比ν=0.656，其與優(yōu)化約束條件ν0=0.6 的誤差率為 9.33%.

圖10 模型-I中ν0=0.6 優(yōu)化結果的靜力學分析Fig.10 Static analysis of Model-I optimization with ν0=0.6

圖11 模型-II 中ν0=0.6 優(yōu)化結果的靜力學分析Fig.11 Static analysis of Model-II optimization with ν0=0.6

4 任意正泊松比超材料結構面內(nèi)承載力學性能分析

文獻[25]設計了環(huán)形蜂窩超材料，本文為說明超材料結構承載性能，選取模型-I 和模型-II 的優(yōu)化結果作為功能基元，通過周期性排序形成了由5×7個功能基元組成的超材料結構，即超材料結構-I 和超材料結構-II，分別進行結構靜力學計算以對比分析超材料結構的面內(nèi)承載能力.

工程結構材料不僅要具有高強度、高剛度的特性，而且質(zhì)量要小.為便于比較不同材料間性能的優(yōu)劣，工程中引入了比剛度的概念，即相同質(zhì)量(或相對密度)下的剛度.在輕量化材料和結構的設計中，一般是比較材料結構間的比剛度.針對本文超材料結構的面內(nèi)、面外剛度對比分析，定義如下比剛度的計算公式[26]，以描述超材料結構的抗變形能力：

κ=EI/λ

(11)

式中：EI為超材料結構的等效剛度，EI=P/σ,P為作用于超材料結構的載荷，σ為由該載荷產(chǎn)生的形變；λ為超材料結構的線密度，λ=M/L，M為超材料結構的總質(zhì)量，L為超材料結構的面內(nèi)、面外結構長度.

4.1 超材料結構-I 的面內(nèi)承載力學性能

基于模型-I 中ν0=0.6 的功能基元優(yōu)化結果，構建宏觀泊松比效應超材料結構如圖12(a)所示，并建立有限元模型.其中：y向厚度為20 mm；上、下端面的厚度均為5 mm，用于承受上端面的均布載荷和下端面的固定約束.由于單個功能基元上端面承受的29 N載荷均勻分布在29個有限元節(jié)點上，所以在周期排列成5列的超材料結構上端面施加201 N的載荷，即載荷均勻分布在上端面的201個有限元節(jié)點上.超材料結構-I 的靜力學分析結果如圖 12(b)所示，上端面各節(jié)點的平均z向位移變化量為 1.29 μm，超材料結構-I 面內(nèi)承載比剛度的其他參數(shù)值如表1所示.

為比較該超材料結構-I 的面內(nèi)承載能力，分析了一種傳統(tǒng)六邊形蜂窩超材料結構-I 的力學性能(該蜂窩超材料結構的宏觀泊松比為 0.6)，并與本文中超材料結構-I 的面內(nèi)承載能力進行對比.采用傳統(tǒng)六邊形蜂窩構型作為功能基元，且功能基元承受垂向均布載荷，構建了傳統(tǒng)六邊形蜂窩超材料結構(稱為蜂窩材料結構-I).該蜂窩功能基元的輪廓尺寸接近于超材料結構-I 中的功能基元尺寸，且壁厚也取為1 mm，使得兩者的功能基元通過周期排布后的超材料結構尺寸相近，如圖13(a)所示.建立由傳統(tǒng)六邊形蜂窩構型周期排序構成的超材料結構有限元模型，材料參數(shù)、載荷和邊界條件與超材料結構-I 相同.蜂窩超材料結構-I 的靜力學分析結果如圖13(b)所示，上端面各節(jié)點的平均z向位移變化量為 147 μm，蜂窩超材料結構-I 面內(nèi)承載比剛度的其他參數(shù)如表1所示.

圖12 超材料結構-IFig.12 Metamaterials structure-I

圖13 蜂窩超材料結構-IFig.13 Honeycomb metamaterials structure-I

表1 超材料結構-I 的面內(nèi)承載比剛度分析

Tab.1 In-plane specific stiffness analysis of metamaterials structure-I

參數(shù)取值超材料結構-I蜂窩超材料結構-IP/N201 201 σ/mm1.29×10-31.47×10-1EI/(N·mm-1)1.56×1051.37×103M/kg1.930.994L/mm280 275 κ/(N·kg-1)2.26×1073.79×105

超材料結構-I 的面內(nèi)承載性能分析：采用式(11)計算出超材料結構-I 與傳統(tǒng)蜂窩超材料結構-I 的比剛度(見表1)，對應比剛度的比值為 59.6∶1，即優(yōu)化后超材料結構-I 的面內(nèi)承載性能較好.這表明以功能基元結構最大剛度為目標函數(shù)的超材料結構拓撲優(yōu)化設計方法，能夠有效提高超材料結構的面內(nèi)承載能力.

4.2 超材料結構-II 的面內(nèi)承載力學性能

基于模型-II 中ν0=0.6 功能基元周期性排序形成超材料結構試件尺寸如圖14(a)所示，其中y向厚度為20 mm，上、下端面厚度均為5 mm.建立有限元分析模型，上端面施加201 N的均布載荷，下端面固定約束6個方向的自由度.超材料結構-II 的靜力學分析結果如圖14(b)所示，選取上端面與超材料芯接觸位置的5個節(jié)點，計算出5個節(jié)點的平均z向位移變化量為 0.415 mm，超材料結構-II 面內(nèi)承載比剛度的其他參數(shù)值如表2所示.

按照功能基元承受垂向集中載荷的條件，構建了傳統(tǒng)蜂窩材料結構-II (該蜂窩超材料結構的宏觀泊松比為 0.6，如圖15(a)所示)，并分析其面內(nèi)承載能力以說明超材料結構-II 的面內(nèi)承載能力.該蜂窩功能基元的輪廓尺寸接近于超材料結構-II 中的功能基元尺寸，且壁厚也取為1 mm.建立蜂窩超材料結構-II 的有限元模型，材料參數(shù)、載荷和邊界條件與超材料結構-I 相同.靜力學分析結果如圖15(b)所示，選取上端面與超材料芯接觸位置的5個節(jié)點，計算出5個節(jié)點的平均z向位移變化量為 0.422 mm，蜂窩超材料結構-II 面內(nèi)承載比剛度的其他參數(shù)如表2所示.

圖14 超材料結構-IIFig.14 Metamaterials structure-II

圖15 蜂窩超材料結構-IIFig.15 Honeycomb metamaterials structure-II

圖17 面外承載的靜力學分析Fig.17 Static analysis in out-plane condition

表2 超材料結構-II 的面內(nèi)承載比剛度分析

Tab.2 In-plane specific stiffness analysis of metamaterials structure-II

超材料結構-II 的面內(nèi)承載性能分析：采用式(11)計算出超材料結構-II 與傳統(tǒng)蜂窩超材料-II 的比剛度(見表2)，兩者的比剛度值近似相等，即面內(nèi)承載性能相當.該分析結果可解釋為：由于圖14(a)和圖15(a)中兩種超材料結構的結構形式變化不大，所以結構力傳遞路徑相似.因兩種超材料結構形式的相似性，決定了兩種結構的承載能力接近，進一步說明了功能基元拓撲結構形式對超材料結構的面內(nèi)承載能力的影響.

5 任意正泊松比超材料結構面外承載力學性能分析

為分析本文優(yōu)化設計的兩種超材料結構(超材料結構-I 和超材料結構-II)的面外承載能力，對試件短邊施加如圖16所示的邊界約束條件，載荷P=100 N均勻作用在試件中心對稱面的若干節(jié)點上，并取載荷作用節(jié)點位置處的位移響應，用于評價本文中超材料結構的面外承載性能.此外，采用式(11)對傳統(tǒng)蜂窩構型的超材料試件進行計算分析，并與本文優(yōu)化設計的兩種超材料結構的面外承載性能進行對比.

圖16 超材料結構面外承載分析的邊界條件Fig.16 Boundary conditions for out-plane bearing analysis of metamaterials strucutre

5.1 超材料結構-I 的面外承載力學性能

超材料結構-I 靜力學分析結果如圖17(a)所示，載荷P作用點處各評價點的平均z向位移變化量為 7.49 μm；傳統(tǒng)蜂窩超材料結構-I 的靜力學分析結果如圖17(b)所示，各評價點的平均z向位移變化量為 43.9 μm.面外承載比剛度的其他參數(shù)如表3所示.

表3 超材料結構-I 的面外承載比剛度分析

Tab.3 Out-plane specific stiffness analysis of metamaterials structure-I

參數(shù)取值超材料結構-I蜂窩超材料結構-IP/N100100σ/mm7.49×10-34.39×10-2EI/(N·mm-1)1.33×1042.27×103M/kg1.930.994L/mm280275κ/(N·kg-1)1.94×1066.28×105

超材料結構-I 的面外承載性能分析：采用式(11)計算出超材料結構-I 與傳統(tǒng)蜂窩超材料-I 的比剛度(見表3)，對應的比剛度的比值為 3.1∶1，即優(yōu)化后的超材料結構-I 的面外承載性能較好.

5.2 超材料結構-II的面外承載力學性能

超材料結構-II的靜力學分析結果如圖18(a)所示，載荷P作用點處各評價點的平均z向位移變化量為 80.3 μm；傳統(tǒng)蜂窩超材料結構-II 的靜力學分析結果如圖18(b)所示，各評價點的平均z向位移變化量為 10.3 μm，超材料結構面外承載比剛度的其他參數(shù)如表4所示.

超材料結構-II 的面外承載性能分析：采用式(11)計算出超材料結構-II 與傳統(tǒng)蜂窩超材料-II 的面外承載比剛度(見表4)，兩者的比剛度值近似相等，說明了拓撲結構相似的超材料結構-II 與蜂窩超材料結構-II，兩者的面外承載性能也接近.

圖18 面外承載的靜力學分析Fig.18 Static analysis in out-plane condition

表4 超材料結構-II 的面外承載比剛度分析

Tab.4 Out-plane specific stiffness analysis of metamaterials structure-II

參數(shù)取值超材料結構-II蜂窩超材料結構-IIP/N100100σ/mm8.03×10-20.103EI/(N·mm-1)1245970M/kg0.9830.88L/mm280278κ/(N·kg-1)3.54×1053.05×105

6 結論

本文采用功能基元拓撲優(yōu)化法，以超材料結構面內(nèi)剛度最大化為目標設計了具有任意宏觀正泊松比效應超材料結構.結果表明：

(1) 基于功能基元拓撲優(yōu)化方法，具有任意宏觀正泊松比效應超材料結構的設計是可以實現(xiàn)的.對優(yōu)化后結構進行力學性能數(shù)值計算也驗證了優(yōu)化設計可以達到預期泊松比要求和剛度要求.

(2) 相較于傳統(tǒng)構型蜂窩超材料結構，本文設計的超材料結構-I 在拓撲結構上與傳統(tǒng)蜂窩單胞結構區(qū)別較大，表現(xiàn)出該超材料結構-I 具有較好的面內(nèi)、面外結構剛度特性.而超材料結構-II 拓撲結構與傳統(tǒng)蜂窩單胞結構區(qū)別不大，數(shù)值計算結果表明兩者的面內(nèi)、面外結構剛度特性較為接近.這說明超材料結構的拓撲結構形式對結構力學特性具有重要的影響.